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Theorem bcp1ctr 20932
Description: Ratio of two central binomial coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcp1ctr  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( N  + 
1 ) ) ) ) )

Proof of Theorem bcp1ctr
StepHypRef Expression
1 2cn 10004 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
21mulid1i 9027 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
3 df-2 9992 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 1  +  1 )
42, 3eqtri 2409 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
54oveq2i 6033 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 1  +  1 ) )
6 nn0cn 10165 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
7 ax-1cn 8983 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
8 adddi 9014 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
91, 7, 8mp3an13 1270 . . . . . 6  |-  ( N  e.  CC  ->  (
2  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
106, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
11 2nn0 10172 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
12 nn0mulcl 10190 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
1311, 12mpan 652 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  N )  e. 
NN0 )
1413nn0cnd 10210 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  N )  e.  CC )
15 addass 9012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 1  +  1 ) ) )
167, 7, 15mp3an23 1271 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 1  +  1 ) ) )
1714, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 1  +  1 ) ) )
185, 10, 173eqtr4a 2447 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 ) )
1918oveq1d 6037 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) ) )
20 peano2nn0 10194 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e. 
NN0 )
2113, 20syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e. 
NN0 )
22 nn0p1nn 10193 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
2322nnzd 10308 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
24 bcpasc 11541 . . . 4  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN0  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  ( N  + 
1 ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  (
( N  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) ) )
2521, 23, 24syl2anc 643 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) ) )
2619, 25eqtr4d 2424 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
27 nn0z 10238 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
28 bccl 11542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN0 )
2913, 27, 28syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  e. 
NN0 )
3029nn0cnd 10210 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  e.  CC )
311a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
3221nn0red 10209 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR )
3332, 22nndivred 9982 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( N  + 
1 ) )  e.  RR )
3433recnd 9049 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
3530, 31, 34mul12d 9209 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  N )  _C  N
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
367a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
3714, 36, 6addsubd 9366 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  -  N )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  N )  +  1 ) )
3862timesd 10144 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  N )  =  ( N  +  N
) )
3938oveq1d 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  -  N )  =  ( ( N  +  N )  -  N
) )
406, 6pncand 9346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  N )  -  N )  =  N )
4139, 40eqtrd 2421 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  -  N )  =  N )
4241oveq1d 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  -  N )  +  1 )  =  ( N  +  1 ) )
4337, 42eqtr2d 2422 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  N
) )
4443oveq2d 6038 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  N ) ) )
4544oveq2d 6038 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  -  N ) ) ) )
46 fzctr 11049 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
47 bcp1n 11536 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N )  =  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  N ) ) ) )
4846, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  N )  =  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  -  N ) ) ) )
4945, 48eqtr4d 2424 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N
) )
5049oveq2d 6038 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N ) ) )
5135, 50eqtrd 2421 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N ) ) )
52 bccmpl 11529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN0  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) ) )
5321, 23, 52syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  ( N  +  1 ) ) ) )
5438oveq1d 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  =  ( ( N  +  N )  +  1 ) )
556, 6, 36addassd 9045 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  N )  +  1 )  =  ( N  +  ( N  +  1 ) ) )
5654, 55eqtrd 2421 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  =  ( N  +  ( N  +  1 ) ) )
5756oveq1d 6037 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( N  +  ( N  +  1
) )  -  ( N  +  1 ) ) )
5822nncnd 9950 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
596, 58pncand 9346 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  ( N  +  1 ) )  -  ( N  + 
1 ) )  =  N )
6057, 59eqtrd 2421 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) )  =  N )
6160oveq2d 6038 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  ( N  +  1
) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N
) )
6253, 61eqtrd 2421 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N
) )
63 pncan 9245 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
646, 7, 63sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
6564oveq2d 6038 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N
) )
6662, 65oveq12d 6040 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N ) ) )
67 bccl 11542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N
)  e.  NN0 )
6821, 27, 67syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  N )  e. 
NN0 )
6968nn0cnd 10210 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  N )  e.  CC )
70692timesd 10144 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N ) ) )
7166, 70eqtr4d 2424 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N ) ) )
7251, 71eqtr4d 2424 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
7326, 72eqtr4d 2424 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717  (class class class)co 6022   CCcc 8923   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    x. cmul 8930    - cmin 9225    / cdiv 9611   2c2 9983   NN0cn0 10155   ZZcz 10216   ...cfz 10977    _C cbc 11522
This theorem is referenced by:  bclbnd  20933
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-fz 10978  df-seq 11253  df-fac 11496  df-bc 11523
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