MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcn1 Unicode version

Theorem bcn1 11531
Description: Binomial coefficient:  N choose  1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcn1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  1 )  =  N )

Proof of Theorem bcn1
StepHypRef Expression
1 elnn0 10155 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 1nn0 10169 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
3 nn0uz 10452 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
42, 3eleqtri 2459 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
6 elnnuz 10454 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
76biimpi 187 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8 elfzuzb 10985 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  /\  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
) )
95, 7, 8sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ( 0 ... N
) )
10 bcval2 11523 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  1 )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 1 ) ) ) )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  _C  1 )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 1 ) ) ) )
12 facnn2 11502 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) )
13 fac1 11497 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 1 )  =  1
1413oveq2i 6031 . . . . . 6  |-  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! ` 
1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  1 )
15 nnm1nn0 10193 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
16 faccl 11503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  e.  NN )
1715, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN )
1817nncnd 9948 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
1918mulid1d 9038 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  1 )  =  ( ! `  ( N  -  1
) ) )
2014, 19syl5eq 2431 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 1 ) )  =  ( ! `  ( N  -  1
) ) )
2112, 20oveq12d 6038 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! ` 
1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  N )  / 
( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )
22 nncn 9940 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2317nnne0d 9976 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 )
2422, 18, 23divcan3d 9727 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  N
)  /  ( ! `
 ( N  - 
1 ) ) )  =  N )
2511, 21, 243eqtrd 2423 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  _C  1 )  =  N )
26 0nn0 10168 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
27 1z 10243 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
28 0lt1 9482 . . . . . 6  |-  0  <  1
2928olci 381 . . . . 5  |-  ( 1  <  0  \/  0  <  1 )
30 bcval4 11525 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  ZZ  /\  (
1  <  0  \/  0  <  1 ) )  ->  ( 0  _C  1 )  =  0 )
3126, 27, 29, 30mp3an 1279 . . . 4  |-  ( 0  _C  1 )  =  0
32 oveq1 6027 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( N  _C  1 )  =  ( 0  _C  1
) )
33 eqeq12 2399 . . . . 5  |-  ( ( ( N  _C  1
)  =  ( 0  _C  1 )  /\  N  =  0 )  ->  ( ( N  _C  1 )  =  N  <->  ( 0  _C  1 )  =  0 ) )
3432, 33mpancom 651 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( N  _C  1
)  =  N  <->  ( 0  _C  1 )  =  0 ) )
3531, 34mpbiri 225 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( N  _C  1 )  =  N )
3625, 35jaoi 369 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( N  _C  1 )  =  N )
371, 36sylbi 188 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  1 )  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   0cc0 8923   1c1 8924    x. cmul 8928    < clt 9053    - cmin 9223    / cdiv 9609   NNcn 9932   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   ...cfz 10975   !cfa 11493    _C cbc 11520
This theorem is referenced by:  bcnp1n  11532  bcn2m1  11542  bcn2p1  11543  bcnm1  24980  bpoly2  25817  bpoly3  25818  bpoly4  25819  jm2.23  26758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-seq 11251  df-fac 11494  df-bc 11521
  Copyright terms: Public domain W3C validator