MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcn1 Unicode version

Theorem bcn1 11325
Description: Binomial coefficient:  N choose  1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcn1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  1 )  =  N )

Proof of Theorem bcn1
StepHypRef Expression
1 elnn0 9967 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 1nn0 9981 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
3 nn0uz 10262 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
42, 3eleqtri 2355 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
54a1i 10 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
6 elnnuz 10264 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
76biimpi 186 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8 elfzuzb 10792 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  /\  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
) )
95, 7, 8sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ( 0 ... N
) )
10 bcval2 11318 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  1 )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 1 ) ) ) )
119, 10syl 15 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  _C  1 )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 1 ) ) ) )
12 facnn2 11297 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) )
13 fac1 11292 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 1 )  =  1
1413oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! ` 
1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  1 )
15 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
16 faccl 11298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  e.  NN )
1715, 16syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN )
1817nncnd 9762 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
1918mulid1d 8852 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  1 )  =  ( ! `  ( N  -  1
) ) )
2014, 19syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 1 ) )  =  ( ! `  ( N  -  1
) ) )
2112, 20oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! ` 
1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  N )  / 
( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )
22 nncn 9754 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2317nnne0d 9790 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 )
2422, 18, 23divcan3d 9541 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  N
)  /  ( ! `
 ( N  - 
1 ) ) )  =  N )
2511, 21, 243eqtrd 2319 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  _C  1 )  =  N )
26 0nn0 9980 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
27 1z 10053 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
28 0lt1 9296 . . . . . 6  |-  0  <  1
2928olci 380 . . . . 5  |-  ( 1  <  0  \/  0  <  1 )
30 bcval4 11320 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  ZZ  /\  (
1  <  0  \/  0  <  1 ) )  ->  ( 0  _C  1 )  =  0 )
3126, 27, 29, 30mp3an 1277 . . . 4  |-  ( 0  _C  1 )  =  0
32 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( N  _C  1 )  =  ( 0  _C  1
) )
33 eqeq12 2295 . . . . 5  |-  ( ( ( N  _C  1
)  =  ( 0  _C  1 )  /\  N  =  0 )  ->  ( ( N  _C  1 )  =  N  <->  ( 0  _C  1 )  =  0 ) )
3432, 33mpancom 650 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( N  _C  1
)  =  N  <->  ( 0  _C  1 )  =  0 ) )
3531, 34mpbiri 224 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( N  _C  1 )  =  N )
3625, 35jaoi 368 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( N  _C  1 )  =  N )
371, 36sylbi 187 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  1 )  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   !cfa 11288    _C cbc 11315
This theorem is referenced by:  bcnp1n  11326  bcnm1  24096  bpoly2  24792  bpoly3  24793  bpoly4  24794  jm2.23  27089
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-fac 11289  df-bc 11316
  Copyright terms: Public domain W3C validator