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Theorem bcmax 20931
Description: The binomial coefficient takes its maximum value at the center. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcmax  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  K
)  <_  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )

Proof of Theorem bcmax
StepHypRef Expression
1 2nn0 10172 . . . 4  |-  2  e.  NN0
2 simpll 731 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  N  e.  NN0 )
3 nn0mulcl 10190 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
41, 2, 3sylancr 645 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  NN0 )
5 simpr 448 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )
6 nn0re 10164 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
76leidd 9527 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  <_  N )
8 nn0cn 10165 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
9 2cn 10004 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
10 2ne0 10017 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
11 divcan3 9636 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  N
)  /  2 )  =  N )
129, 10, 11mp3an23 1271 . . . . . 6  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( 2  x.  N
)  /  2 )  =  N )
138, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  /  2 )  =  N )
147, 13breqtrrd 4181 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  2
) )
152, 14syl 16 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  N  <_  (
( 2  x.  N
)  /  2 ) )
16 bcmono 20930 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  N  <_  ( ( 2  x.  N )  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  K )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )
174, 5, 15, 16syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  N  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  K )  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )
18 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  N  e.  NN0 )
191, 18, 3sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  NN0 )
20 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  K  e.  ZZ )
21 bccmpl 11529 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  K
)  =  ( ( 2  x.  N )  _C  ( ( 2  x.  N )  -  K ) ) )
2219, 20, 21syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  K )  =  ( ( 2  x.  N
)  _C  ( ( 2  x.  N )  -  K ) ) )
2318nn0red 10209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  N  e.  RR )
2423recnd 9049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  N  e.  CC )
25242timesd 10144 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( 2  x.  N )  =  ( N  +  N ) )
2620zred 10309 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  K  e.  RR )
27 eluzle 10432 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  K )
2827adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  N  <_  K
)
2923, 26, 23, 28leadd2dd 9575 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( N  +  N )  <_  ( N  +  K )
)
3025, 29eqbrtrd 4175 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( 2  x.  N )  <_  ( N  +  K )
)
3119nn0red 10209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
3231, 26, 23lesubaddd 9557 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  K )  <_  N 
<->  ( 2  x.  N
)  <_  ( N  +  K ) ) )
3330, 32mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  -  K )  <_  N
)
3419nn0zd 10307 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  ZZ )
3534, 20zsubcld 10314 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  -  K )  e.  ZZ )
3618nn0zd 10307 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
37 eluz 10433 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  K
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( ( 2  x.  N )  -  K ) )  <->  ( (
2  x.  N )  -  K )  <_  N ) )
3835, 36, 37syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( (
2  x.  N )  -  K ) )  <-> 
( ( 2  x.  N )  -  K
)  <_  N )
)
3933, 38mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  ( ( 2  x.  N )  -  K ) ) )
4018, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  N  <_  (
( 2  x.  N
)  /  2 ) )
41 bcmono 20930 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( 2  x.  N )  -  K
) )  /\  N  <_  ( ( 2  x.  N )  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  ( ( 2  x.  N )  -  K ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )
4219, 39, 40, 41syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  ( ( 2  x.  N )  -  K
) )  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )
4322, 42eqbrtrd 4175 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  (
ZZ>= `  N ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  K )  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )
44 simpr 448 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
45 nn0z 10238 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
4645adantr 452 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
47 uztric 10441 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  K )  \/  K  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
4844, 46, 47syl2anc 643 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  K )  \/  K  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
4917, 43, 48mpjaodan 762 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  K
)  <_  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   class class class wbr 4155   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   0cc0 8925    + caddc 8928    x. cmul 8930    <_ cle 9056    - cmin 9225    / cdiv 9611   2c2 9983   NN0cn0 10155   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422    _C cbc 11522
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-fz 10978  df-seq 11253  df-fac 11496  df-bc 11523
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