MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcth2 Structured version   Unicode version

Theorem bcth2 19283
Description: Baire's Category Theorem, version 2: If countably many closed sets cover  X, then one of them has an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
bcth.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
bcth2  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( M : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  M  =  X ) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  ( M `  k )
)  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    D, k    k, J    k, M    k, X

Proof of Theorem bcth2
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . 2  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( M : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  M  =  X ) )  ->  D  e.  ( CMet `  X )
)
2 simprl 733 . 2  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( M : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  M  =  X ) )  ->  M : NN
--> ( Clsd `  J
) )
3 cmetmet 19239 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
43ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( M : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  M  =  X ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
5 metxmet 18364 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
6 bcth.2 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
76mopntopon 18469 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
84, 5, 73syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( M : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  M  =  X ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 topontop 16991 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( M : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  M  =  X ) )  ->  J  e.  Top )
11 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( M : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  M  =  X ) )  ->  U. ran  M  =  X )
12 toponmax 16993 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
138, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( M : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  M  =  X ) )  ->  X  e.  J )
1411, 13eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( M : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  M  =  X ) )  ->  U. ran  M  e.  J )
15 isopn3i 17146 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U.
ran  M  e.  J
)  ->  ( ( int `  J ) `  U. ran  M )  = 
U. ran  M )
1610, 14, 15syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( M : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  M  =  X ) )  ->  ( ( int `  J ) `  U. ran  M )  = 
U. ran  M )
1716, 11eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( M : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  M  =  X ) )  ->  ( ( int `  J ) `  U. ran  M )  =  X )
18 simplr 732 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( M : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  M  =  X ) )  ->  X  =/=  (/) )
1917, 18eqnetrd 2619 . 2  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( M : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  M  =  X ) )  ->  ( ( int `  J ) `  U. ran  M )  =/=  (/) )
206bcth 19282 . 2  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> ( Clsd `  J
)  /\  ( ( int `  J ) `  U. ran  M )  =/=  (/) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  ( M `  k )
)  =/=  (/) )
211, 2, 19, 20syl3anc 1184 1  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( M : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  M  =  X ) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  ( M `  k )
)  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2706   (/)c0 3628   U.cuni 4015   ran crn 4879   -->wf 5450   ` cfv 5454   NNcn 10000   * Metcxmt 16686   Metcme 16687   MetOpencmopn 16691   Topctop 16958  TopOnctopon 16959   Clsdccld 17080   intcnt 17081   CMetcms 19207
This theorem is referenced by:  ubthlem1  22372
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-dc 8326  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lm 17293  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-cfil 19208  df-cau 19209  df-cmet 19210
  Copyright terms: Public domain W3C validator