MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcrpcl Unicode version

Theorem bcrpcl 11321
Description: Closure of the binomial coefficient in the positive reals. (This is mostly a lemma before we have bccl2 11335.) (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcrpcl  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  RR+ )

Proof of Theorem bcrpcl
StepHypRef Expression
1 bcval2 11318 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
2 elfz3nn0 10823 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
3 faccl 11298 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
42, 3syl 15 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
5 fznn0sub 10824 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
6 elfznn0 10822 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
7 faccl 11298 . . . . 5  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  -  K ) )  e.  NN )
8 faccl 11298 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  e.  NN )
9 nnmulcl 9769 . . . . 5  |-  ( ( ( ! `  ( N  -  K )
)  e.  NN  /\  ( ! `  K )  e.  NN )  -> 
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  e.  NN )
107, 8, 9syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  e.  NN )
115, 6, 10syl2anc 642 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  e.  NN )
12 nnrp 10363 . . . 4  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  RR+ )
13 nnrp 10363 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  e.  RR+ )
14 rpdivcl 10376 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  RR+  /\  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  e.  RR+ )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) )  e.  RR+ )
1512, 13, 14syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  NN  /\  ( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  e.  NN )  ->  ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
) )  e.  RR+ )
164, 11, 15syl2anc 642 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) )  e.  RR+ )
171, 16eqeltrd 2357 1  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737    x. cmul 8742    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   RR+crp 10354   ...cfz 10782   !cfa 11288    _C cbc 11315
This theorem is referenced by:  bcp1nk  11329  bcpasc  11333  bccl2  11335  bcm1n  23032
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-fac 11289  df-bc 11316
  Copyright terms: Public domain W3C validator