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Theorem bcmono 21063
Description: The binomial coefficient is monotone in its second argument, up to the midway point. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcmono  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  B
) )

Proof of Theorem bcmono
Dummy variables  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 962 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  0  <_  A )  ->  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)
2 simpl1 961 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  0  <_  A )  ->  N  e.  NN0 )
3 eluzel2 10495 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  A  e.  ZZ )
433ad2ant2 980 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  ->  A  e.  ZZ )
54anim1i 553 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  0  <_  A )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A ) )
6 elnn0z 10296 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A ) )
75, 6sylibr 205 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  NN0 )
8 simpl3 963 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  0  <_  A )  ->  B  <_  ( N  /  2
) )
9 breq1 4217 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  <_  ( N  /  2 )  <->  A  <_  ( N  /  2 ) ) )
10 oveq2 6091 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( N  _C  x )  =  ( N  _C  A
) )
1110breq2d 4226 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  x )  <->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  A ) ) )
129, 11imbi12d 313 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  x ) )  <->  ( A  <_  ( N  /  2
)  ->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  A ) ) ) )
1312imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  NN0 )  ->  ( x  <_  ( N  /  2
)  ->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  x ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  ( A  <_  ( N  / 
2 )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  A
) ) ) ) )
14 breq1 4217 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (
x  <_  ( N  /  2 )  <->  k  <_  ( N  /  2 ) ) )
15 oveq2 6091 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  k  ->  ( N  _C  x )  =  ( N  _C  k
) )
1615breq2d 4226 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  x )  <->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  k ) ) )
1714, 16imbi12d 313 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
( x  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  x ) )  <->  ( k  <_  ( N  /  2
)  ->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  k ) ) ) )
1817imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  NN0 )  ->  ( x  <_  ( N  /  2
)  ->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  x ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
k  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  k ) ) ) ) )
19 breq1 4217 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  <_  ( N  /  2 )  <->  ( k  +  1 )  <_ 
( N  /  2
) ) )
20 oveq2 6091 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( N  _C  x )  =  ( N  _C  (
k  +  1 ) ) )
2120breq2d 4226 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  x )  <->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
2219, 21imbi12d 313 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( x  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  x ) )  <->  ( (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  (
k  +  1 ) ) ) ) )
2322imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  NN0 )  ->  ( x  <_  ( N  /  2
)  ->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  x ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
24 breq1 4217 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
x  <_  ( N  /  2 )  <->  B  <_  ( N  /  2 ) ) )
25 oveq2 6091 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( N  _C  x )  =  ( N  _C  B
) )
2625breq2d 4226 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  x )  <->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  B ) ) )
2724, 26imbi12d 313 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  x ) )  <->  ( B  <_  ( N  /  2
)  ->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  B ) ) ) )
2827imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  NN0 )  ->  ( x  <_  ( N  /  2
)  ->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  x ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  ( B  <_  ( N  / 
2 )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  B
) ) ) ) )
29 bccl 11615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  A
)  e.  NN0 )
3029nn0red 10277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  A
)  e.  RR )
3130leidd 9595 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  A ) )
3231a1d 24 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  A ) ) )
3332expcom 426 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( A  <_  ( N  / 
2 )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  A
) ) ) )
3433adantrd 456 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  NN0  /\  A  e.  NN0 )  ->  ( A  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  A ) ) ) )
35 eluzelz 10498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  k  e.  ZZ )
36353ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
3736zred 10377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  k  e.  RR )
3837lep1d 9944 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  k  <_  ( k  +  1 ) )
39 peano2re 9241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
4037, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
41 nn0re 10232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
42413ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  N  e.  RR )
4342rehalfcld 10216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  ( N  /  2 )  e.  RR )
44 letr 9169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR  /\  ( N  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( k  <_  ( k  +  1 )  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
k  <_  ( N  /  2 ) ) )
4537, 40, 43, 44syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( k  <_  (
k  +  1 )  /\  ( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 ) )  ->  k  <_  ( N  /  2 ) ) )
4638, 45mpand 658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
k  <_  ( N  /  2 ) ) )
4746imim1d 72 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( k  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  k ) )  -> 
( ( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  k ) ) ) )
48 eluznn0 10548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
k  e.  NN0 )
49 nn0re 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
50493ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
k  e.  RR )
51 nn0p1nn 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
52513ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN )
5352nnnn0d 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN0 )
5453nn0red 10277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  RR )
5550, 54readdcld 9117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
