MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcth3 Unicode version

Theorem bcth3 18753
Description: Baire's Category Theorem, version 3: The intersection of countably many dense open sets is dense. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
bcth.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
bcth3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  (
( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  X )  ->  (
( cls `  J
) `  |^| ran  M
)  =  X )
Distinct variable groups:    D, k    k, J    k, M    k, X

Proof of Theorem bcth3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 18712 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2 metxmet 17899 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
4 bcth.2 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
54mopntop 17986 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
65ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  J  e.  Top )
7 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M : NN --> J  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k
)  e.  J )
8 elssuni 3855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M `  k )  e.  J  ->  ( M `  k )  C_ 
U. J )
97, 8syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M : NN --> J  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k
)  C_  U. J )
109adantll 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k )  C_ 
U. J )
11 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
1211clsval2 16787 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( M `  k ) 
C_  U. J )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  ( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )
136, 10, 12syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  ( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )
144mopnuni 17987 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
1514ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  X  =  U. J )
1613, 15eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  X  <->  ( U. J  \  ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )  =  U. J
) )
17 difeq2 3288 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. J  \  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )  =  U. J  ->  ( U. J  \ 
( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  ( U. J  \  U. J ) )
18 difid 3522 . . . . . . . 8  |-  ( U. J  \  U. J )  =  (/)
1917, 18syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( ( U. J  \  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )  =  U. J  ->  ( U. J  \ 
( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  (/) )
20 difss 3303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. J  \  ( M `  k ) )  C_  U. J
2111ntropn 16786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  ( M `  k )
)  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  ( U. J  \  ( M `  k )
) )  e.  J
)
226, 20, 21sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) )  e.  J )
23 elssuni 3855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) )  e.  J  ->  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) 
C_  U. J )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) 
C_  U. J )
25 dfss4 3403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) 
C_  U. J  <->  ( U. J  \  ( U. J  \  ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )
2624, 25sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )
27 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
28 elfvdm 5554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
29 difexg 4162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  dom  * Met  ->  ( X  \  ( M `  k )
)  e.  _V )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  \  ( M `  k ) )  e. 
_V )
3130adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( X  \  ( M `  k ) )  e. 
_V )
32 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  k  ->  ( M `  x )  =  ( M `  k ) )
3332difeq2d 3294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  ( X  \  ( M `  x ) )  =  ( X  \  ( M `  k )
) )
34 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  |->  ( X 
\  ( M `  x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) )
3533, 34fvmptg 5600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( X  \  ( M `  k )
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) ) `  k )  =  ( X  \  ( M `
 k ) ) )
3627, 31, 35syl2anr 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
)  =  ( X 
\  ( M `  k ) ) )
3715difeq1d 3293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( X  \  ( M `  k ) )  =  ( U. J  \ 
( M `  k
) ) )
3836, 37eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
)  =  ( U. J  \  ( M `  k ) ) )
3938fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =  ( ( int `  J ) `
 ( U. J  \  ( M `  k
) ) ) )
4026, 39eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) ) )
4140eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( U. J  \ 
( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  (/)  <->  (
( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =  (/) ) )
