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Theorem bcth3 19276
Description: Baire's Category Theorem, version 3: The intersection of countably many dense open sets is dense. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
bcth.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
bcth3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  (
( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  X )  ->  (
( cls `  J
) `  |^| ran  M
)  =  X )
Distinct variable groups:    D, k    k, J    k, M    k, X

Proof of Theorem bcth3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 19231 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2 metxmet 18356 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
4 bcth.2 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
54mopntop 18462 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
65ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  J  e.  Top )
7 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M : NN --> J  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k
)  e.  J )
8 elssuni 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M `  k )  e.  J  ->  ( M `  k )  C_ 
U. J )
97, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M : NN --> J  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k
)  C_  U. J )
109adantll 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k )  C_ 
U. J )
11 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
1211clsval2 17106 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( M `  k ) 
C_  U. J )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  ( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )
136, 10, 12syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  ( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )
144mopnuni 18463 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
1514ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  X  =  U. J )
1613, 15eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  X  <->  ( U. J  \  ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )  =  U. J
) )
17 difeq2 3451 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. J  \  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )  =  U. J  ->  ( U. J  \ 
( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  ( U. J  \  U. J ) )
18 difid 3688 . . . . . . . 8  |-  ( U. J  \  U. J )  =  (/)
1917, 18syl6eq 2483 . . . . . . 7  |-  ( ( U. J  \  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )  =  U. J  ->  ( U. J  \ 
( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  (/) )
20 difss 3466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. J  \  ( M `  k ) )  C_  U. J
2111ntropn 17105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  ( M `  k )
)  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  ( U. J  \  ( M `  k )
) )  e.  J
)
226, 20, 21sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) )  e.  J )
23 elssuni 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) )  e.  J  ->  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) 
C_  U. J )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) 
C_  U. J )
25 dfss4 3567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) 
C_  U. J  <->  ( U. J  \  ( U. J  \  ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )
2624, 25sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )
27 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
28 elfvdm 5749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
29 difexg 4343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  dom  * Met  ->  ( X  \  ( M `  k )
)  e.  _V )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  \  ( M `  k ) )  e. 
_V )
3130adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( X  \  ( M `  k ) )  e. 
_V )
32 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  k  ->  ( M `  x )  =  ( M `  k ) )
3332difeq2d 3457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  ( X  \  ( M `  x ) )  =  ( X  \  ( M `  k )
) )
34 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  |->  ( X 
\  ( M `  x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) )
3533, 34fvmptg 5796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( X  \  ( M `  k )
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) ) `  k )  =  ( X  \  ( M `
 k ) ) )
3627, 31, 35syl2anr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
)  =  ( X 
\  ( M `  k ) ) )
3715difeq1d 3456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( X  \  ( M `  k ) )  =  ( U. J  \ 
( M `  k
) ) )
3836, 37eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
)  =  ( U. J  \  ( M `  k ) ) )
3938fveq2d 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =  ( ( int `  J ) `
 ( U. J  \  ( M `  k
) ) ) )
4026, 39eqtr4d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) ) )
4140eqeq1d 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( U. J  \ 
( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  (/)  <->  (
( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =  (/) ) )
4219, 41syl5ib 211 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )  =  U. J  ->  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =  (/) ) )