5654, 54readdcld 9117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( k  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
57413ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  ->  N  e.  RR )
5850lep1d 9944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
k  <_  ( k  +  1 ) )
5950, 54, 54, 58leadd1dd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  ( k  +  1 ) )  <_  ( (
k  +  1 )  +  ( k  +  1 ) ) )
6052nncnd 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  CC )
61602timesd 10212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( 2  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  ( k  +  1 ) ) )
62 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 ) )
63 2re 10071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  RR
64 2pos 10084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <  2
6563, 64pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
67 lemuldiv2 9892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  <_  N 
<->  ( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 ) ) )
6854, 57, 66, 67syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  <_  N  <->  ( k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) ) )
6962, 68mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( 2  x.  (
k  +  1 ) )  <_  N )
7061, 69eqbrtrrd 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( k  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  <_  N )
7155, 56, 57, 59, 70letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  ( k  +  1 ) )  <_  N )
7250, 54, 57leaddsub2d 9630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( k  +  ( k  +  1 ) )  <_  N  <->  ( k  +  1 )  <_  ( N  -  k ) ) )
7371, 72mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  1 )  <_  ( N  -  k ) )
74 nnre 10009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
75 nngt0 10031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  0  <  ( k  +  1 ) )
7674, 75jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( k  +  1 ) ) )
7752, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( k  +  1 ) ) )
78 nn0z 10306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
79783ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  ->  N  e.  ZZ )
80 nn0z 10306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
81803ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
k  e.  ZZ )
8279, 81zsubcld 10382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  -  k
)  e.  ZZ )
8357rehalfcld 10216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  /  2
)  e.  RR )
8457, 63jctir 526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  e.  RR  /\  2  e.  RR ) )
85 nn0ge0 10249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
86853ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
0  <_  N )
87 1re 9092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  RR
88 1lt2 10144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  <  2
8987, 63, 88ltleii 9198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  <_  2
9086, 89jctir 526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( 0  <_  N  /\  1  <_  2 ) )
91 lemulge12 9875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  e.  RR )  /\  ( 0  <_  N  /\  1  <_  2
) )  ->  N  <_  ( 2  x.  N
) )
9284, 90, 91syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  ->  N  <_  ( 2  x.  N ) )
93 ledivmul 9885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( N  /  2 )  <_  N 
<->  N  <_  ( 2  x.  N ) ) )
9457, 57, 66, 93syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( N  / 
2 )  <_  N  <->  N  <_  ( 2  x.  N ) ) )
9592, 94mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  /  2
)  <_  N )
9654, 83, 57, 62, 95letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  1 )  <_  N )
9787a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
1  e.  RR )
9850, 97, 57leaddsub2d 9630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( k  +  1 )  <_  N  <->  1  <_  ( N  -  k ) ) )
9996, 98mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
1  <_  ( N  -  k ) )
100 elnnz1 10309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN  <->  ( ( N  -  k )  e.  ZZ  /\  1  <_ 
( N  -  k
) ) )
10182, 99, 100sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  -  k
)  e.  NN )
102 nnre 10009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN  ->  ( N  -  k )  e.  RR )
103 nngt0 10031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN  ->  0  <  ( N  -  k
) )
104102, 103jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN  ->  (
( N  -  k
)  e.  RR  /\  0  <  ( N  -  k ) ) )
105101, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( N  -  k )  e.  RR  /\  0  <  ( N  -  k ) ) )
106 faccl 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
1071063ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ! `  N
)  e.  NN )
108 nnm1nn0 10263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN  ->  (
( N  -  k
)  -  1 )  e.  NN0 )
109 faccl 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  -  k
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( N  -  k )  - 
1 ) )  e.  NN )
110101, 108, 1093syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  e.  NN )
111 faccl 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
1121113ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ! `  k
)  e.  NN )
113110, 112nnmulcld 10049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k )
)  e.  NN )
114 nnrp 10623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  RR+ )
115 nnrp 10623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( ! `
 k ) )  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( ! `
 k ) )  e.  RR+ )
116 rpdivcl 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  RR+  /\  (
( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( ! `
 k ) )  e.  RR+ )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k ) ) )  e.  RR+ )
117114, 115, 116syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  NN  /\  ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k )
)  e.  NN )  ->  ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k )
) )  e.  RR+ )
118107, 113, 117syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( ! `
 k ) ) )  e.  RR+ )
119118rpregt0d 10656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k )
) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( ( N  -  k )  - 
1 ) )  x.  ( ! `  k
) ) ) ) )
120 lediv2 9902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( k  +  1 ) )  /\  ( ( N  -  k )  e.  RR  /\  0  < 
( N  -  k
) )  /\  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( ! `
 k ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k )
) ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  <_ 
( N  -  k
)  <->  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( ( N  -  k )  - 
1 ) )  x.  ( ! `  k
) ) )  / 
( N  -  k
) )  <_  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( ! `
 k ) ) )  /  ( k  +  1 ) ) ) )
12177, 105, 119, 120syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( k  +  1 )  <_  ( N  -  k )  <->  ( ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( ! `
 k ) ) )  /  ( N  -  k ) )  <_  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( ( N  -  k )  - 