4219, 41syl5ib 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )  =  U. J  ->  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =  (/) ) )
4316, 42sylbid 206 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  X  ->  ( ( int `  J ) `  ( ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) ) `  k ) )  =  (/) ) )
4443ralimdva 2621 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( A. k  e.  NN  ( ( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  X  ->  A. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =  (/) ) )
453, 44sylan 457 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  -> 
( A. k  e.  NN  ( ( cls `  J ) `  ( M `  k )
)  =  X  ->  A. k  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =  (/) ) )
46 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M : NN --> J  /\  x  e.  NN )  ->  ( M `  x
)  e.  J )
4714difeq1d 3293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  \  ( M `  x ) )  =  ( U. J  \ 
( M `  x
) ) )
4847adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( M `  x )  e.  J
)  ->  ( X  \  ( M `  x
) )  =  ( U. J  \  ( M `  x )
) )
4911opncld 16770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( M `  x )  e.  J )  -> 
( U. J  \ 
( M `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
505, 49sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( M `  x )  e.  J
)  ->  ( U. J  \  ( M `  x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
5148, 50eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( M `  x )  e.  J
)  ->  ( X  \  ( M `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
5246, 51sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( M : NN
--> J  /\  x  e.  NN ) )  -> 
( X  \  ( M `  x )
)  e.  ( Clsd `  J ) )
5352anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  x  e.  NN )  ->  ( X  \  ( M `  x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
5453ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  A. x  e.  NN  ( X  \ 
( M `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
553, 54sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  A. x  e.  NN  ( X  \  ( M `  x )
)  e.  ( Clsd `  J ) )
5634fmpt 5681 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  NN  ( X  \  ( M `  x ) )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) ) : NN --> ( Clsd `  J
) )
5755, 56sylib 188 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  -> 
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) : NN --> ( Clsd `  J )
)
58 nne 2450 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =/=  (/)  <->  ( ( int `  J ) `  ( ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) ) `  k ) )  =  (/) )
5958ralbii 2567 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  NN  -.  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =/=  (/)  <->  A. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =  (/) )
60 ralnex 2553 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  NN  -.  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =/=  (/)  <->  -.  E. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =/=  (/) )
6159, 60bitr3i 242 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  NN  (
( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =  (/)  <->  -.  E. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =/=  (/) )
624bcth 18751 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) : NN --> ( Clsd `  J )  /\  (
( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =/=  (/) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =/=  (/) )
63623expia 1153 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) : NN --> ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( ( int `  J ) `  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) )  =/=  (/)  ->  E. k  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =/=  (/) ) )
6463necon1bd 2514 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) : NN --> ( Clsd `  J ) )  -> 
( -.  E. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =/=  (/)  ->  (
( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  (/) ) )
6561, 64syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) : NN --> ( Clsd `  J ) )  -> 
( A. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =  (/)  ->  ( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  (/) ) )
6657, 65syldan 456 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  -> 
( A. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =  (/)  ->  ( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  (/) ) )
67 difeq2 3288 . . . . 5  |-  ( ( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  (/)  ->  ( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) ) )  =  ( U. J  \  (/) ) )
68 difexg 4162 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  dom  * Met  ->  ( X  \  ( M `  x )
)  e.  _V )
6928, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  \  ( M `  x ) )  e. 
_V )
7069ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  x  e.  NN )  ->  ( X  \  ( M `  x ) )  e. 
_V )
7170ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  A. x  e.  NN  ( X  \ 
( M `  x
) )  e.  _V )
7234fnmpt 5370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  NN  ( X  \  ( M `  x ) )  e. 