4316, 42sylbid 207 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  X  ->  ( ( int `  J ) `  ( ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) ) `  k ) )  =  (/) ) )
4443ralimdva 2776 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( A. k  e.  NN  ( ( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  X  ->  A. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =  (/) ) )
453, 44sylan 458 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  -> 
( A. k  e.  NN  ( ( cls `  J ) `  ( M `  k )
)  =  X  ->  A. k  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =  (/) ) )
46 ffvelrn 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M : NN --> J  /\  x  e.  NN )  ->  ( M `  x
)  e.  J )
4714difeq1d 3456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  \  ( M `  x ) )  =  ( U. J  \ 
( M `  x
) ) )
4847adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( M `  x )  e.  J
)  ->  ( X  \  ( M `  x
) )  =  ( U. J  \  ( M `  x )
) )
4911opncld 17089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( M `  x )  e.  J )  -> 
( U. J  \ 
( M `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
505, 49sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( M `  x )  e.  J
)  ->  ( U. J  \  ( M `  x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
5148, 50eqeltrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( M `  x )  e.  J
)  ->  ( X  \  ( M `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
5246, 51sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( M : NN
--> J  /\  x  e.  NN ) )  -> 
( X  \  ( M `  x )
)  e.  ( Clsd `  J ) )
5352anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  x  e.  NN )  ->  ( X  \  ( M `  x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
5453ralrimiva 2781 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  A. x  e.  NN  ( X  \ 
( M `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
553, 54sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  A. x  e.  NN  ( X  \  ( M `  x )
)  e.  ( Clsd `  J ) )
5634fmpt 5882 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  NN  ( X  \  ( M `  x ) )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) ) : NN --> ( Clsd `  J
) )
5755, 56sylib 189 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  -> 
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) : NN --> ( Clsd `  J )
)
58 nne 2602 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =/=  (/)  <->  ( ( int `  J ) `  ( ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) ) `  k ) )  =  (/) )
5958ralbii 2721 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  NN  -.  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =/=  (/)  <->  A. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =  (/) )
60 ralnex 2707 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  NN  -.  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =/=  (/)  <->  -.  E. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =/=  (/) )
6159, 60bitr3i 243 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  NN  (
( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =  (/)  <->  -.  E. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =/=  (/) )
624bcth 19274 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) : NN --> ( Clsd `  J )  /\  (
( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =/=  (/) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =/=  (/) )
63623expia 1155 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) : NN --> ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( ( int `  J ) `  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) )  =/=  (/)  ->  E. k  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =/=  (/) ) )
6463necon1bd 2666 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) : NN --> ( Clsd `  J ) )  -> 
( -.  E. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =/=  (/)  ->  (
( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  (/) ) )
6561, 64syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) : NN --> ( Clsd `  J ) )  -> 
( A. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =  (/)  ->  ( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  (/) ) )
6657, 65syldan 457 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  -> 
( A. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =  (/)  ->  ( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  (/) ) )
67 difeq2 3451 . . . . 5  |-  ( ( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  (/)  ->  ( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) ) )  =  ( U. J  \  (/) ) )
68 difexg 4343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  dom  * Met  ->  ( X  \  ( M `  x )
)  e.  _V )
6928, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  \  ( M `  x ) )  e. 
_V )
7069ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  x  e.  NN )  ->  ( X  \  ( M `  x ) )  e. 
_V )
7170ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  A. x  e.  NN  ( X  \ 
( M `  x
) )  e.  _V )
7234fnmpt 5563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  NN  ( X  \  ( M `  x ) )  e. 