1 ) )  x.  ( ! `  k
) ) )  / 
( k  +  1 ) ) ) )
12273, 121mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k )
) )  /  ( N  -  k )
)  <_  ( (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k ) ) )  /  ( k  +  1 ) ) )
123 facnn2 11577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  k ) )  =  ( ( ! `
 ( ( N  -  k )  - 
1 ) )  x.  ( N  -  k
) ) )
124101, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ! `  ( N  -  k )
)  =  ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( N  -  k ) ) )
125124oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ! `  ( N  -  k
) )  x.  ( ! `  k )
)  =  ( ( ( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( N  -  k ) )  x.  ( ! `  k ) ) )
126110nncnd 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  e.  CC )
127112nncnd 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ! `  k
)  e.  CC )
12882zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  -  k
)  e.  CC )
129126, 127, 128mul32d 9278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ( ! `
 ( ( N  -  k )  - 
1 ) )  x.  ( ! `  k
) )  x.  ( N  -  k )
)  =  ( ( ( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( N  -  k ) )  x.  ( ! `  k ) ) )
130125, 129eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ! `  ( N  -  k
) )  x.  ( ! `  k )
)  =  ( ( ( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( ! `
 k ) )  x.  ( N  -  k ) ) )
131130oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  k )
)  x.  ( ! `
 k ) ) )  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k ) )  x.  ( N  -  k
) ) ) )
132 nn0ge0 10249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  <_ 
k )
1331323ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
0  <_  k )
13450, 54, 57, 58, 96letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
k  <_  N )
135 0z 10295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  e.  ZZ
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
0  e.  ZZ )
137 elfz 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 0  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
13881, 136, 79, 137syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... N )  <-> 
( 0  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
139133, 134, 138mpbir2and 890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
k  e.  ( 0 ... N ) )
140 bcval2 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  k )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  k )
)  x.  ( ! `
 k ) ) ) )
141139, 140syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  _C  k
)  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  k ) )  x.  ( ! `  k
) ) ) )
142107nncnd 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ! `  N
)  e.  CC )
143113nncnd 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k )
)  e.  CC )
144113nnne0d 10046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k )
)  =/=  0 )
145101nnne0d 10046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  -  k
)  =/=  0 )
146142, 143, 128, 144, 145divdiv1d 9823 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k )
) )  /  ( N  -  k )
)  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k ) )  x.  ( N  -  k
) ) ) )
147131, 141, 1463eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  _C  k
)  =  ( ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k ) ) )  /  ( N  -  k ) ) )
148 nn0cn 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
1491483ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  ->  N  e.  CC )
150 nn0cn 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
1511503ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
k  e.  CC )
152 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  CC
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
1  e.  CC )
154149, 151, 153subsub4d 9444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( N  -  k )  -  1 )  =  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
155154eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  -  (
k  +  1 ) )  =  ( ( N  -  k )  -  1 ) )
156155fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ! `  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ! `
 ( ( N  -  k )  - 
1 ) ) )
157 facp1 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
1581573ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
159156, 158oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ! `  ( N  -  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
160126, 127, 60mulassd 9113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ( ! `
 ( ( N  -  k )  - 
1 ) )  x.  ( ! `  k
) )  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
161159, 160eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ! `  ( N  -  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( ! `
 k ) )  x.  ( k  +  1 ) ) )
162161oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k ) )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
16353nn0ge0d 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
0  <_  ( k  +  1 ) )
16452nnzd 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  ZZ )
165 elfz 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( k  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 0  <_  ( k  +  1 )  /\  (
k  +  1 )  <_  N ) ) )
166164, 136, 79, 165syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  <-> 
( 0  <_  (
k  +  1 )  /\  ( k  +  1 )  <_  N
) ) )
167163, 96, 166mpbir2and 890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
168 bcval2 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
169167, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  _C  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
17052nnne0d 10046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  1 )  =/=  0 )
171142, 143, 60, 144, 170divdiv1d 9823 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k )
) )  /  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k ) )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
172162, 169, 1713eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  _C  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k ) ) )  /  ( k  +  1 ) ) )
173122, 147, 1723brtr4d 4244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  _C  k
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) )
1741733exp 1153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 )  ->  ( N  _C  k )  <_ 
( N  _C  (
k  +  1 ) ) ) ) )
17548, 174syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( ( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  k
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) ) )
1761753impia 1151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  k
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
1771763coml 1161 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  k
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
178 simp2 959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
179 nn0z 10306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  ZZ )
1801793ad2ant3 981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  A  e.  ZZ )
181178, 180, 29syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  ( N  _C  A )  e. 
