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Theorem bcm1n 23032
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with  N decreased by 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
bcm1n  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  /  ( N  _C  K ) )  =  ( ( N  -  K )  /  N ) )

Proof of Theorem bcm1n
StepHypRef Expression
1 bcp1n 11328 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  _C  K )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  -  K ) ) ) )
2 nnz 10045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
32zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
43adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
5 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
65a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
74, 6npcand 9161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
87oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  _C  K
)  =  ( N  _C  K ) )
97oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  -  K
)  =  ( N  -  K ) )
107, 9oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  -  K ) )  =  ( N  /  ( N  -  K ) ) )
1110oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( N  / 
( N  -  K
) ) ) )
128, 11eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  _C  K )  =  ( ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  x.  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  -  K ) ) )  <-> 
( N  _C  K
)  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( N  / 
( N  -  K
) ) ) ) )
131, 12syl5ib 210 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  x.  ( N  /  ( N  -  K ) ) ) ) )
14133impia 1148 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( N  /  ( N  -  K ) ) ) )
15143anidm13 1240 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( N  / 
( N  -  K
) ) ) )
16 elfz2nn0 10821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  <->  ( K  e.  NN0  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) )
1716simp1bi 970 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  K  e.  NN0 )
1817adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  NN0 )
19 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
2019nnnn0d 10018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
21 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  K  e.  ZZ )
2221adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  ZZ )
2322zred 10117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  RR )
242adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
2524zred 10117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
26 elfzle2 10800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  K  <_  ( N  -  1 ) )
2726adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  <_  ( N  -  1 ) )
28 zltlem1 10070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  K  <_  ( N  - 
1 ) ) )
2921, 2, 28syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  <  N  <->  K  <_  ( N  - 
1 ) ) )
3027, 29mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  <  N )
3123, 25, 30ltled 8967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  <_  N )
32 elfz2nn0 10821 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
3318, 20, 31, 32syl3anbrc 1136 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  ( 0 ... N ) )
34 bcrpcl 11321 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  RR+ )
3533, 34syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  e.  RR+ )
3635rpcnd 10392 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  e.  CC )
3721zcnd 10118 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  K  e.  CC )
3837adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  CC )
394, 38subcld 9157 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  e.  CC )
4038, 4negsubdi2d 9173 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  -> 
-u ( K  -  N )  =  ( N  -  K ) )
4123, 25resubcld 9211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  -  N
)  e.  RR )
4241recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  -  N
)  e.  CC )
4322, 24jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
4443, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  <  N  <->  K  <_  ( N  - 
1 ) ) )
4527, 44mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  <  N )
464addid2d 9013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  +  N
)  =  N )
4746breq2d 4035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  <  (
0  +  N )  <-> 
K  <  N )
)
4845, 47mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  <  ( 0  +  N ) )
49 0re 8838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
5049a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
5123, 25, 50ltsubaddd 9368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( K  -  N )  <  0  <->  K  <  ( 0  +  N ) ) )
5248, 51mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  -  N
)  <  0 )
5341, 52ltned 8955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  -  N
)  =/=  0 )
5442, 53negne0d 9155 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  -> 
-u ( K  -  N )  =/=  0
)
5540, 54eqnetrrd 2466 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  =/=  0 )
564, 39, 55divcld 9536 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  /  ( N  -  K )
)  e.  CC )
57 bcrpcl 11321 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( N  -  1 )  _C  K )  e.  RR+ )
5857adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  e.  RR+ )
5958rpcnne0d 10399 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  e.  CC  /\  ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  =/=  0 ) )
6036, 56, 593jca 1132 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  _C  K )  e.  CC  /\  ( N  /  ( N  -  K )
)  e.  CC  /\  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  e.  CC  /\  ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  =/=  0 ) ) )
61 divmul2 9428 . . . . 5  |-  ( ( ( N  _C  K
)  e.  CC  /\  ( N  /  ( N  -  K )
)  e.  CC  /\  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  e.  CC  /\  ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  -  1 )  _C  K ) )  =  ( N  / 
( N  -  K
) )  <->  ( N  _C  K )  =  ( ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  x.  ( N  /  ( N  -  K ) ) ) ) )
6260, 61syl 15 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  _C  K )  / 
( ( N  - 
1 )  _C  K
) )  =  ( N  /  ( N  -  K ) )  <-> 
( N  _C  K
)  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( N  / 
( N  -  K
) ) ) ) )
6315, 62mpbird 223 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  _C  K )  /  (
( N  -  1 )  _C  K ) )  =  ( N  /  ( N  -  K ) ) )
6463oveq2d 5874 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  -  1 )  _C  K ) ) )  =  ( 1  /  ( N  / 
( N  -  K
) ) ) )
6559simpld 445 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  e.  CC )
66 bccl2 11335 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  NN )
6733, 66syl 15 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  e.  NN )
6867nnne0d 9790 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  =/=  0 )
69 bccl2 11335 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( N  -  1 )  _C  K )  e.  NN )
7069nnne0d 9790 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( N  -  1 )  _C  K )  =/=  0 )
7170adantr 451 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  =/=  0 )
7236, 65, 68, 71recdivd 9553 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  -  1 )  _C  K ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  /  ( N  _C  K ) ) )
73 elfzle1 10799 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  0  <_  K )
7433, 73syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  K )
7574, 45jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  <_  K  /\  K  <  N ) )
76 lelttr 8912 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  K  /\  K  <  N )  ->  0  <  N
) )
7750, 23, 25, 76syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 0  <_  K  /\  K  <  N
)  ->  0  <  N ) )
7875, 77mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
7950, 78ltned 8955 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  0  =/=  N )
8079necomd 2529 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
814, 39, 80, 55recdivd 9553 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( N  /  ( N  -  K ) ) )  =  ( ( N  -  K )  /  N ) )
8264, 72, 813eqtr3d 2323 1  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  /  ( N  _C  K ) )  =  ( ( N  -  K )  /  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   RR+crp 10354   ...cfz 10782    _C cbc 11315
This theorem is referenced by:  ballotlem2  23047
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-fac 11289  df-bc 11316
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