MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcp1ctr Structured version   Unicode version

Theorem bcp1ctr 21068
Description: Ratio of two central binomial coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcp1ctr  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( N  + 
1 ) ) ) ) )

Proof of Theorem bcp1ctr
StepHypRef Expression
1 2cn 10075 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
21mulid1i 9097 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
3 df-2 10063 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 1  +  1 )
42, 3eqtri 2458 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
54oveq2i 6095 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 1  +  1 ) )
6 nn0cn 10236 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
7 ax-1cn 9053 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
8 adddi 9084 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
91, 7, 8mp3an13 1271 . . . . . 6  |-  ( N  e.  CC  ->  (
2  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
106, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
11 2nn0 10243 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
12 nn0mulcl 10261 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
1311, 12mpan 653 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  N )  e. 
NN0 )
1413nn0cnd 10281 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  N )  e.  CC )
15 addass 9082 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 1  +  1 ) ) )
167, 7, 15mp3an23 1272 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 1  +  1 ) ) )
1714, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 1  +  1 ) ) )
185, 10, 173eqtr4a 2496 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 ) )
1918oveq1d 6099 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) ) )
20 peano2nn0 10265 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e. 
NN0 )
2113, 20syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e. 
NN0 )
22 nn0p1nn 10264 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
2322nnzd 10379 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
24 bcpasc 11617 . . . 4  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN0  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  ( N  + 
1 ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  (
( N  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) ) )
2521, 23, 24syl2anc 644 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) ) )
2619, 25eqtr4d 2473 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
27 nn0z 10309 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
28 bccl 11618 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN0 )
2913, 27, 28syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  e. 
NN0 )
3029nn0cnd 10281 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  e.  CC )
311a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
3221nn0red 10280 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR )
3332, 22nndivred 10053 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( N  + 
1 ) )  e.  RR )
3433recnd 9119 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
3530, 31, 34mul12d 9280 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  N )  _C  N
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
367a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
3714, 36, 6addsubd 9437 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  -  N )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  N )  +  1 ) )
3862timesd 10215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  N )  =  ( N  +  N
) )
3938oveq1d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  -  N )  =  ( ( N  +  N )  -  N
) )
406, 6pncand 9417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  N )  -  N )  =  N )
4139, 40eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  -  N )  =  N )
4241oveq1d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  -  N )  +  1 )  =  ( N  +  1 ) )
4337, 42eqtr2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  N
) )
4443oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  N ) ) )
4544oveq2d 6100 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  -  N ) ) ) )
46 fzctr 11122 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
47 bcp1n 11612 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N )  =  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  N ) ) ) )
4846, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  N )  =  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  -  N ) ) ) )
4945, 48eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N
) )
5049oveq2d 6100 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N ) ) )
5135, 50eqtrd 2470 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N ) ) )
52 bccmpl 11605 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN0  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) ) )
5321, 23, 52syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  ( N  +  1 ) ) ) )
5438oveq1d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  =  ( ( N  +  N )  +  1 ) )
556, 6, 36addassd 9115 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  N )  +  1 )  =  ( N  +  ( N  +  1 ) ) )
5654, 55eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  =  ( N  +  ( N  +  1 ) ) )
5756oveq1d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( N  +  ( N  +  1
) )  -  ( N  +  1 ) ) )
5822nncnd 10021 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
596, 58pncand 9417 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  ( N  +  1 ) )  -  ( N  + 
1 ) )  =  N )
6057, 59eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) )  =  N )
6160oveq2d 6100 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  ( N  +  1
) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N
) )
6253, 61eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N
) )
63 pncan 9316 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
646, 7, 63sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
6564oveq2d 6100 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N
) )
6662, 65oveq12d 6102 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N ) ) )
67 bccl 11618 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N
)  e.  NN0 )
6821, 27, 67syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  N )  e. 
NN0 )
6968nn0cnd 10281 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  _C  N )  e.  CC )
70692timesd 10215 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N ) ) )
7166, 70eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  N ) ) )
7251, 71eqtr4d 2473 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
7326, 72eqtr4d 2473 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726  (class class class)co 6084   CCcc 8993   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    - cmin 9296    / cdiv 9682   2c2 10054   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ...cfz 11048    _C cbc 11598
This theorem is referenced by:  bclbnd  21069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-seq 11329  df-fac 11572  df-bc 11599
  Copyright terms: Public domain W3C validator