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Theorem bcm1n 24156
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with  N decreased by 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
bcm1n  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  /  ( N  _C  K ) )  =  ( ( N  -  K )  /  N ) )

Proof of Theorem bcm1n
StepHypRef Expression
1 bcp1n 11612 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  _C  K )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  -  K ) ) ) )
2 nnz 10308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
32zcnd 10381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
43adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
5 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
65a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
74, 6npcand 9420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
87oveq1d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  _C  K
)  =  ( N  _C  K ) )
97oveq1d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  -  K
)  =  ( N  -  K ) )
107, 9oveq12d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  -  K ) )  =  ( N  /  ( N  -  K ) ) )
1110oveq2d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( N  / 
( N  -  K
) ) ) )
128, 11eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  _C  K )  =  ( ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  x.  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  -  K ) ) )  <-> 
( N  _C  K
)  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( N  / 
( N  -  K
) ) ) ) )
131, 12syl5ib 212 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  x.  ( N  /  ( N  -  K ) ) ) ) )
14133impia 1151 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( N  /  ( N  -  K ) ) ) )
15143anidm13 1243 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( N  / 
( N  -  K
) ) ) )
16 elfznn0 11088 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  K  e.  NN0 )
1716adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  NN0 )
18 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
1918nnnn0d 10279 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
20 elfzelz 11064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  K  e.  ZZ )
2120adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  ZZ )
2221zred 10380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  RR )
232adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
2423zred 10380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
25 elfzle2 11066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  K  <_  ( N  -  1 ) )
2625adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  <_  ( N  -  1 ) )
27 zltlem1 10333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  K  <_  ( N  - 
1 ) ) )
2820, 2, 27syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  <  N  <->  K  <_  ( N  - 
1 ) ) )
2926, 28mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  <  N )
3022, 24, 29ltled 9226 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  <_  N )
31 elfz2nn0 11087 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
3217, 19, 30, 31syl3anbrc 1139 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  ( 0 ... N ) )
33 bcrpcl 11604 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  RR+ )
3432, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  e.  RR+ )
3534rpcnd 10655 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  e.  CC )
3620zcnd 10381 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  K  e.  CC )
3736adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  CC )
384, 37subcld 9416 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  e.  CC )
3937, 4negsubdi2d 9432 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  -> 
-u ( K  -  N )  =  ( N  -  K ) )
4022, 24resubcld 9470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  -  N
)  e.  RR )
4140recnd 9119 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  -  N
)  e.  CC )
424addid2d 9272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  +  N
)  =  N )
4329, 42breqtrrd 4241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  K  <  ( 0  +  N ) )
44 0re 9096 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
4622, 24, 45ltsubaddd 9627 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( K  -  N )  <  0  <->  K  <  ( 0  +  N ) ) )
4743, 46mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  -  N
)  <  0 )
4847lt0ne0d 9597 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  -  N
)  =/=  0 )
4941, 48negne0d 9414 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  -> 
-u ( K  -  N )  =/=  0
)
5039, 49eqnetrrd 2623 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  =/=  0 )
514, 38, 50divcld 9795 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  /  ( N  -  K )
)  e.  CC )
52 bcrpcl 11604 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( N  -  1 )  _C  K )  e.  RR+ )
5352adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  e.  RR+ )
5453rpcnne0d 10662 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  e.  CC  /\  ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  =/=  0 ) )
55 divmul2 9687 . . . . 5  |-  ( ( ( N  _C  K
)  e.  CC  /\  ( N  /  ( N  -  K )
)  e.  CC  /\  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  e.  CC  /\  ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  -  1 )  _C  K ) )  =  ( N  / 
( N  -  K
) )  <->  ( N  _C  K )  =  ( ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  x.  ( N  /  ( N  -  K ) ) ) ) )
5635, 51, 54, 55syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  _C  K )  / 
( ( N  - 
1 )  _C  K
) )  =  ( N  /  ( N  -  K ) )  <-> 
( N  _C  K
)  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  x.  ( N  / 
( N  -  K
) ) ) ) )
5715, 56mpbird 225 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  _C  K )  /  (
( N  -  1 )  _C  K ) )  =  ( N  /  ( N  -  K ) ) )
5857oveq2d 6100 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  -  1 )  _C  K ) ) )  =  ( 1  /  ( N  / 
( N  -  K
) ) ) )
5953rpcnd 10655 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  e.  CC )
60 bccl2 11619 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  NN )
6132, 60syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  e.  NN )
6261nnne0d 10049 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  =/=  0 )
63 bccl2 11619 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( N  -  1 )  _C  K )  e.  NN )
6463nnne0d 10049 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( N  -  1 )  _C  K )  =/=  0 )
6564adantr 453 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  _C  K
)  =/=  0 )
6635, 59, 62, 65recdivd 9812 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  -  1 )  _C  K ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  /  ( N  _C  K ) ) )
6718nnne0d 10049 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
684, 38, 67, 50recdivd 9812 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( N  /  ( N  -  K ) ) )  =  ( ( N  -  K )  /  N ) )
6958, 66, 683eqtr3d 2478 1  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  K )  /  ( N  _C  K ) )  =  ( ( N  -  K )  /  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   -ucneg 9297    / cdiv 9682   NNcn 10005   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   RR+crp 10617   ...cfz 11048    _C cbc 11598
This theorem is referenced by:  ballotlem2  24751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-seq 11329  df-fac 11572  df-bc 11599
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