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Theorem bcm1n 24143
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with  N decreased by 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
bcm1n  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  /  ( N  _C  K ) )  =  ( ( N  -  K )  /  N ) )

Proof of Theorem bcm1n
StepHypRef Expression
1 bcp1n 11599 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  _C  K )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  -  K ) ) ) )
2 nnz 10295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
32zcnd 10368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
43adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
5 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
65a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
74, 6npcand 9407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
87oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  _C  K
)  =  ( N  _C  K ) )
97oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  -  K
)  =  ( N  -  K ) )
107, 9oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  -  K ) )  =  ( N  /  ( N  -  K ) ) )
1110oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( N  / 
( N  -  K
) ) ) )
128, 11eqeq12d 2449 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  _C  K )  =  ( ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  x.  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  -  K ) ) )  <-> 
( N  _C  K
)  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( N  / 
( N  -  K
) ) ) ) )
131, 12syl5ib 211 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  x.  ( N  /  ( N  -  K ) ) ) ) )
14133impia 1150 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( N  /  ( N  -  K ) ) ) )
15143anidm13 1242 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( N  / 
( N  -  K
) ) ) )
16 elfznn0 11075 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  K  e.  NN0 )
1716adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  NN0 )
18 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
1918nnnn0d 10266 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
20 elfzelz 11051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  K  e.  ZZ )
2120adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  ZZ )
2221zred 10367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  RR )
232adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
2423zred 10367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
25 elfzle2 11053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  K  <_  ( N  -  1 ) )
2625adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  <_  ( N  -  1 ) )
27 zltlem1 10320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  K  <_  ( N  - 
1 ) ) )
2820, 2, 27syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  <  N  <->  K  <_  ( N  - 
1 ) ) )
2926, 28mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  <  N )
3022, 24, 29ltled 9213 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  <_  N )
31 elfz2nn0 11074 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
3217, 19, 30, 31syl3anbrc 1138 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  ( 0 ... N ) )
33 bcrpcl 11591 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  RR+ )
3432, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  e.  RR+ )
3534rpcnd 10642 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  e.  CC )
3620zcnd 10368 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  K  e.  CC )
3736adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  CC )
384, 37subcld 9403 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  e.  CC )
3937, 4negsubdi2d 9419 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  -> 
-u ( K  -  N )  =  ( N  -  K ) )
4022, 24resubcld 9457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  -  N
)  e.  RR )
4140recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  -  N
)  e.  CC )
424addid2d 9259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  +  N
)  =  N )
4329, 42breqtrrd 4230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  <  ( 0  +  N ) )
44 0re 9083 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
4622, 24, 45ltsubaddd 9614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( K  -  N )  <  0  <->  K  <  ( 0  +  N ) ) )
4743, 46mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  -  N
)  <  0 )
4847lt0ne0d 9584 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  -  N
)  =/=  0 )
4941, 48negne0d 9401 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  -> 
-u ( K  -  N )  =/=  0
)
5039, 49eqnetrrd 2618 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  =/=  0 )
514, 38, 50divcld 9782 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  /  ( N  -  K )
)  e.  CC )
52 bcrpcl 11591 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( N  -  1 )  _C  K )  e.  RR+ )
5352adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  e.  RR+ )
5453rpcnne0d 10649 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  e.  CC  /\  ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  =/=  0 ) )
55 divmul2 9674 . . . . 5  |-  ( ( ( N  _C  K
)  e.  CC  /\  ( N  /  ( N  -  K )
)  e.  CC  /\  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  e.  CC  /\  ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  -  1 )  _C  K ) )  =  ( N  / 
( N  -  K
) )  <->  ( N  _C  K )  =  ( ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  x.  ( N  /  ( N  -  K ) ) ) ) )
5635, 51, 54, 55syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  _C  K )  / 
( ( N  - 
1 )  _C  K
) )  =  ( N  /  ( N  -  K ) )  <-> 
( N  _C  K
)  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( N  / 
( N  -  K
) ) ) ) )
5715, 56mpbird 224 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  _C  K )  /  (
( N  -  1 )  _C  K ) )  =  ( N  /  ( N  -  K ) ) )
5857oveq2d 6089 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  -  1 )  _C  K ) ) )  =  ( 1  /  ( N  / 
( N  -  K
) ) ) )
5953rpcnd 10642 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  e.  CC )
60 bccl2 11606 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  NN )
6132, 60syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  e.  NN )
6261nnne0d 10036 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  =/=  0 )
63 bccl2 11606 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( N  -  1 )  _C  K )  e.  NN )
6463nnne0d 10036 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( N  -  1 )  _C  K )  =/=  0 )
6564adantr 452 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  =/=  0 )
6635, 59, 62, 65recdivd 9799 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  -  1 )  _C  K ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  /  ( N  _C  K ) ) )
6718nnne0d 10036 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
684, 38, 67, 50recdivd 9799 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( N  /  ( N  -  K ) ) )  =  ( ( N  -  K )  /  N ) )
6958, 66, 683eqtr3d 2475 1  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  /  ( N  _C  K ) )  =  ( ( N  -  K )  /  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   -ucneg 9284    / cdiv 9669   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   RR+crp 10604   ...cfz 11035    _C cbc 11585
This theorem is referenced by:  ballotlem2  24738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-seq 11316  df-fac 11559  df-bc 11586
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