_V  ->  ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) )  Fn  NN )
73 fniunfv 5986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) )  Fn  NN  ->  U_ k  e.  NN  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
)  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) )
7471, 72, 733syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U_ k  e.  NN  ( ( x  e.  NN  |->  ( X 
\  ( M `  x ) ) ) `
 k )  = 
U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) ) )
7536iuneq2dv 4106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U_ k  e.  NN  ( ( x  e.  NN  |->  ( X 
\  ( M `  x ) ) ) `
 k )  = 
U_ k  e.  NN  ( X  \  ( M `  k )
) )
7633cbviunv 4122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ x  e.  NN  ( X  \ 
( M `  x
) )  =  U_ k  e.  NN  ( X  \  ( M `  k ) )
7775, 76syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U_ k  e.  NN  ( ( x  e.  NN  |->  ( X 
\  ( M `  x ) ) ) `
 k )  = 
U_ x  e.  NN  ( X  \  ( M `  x )
) )
7874, 77eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) )  =  U_ x  e.  NN  ( X  \  ( M `  x ) ) )
79 iundif2 4150 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ x  e.  NN  ( X  \ 
( M `  x
) )  =  ( X  \  |^|_ x  e.  NN  ( M `  x ) )
8078, 79syl6eq 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) )  =  ( X  \  |^|_ x  e.  NN  ( M `  x ) ) )
81 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M : NN --> J  ->  M  Fn  NN )
8281adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  M  Fn  NN )
83 fniinfv 5777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  Fn  NN  ->  |^|_ x  e.  NN  ( M `  x )  =  |^| ran 
M )
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  |^|_ x  e.  NN  ( M `  x )  =  |^| ran 
M )
8584difeq2d 3457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( X  \  |^|_ x  e.  NN  ( M `  x ) )  =  ( X 
\  |^| ran  M ) )
8614adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  X  =  U. J )
8786difeq1d 3456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( X  \  |^| ran  M
)  =  ( U. J  \  |^| ran  M
) )
8880, 85, 873eqtrd 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) )  =  ( U. J  \  |^| ran 
M ) )
8988fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  (
( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  |^| ran  M
) ) )
9089difeq2d 3457 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( U. J  \  (
( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) ) )  =  ( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  |^| ran  M
) ) ) )
915adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  J  e.  Top )
92 1nn 10003 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
93 biidd 229 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  ->  |^| ran  M 
C_  U. J )  <->  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  |^| ran  M  C_  U. J ) ) )
94 fnfvelrn 5859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k
)  e.  ran  M
)
9582, 94sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k )  e.  ran  M )
96 intss1 4057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M `  k )  e.  ran  M  ->  |^| ran  M  C_  ( M `  k )
)
9795, 96syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  |^| ran  M 
C_  ( M `  k ) )
9897, 10sstrd 3350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  |^| ran  M 
C_  U. J )
9998expcom 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  ->  |^| ran  M 
C_  U. J ) )
10093, 99vtoclga 3009 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  ->  |^| ran  M 
C_  U. J ) )
10192, 100ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  |^| ran  M 
C_  U. J )
10211clsval2 17106 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  |^|
ran  M  C_  U. J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  |^| ran  M )  =  ( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  |^| ran  M
) ) ) )
10391, 101, 102syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  (
( cls `  J
) `  |^| ran  M
)  =  ( U. J  \  ( ( int `  J ) `  ( U. J  \  |^| ran  M ) ) ) )
10490, 103eqtr4d 2470 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( U. J  \  (
( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) ) )  =  ( ( cls `  J
) `  |^| ran  M
) )
105 dif0 3690 . . . . . . 7  |-  ( U. J  \  (/) )  =  U. J
10686, 105syl6reqr 2486 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( U. J  \  (/) )  =  X )
107104, 106eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  (
( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) ) )  =  ( U. J  \  (/) )  <->  ( ( cls `  J ) `  |^| ran 
M )  =  X ) )
10867, 107syl5ib 211 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  (
( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  (/)  ->  ( ( cls `  J
) `  |^| ran  M
)  =  X ) )
1093, 108sylan 458 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  -> 
( ( ( int `  J ) `  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) )  =  (/)  ->  ( ( cls `  J ) `  |^| ran 
M )  =  X ) )
11045, 66, 1093syld 53 . 2  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  -> 
( A. k  e.  NN  ( ( cls `  J ) `  ( M `  k )
)  =  X  -> 
( ( cls `  J
) `  |^| ran  M
)  =  X ) )
1111103impia 1150 1  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  (
( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  X )  ->  (
( cls `  J
) `  |^| ran  M
)  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   (/)c0 3620   U.cuni 4007   |^|cint 4042   U_ciun 4085   |^|_ciin 4086    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   ran crn 4871    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446   1c1 8983   NNcn 9992   * Metcxmt 16678   Metcme 16679   MetOpencmopn 16683   Topctop 16950   Clsdccld 17072   intcnt 17073   clsccl 17074   CMetcms 19199
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-dc 8318  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ico 10914  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lm 17285  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-cfil 19200  df-cau 19201  df-cmet 19202
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