NN0 )
182181nn0red 10277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  ( N  _C  A )  e.  RR )
183 bccl 11615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
184178, 36, 183syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
185184nn0red 10277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  ( N  _C  k )  e.  RR )
18636peano2zd 10380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
187 bccl 11615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
188178, 186, 187syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  ( N  _C  ( k  +  1 ) )  e. 
NN0 )
189188nn0red 10277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  ( N  _C  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
190 letr 9169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  _C  A
)  e.  RR  /\  ( N  _C  k
)  e.  RR  /\  ( N  _C  (
k  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  k )  /\  ( N  _C  k )  <_ 
( N  _C  (
k  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  (
k  +  1 ) ) ) )
191182, 185, 189, 190syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  k )  /\  ( N  _C  k
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
192191exp3acom23 1382 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( N  _C  k
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) )  ->  (
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  k )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  (
k  +  1 ) ) ) ) )
193177, 192syld 43 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  k )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) ) )
194193a2d 25 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( ( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  k ) )  -> 
( ( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) ) )
19547, 194syld 43 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( k  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  k ) )  -> 
( ( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) ) )
1961953expib 1157 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  NN0 )  ->  (
( k  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  k ) )  -> 
( ( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
197196a2d 25 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( (
( N  e.  NN0  /\  A  e.  NN0 )  ->  ( k  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  k ) ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
19813, 18, 23, 28, 34, 197uzind4 10536 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  NN0 )  ->  ( B  <_  ( N  / 
2 )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  B
) ) ) )
1991983imp 1148 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( N  e.  NN0  /\  A  e.  NN0 )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  B
) )
2001, 2, 7, 8, 199syl121anc 1190 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  0  <_  A )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  B
) )
201 simpl1 961 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  A  <  0 )  ->  N  e.  NN0 )
2024adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  A  <  0 )  ->  A  e.  ZZ )
203 orc 376 . . . . 5  |-  ( A  <  0  ->  ( A  <  0  \/  N  <  A ) )
204203adantl 454 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  A  <  0 )  ->  ( A  <  0  \/  N  <  A ) )
205 bcval4 11600 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  <  0  \/  N  <  A ) )  -> 
( N  _C  A
)  =  0 )
206201, 202, 204, 205syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  A  <  0 )  ->  ( N  _C  A )  =  0 )
207 simpl2 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  A  <  0 )  ->  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)
208 eluzelz 10498 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  ZZ )
209207, 208syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  A  <  0 )  ->  B  e.  ZZ )
210 bccl 11615 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  B
)  e.  NN0 )
211201, 209, 210syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  A  <  0 )  ->  ( N  _C  B )  e. 
NN0 )
212211nn0ge0d 10279 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  A  <  0 )  ->  0  <_  ( N  _C  B
) )
213206, 212eqbrtrd 4234 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  A  <  0 )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  B
) )
214 0re 9093 . . 3  |-  0  e.  RR
2154zred 10377 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  ->  A  e.  RR )
216 lelttric 9182 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  \/  A  <  0
) )
217214, 215, 216sylancr 646 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  ->  (
0  <_  A  \/  A  <  0 ) )
218200, 213, 217mpjaodan 763 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614   ...cfz 11045   !cfa 11568    _C cbc 11595
This theorem is referenced by:  bcmax  21064
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-seq 11326  df-fac 11569  df-bc 11596
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