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Theorem bcmax 21054
Description: The binomial coefficient takes its maximum value at the center. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcmax  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  K
)  <_  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )

Proof of Theorem bcmax
StepHypRef Expression
1 2nn0 10230 . . . 4  |-  2  e.  NN0
2 simpll 731 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  N  e.  NN0 )
3 nn0mulcl 10248 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
41, 2, 3sylancr 645 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  NN0 )
5 simpr 448 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )
6 nn0re 10222 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
76leidd 9585 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  <_  N )
8 nn0cn 10223 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
9 2cn 10062 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
10 2ne0 10075 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
11 divcan3 9694 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  N
)  /  2 )  =  N )
129, 10, 11mp3an23 1271 . . . . . 6  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( 2  x.  N
)  /  2 )  =  N )
138, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  /  2 )  =  N )
147, 13breqtrrd 4230 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  2
) )
152, 14syl 16 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  N  <_  (
( 2  x.  N
)  /  2 ) )
16 bcmono 21053 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  N  <_  ( ( 2  x.  N )  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  K )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )
174, 5, 15, 16syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  K )  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )
18 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  N  e.  NN0 )
191, 18, 3sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  NN0 )
20 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  K  e.  ZZ )
21 bccmpl 11592 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  K
)  =  ( ( 2  x.  N )  _C  ( ( 2  x.  N )  -  K ) ) )
2219, 20, 21syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  K )  =  ( ( 2  x.  N
)  _C  ( ( 2  x.  N )  -  K ) ) )
2318nn0red 10267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  N  e.  RR )
2423recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  N  e.  CC )
25242timesd 10202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( 2  x.  N )  =  ( N  +  N ) )
2620zred 10367 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  K  e.  RR )
27 eluzle 10490 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  K )
2827adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  N  <_  K
)
2923, 26, 23, 28leadd2dd 9633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( N  +  N )  <_  ( N  +  K )
)
3025, 29eqbrtrd 4224 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( 2  x.  N )  <_  ( N  +  K )
)
3119nn0red 10267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
3231, 26, 23lesubaddd 9615 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  K )  <_  N 
<->  ( 2  x.  N
)  <_  ( N  +  K ) ) )
3330, 32mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  -  K )  <_  N
)
3419nn0zd 10365 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  ZZ )
3534, 20zsubcld 10372 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  -  K )  e.  ZZ )
3618nn0zd 10365 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
37 eluz 10491 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  K
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( ( 2  x.  N )  -  K ) )  <->  ( (
2  x.  N )  -  K )  <_  N ) )
3835, 36, 37syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( (
2  x.  N )  -  K ) )  <-> 
( ( 2  x.  N )  -  K
)  <_  N )
)
3933, 38mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  ( ( 2  x.  N )  -  K ) ) )
4018, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  N  <_  (
( 2  x.  N
)  /  2 ) )
41 bcmono 21053 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( 2  x.  N )  -  K
) )  /\  N  <_  ( ( 2  x.  N )  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  ( ( 2  x.  N )  -  K ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )
4219, 39, 40, 41syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  ( ( 2  x.  N )  -  K
) )  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )
4322, 42eqbrtrd 4224 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  K )  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )
44 simpr 448 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
45 nn0z 10296 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
4645adantr 452 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
47 uztric 10499 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  K )  \/  K  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
4844, 46, 47syl2anc 643 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  K )  \/  K  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
4917, 43, 48mpjaodan 762 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  K
)  <_  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   0cc0 8982    + caddc 8985    x. cmul 8987    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480    _C cbc 11585
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-seq 11316  df-fac 11559  df-bc 11586
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