MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcp1m1 Structured version   Unicode version

Theorem bcp1m1 11613
Description: Compute the binomial coefficent of  ( N  + 
1 ) over  ( N  -  1 ) (Contributed by Scott Fenton, 11-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcp1m1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  ( N  - 
1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  /  2
) )

Proof of Theorem bcp1m1
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 10262 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
2 nn0z 10306 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
3 peano2zm 10322 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
5 bccmpl 11602 . . 3  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  _C  ( N  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  -  ( N  - 
1 ) ) ) )
61, 4, 5syl2anc 644 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  ( N  - 
1 ) )  =  ( ( N  + 
1 )  _C  (
( N  +  1 )  -  ( N  -  1 ) ) ) )
7 nn0cn 10233 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
8 ax-1cn 9050 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
98a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
107, 9, 9pnncand 9452 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  ( N  - 
1 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
11 df-2 10060 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1210, 11syl6eqr 2488 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  ( N  - 
1 ) )  =  2 )
1312oveq2d 6099 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  -  ( N  -  1
) ) )  =  ( ( N  + 
1 )  _C  2
) )
14 bcn2 11612 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  2 )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  /  2
) )
151, 14syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  2 )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  /  2
) )
16 pncan 9313 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
177, 8, 16sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
1817oveq2d 6099 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( N  + 
1 )  x.  N
) )
1918oveq1d 6098 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  /  2 )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  /  2
) )
2015, 19eqtrd 2470 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  2 )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  /  2
) )
2113, 20eqtrd 2470 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  ( ( N  +  1 )  -  ( N  -  1
) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  /  2
) )
226, 21eqtrd 2470 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  ( N  - 
1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  /  2
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726  (class class class)co 6083   CCcc 8990   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    - cmin 9293    / cdiv 9679   2c2 10051   NN0cn0 10223   ZZcz 10284    _C cbc 11595
This theorem is referenced by:  arisum  12641
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-seq 11326  df-fac 11569  df-bc 11596
  Copyright terms: Public domain W3C validator