_V  ->  ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) )  Fn  NN )
73 fniunfv 5773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) )  Fn  NN  ->  U_ k  e.  NN  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
)  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) )
7471, 72, 733syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U_ k  e.  NN  ( ( x  e.  NN  |->  ( X 
\  ( M `  x ) ) ) `
 k )  = 
U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) ) )
7536iuneq2dv 3926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U_ k  e.  NN  ( ( x  e.  NN  |->  ( X 
\  ( M `  x ) ) ) `
 k )  = 
U_ k  e.  NN  ( X  \  ( M `  k )
) )
7633cbviunv 3941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ x  e.  NN  ( X  \ 
( M `  x
) )  =  U_ k  e.  NN  ( X  \  ( M `  k ) )
7775, 76syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U_ k  e.  NN  ( ( x  e.  NN  |->  ( X 
\  ( M `  x ) ) ) `
 k )  = 
U_ x  e.  NN  ( X  \  ( M `  x )
) )
7874, 77eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) )  =  U_ x  e.  NN  ( X  \  ( M `  x ) ) )
79 iundif2 3969 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ x  e.  NN  ( X  \ 
( M `  x
) )  =  ( X  \  |^|_ x  e.  NN  ( M `  x ) )
8078, 79syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) )  =  ( X  \  |^|_ x  e.  NN  ( M `  x ) ) )
81 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M : NN --> J  ->  M  Fn  NN )
8281adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  M  Fn  NN )
83 fniinfv 5581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  Fn  NN  ->  |^|_ x  e.  NN  ( M `  x )  =  |^| ran 
M )
8482, 83syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  |^|_ x  e.  NN  ( M `  x )  =  |^| ran 
M )
8584difeq2d 3294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( X  \  |^|_ x  e.  NN  ( M `  x ) )  =  ( X 
\  |^| ran  M ) )
8614adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  X  =  U. J )
8786difeq1d 3293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( X  \  |^| ran  M
)  =  ( U. J  \  |^| ran  M
) )
8880, 85, 873eqtrd 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) )  =  ( U. J  \  |^| ran 
M ) )
8988fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  (
( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  |^| ran  M
) ) )
9089difeq2d 3294 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( U. J  \  (
( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) ) )  =  ( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  |^| ran  M
) ) ) )
915adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  J  e.  Top )
92 1nn 9757 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
93 biidd 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  ->  |^| ran  M 
C_  U. J )  <->  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  |^| ran  M  C_  U. J ) ) )
94 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k
)  e.  ran  M
)
9582, 94sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k )  e.  ran  M )
96 intss1 3877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M `  k )  e.  ran  M  ->  |^| ran  M  C_  ( M `  k )
)
9795, 96syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  |^| ran  M 
C_  ( M `  k ) )
9897, 10sstrd 3189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  |^| ran  M 
C_  U. J )
9998expcom 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  ->  |^| ran  M 
C_  U. J ) )
10093, 99vtoclga 2849 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  ->  |^| ran  M 
C_  U. J ) )
10192, 100ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  |^| ran  M 
C_  U. J )
10211clsval2 16787 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  |^|
ran  M  C_  U. J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  |^| ran  M )  =  ( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  |^| ran  M
) ) ) )
10391, 101, 102syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  (
( cls `  J
) `  |^| ran  M
)  =  ( U. J  \  ( ( int `  J ) `  ( U. J  \  |^| ran  M ) ) ) )
10490, 103eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( U. J  \  (
( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) ) )  =  ( ( cls `  J
) `  |^| ran  M
) )
105 dif0 3524 . . . . . . 7  |-  ( U. J  \  (/) )  =  U. J
10686, 105syl6reqr 2334 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( U. J  \  (/) )  =  X )
107104, 106eqeq12d 2297 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  (
( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) ) )  =  ( U. J  \  (/) )  <->  ( ( cls `  J ) `  |^| ran 
M )  =  X ) )
10867, 107syl5ib 210 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  (
( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  (/)  ->  ( ( cls `  J
) `  |^| ran  M
)  =  X ) )
1093, 108sylan 457 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  -> 
( ( ( int `  J ) `  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) )  =  (/)  ->  ( ( cls `  J ) `  |^| ran 
M )  =  X ) )
11045, 66, 1093syld 51 . 2  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  -> 
( A. k  e.  NN  ( ( cls `  J ) `  ( M `  k )
)  =  X  -> 
( ( cls `  J
) `  |^| ran  M
)  =  X ) )
1111103impia 1148 1  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  (
( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  X )  ->  (
( cls `  J
) `  |^| ran  M
)  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   |^|cint 3862   U_ciun 3905   |^|_ciin 3906    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   1c1 8738   NNcn 9746   * Metcxmt 16369   Metcme 16370   MetOpencmopn 16372   Topctop 16631   Clsdccld 16753   intcnt 16754   clsccl 16755   CMetcms 18680
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-dc 8072  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lm 16959  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683
  Copyright terms: Public domain W3C validator