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Theorem bcth3 18769
Description: Baire's Category Theorem, version 3: The intersection of countably many dense open sets is dense. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
bcth.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
bcth3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  (
( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  X )  ->  (
( cls `  J
) `  |^| ran  M
)  =  X )
Distinct variable groups:    D, k    k, J    k, M    k, X

Proof of Theorem bcth3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 18728 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2 metxmet 17915 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
4 bcth.2 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
54mopntop 18002 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
65ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  J  e.  Top )
7 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M : NN --> J  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k
)  e.  J )
8 elssuni 3871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M `  k )  e.  J  ->  ( M `  k )  C_ 
U. J )
97, 8syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M : NN --> J  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k
)  C_  U. J )
109adantll 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k )  C_ 
U. J )
11 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
1211clsval2 16803 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( M `  k ) 
C_  U. J )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  ( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )
136, 10, 12syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  ( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )
144mopnuni 18003 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
1514ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  X  =  U. J )
1613, 15eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  X  <->  ( U. J  \  ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )  =  U. J
) )
17 difeq2 3301 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. J  \  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )  =  U. J  ->  ( U. J  \ 
( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  ( U. J  \  U. J ) )
18 difid 3535 . . . . . . . 8  |-  ( U. J  \  U. J )  =  (/)
1917, 18syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( ( U. J  \  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )  =  U. J  ->  ( U. J  \ 
( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  (/) )
20 difss 3316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. J  \  ( M `  k ) )  C_  U. J
2111ntropn 16802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  ( M `  k )
)  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  ( U. J  \  ( M `  k )
) )  e.  J
)
226, 20, 21sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) )  e.  J )
23 elssuni 3871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) )  e.  J  ->  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) 
C_  U. J )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) 
C_  U. J )
25 dfss4 3416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) 
C_  U. J  <->  ( U. J  \  ( U. J  \  ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )
2624, 25sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )
27 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
28 elfvdm 5570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
29 difexg 4178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  dom  * Met  ->  ( X  \  ( M `  k )
)  e.  _V )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  \  ( M `  k ) )  e. 
_V )
3130adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( X  \  ( M `  k ) )  e. 
_V )
32 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  k  ->  ( M `  x )  =  ( M `  k ) )
3332difeq2d 3307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  ( X  \  ( M `  x ) )  =  ( X  \  ( M `  k )
) )
34 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  |->  ( X 
\  ( M `  x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) )
3533, 34fvmptg 5616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( X  \  ( M `  k )
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) ) `  k )  =  ( X  \  ( M `
 k ) ) )
3627, 31, 35syl2anr 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
)  =  ( X 
\  ( M `  k ) ) )
3715difeq1d 3306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( X  \  ( M `  k ) )  =  ( U. J  \ 
( M `  k
) ) )
3836, 37eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
)  =  ( U. J  \  ( M `  k ) ) )
3938fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =  ( ( int `  J ) `
 ( U. J  \  ( M `  k
) ) ) )
4026, 39eqtr4d 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  (
( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) ) )
4140eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( U. J  \ 
( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) ) )  =  (/)  <->  (
( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =  (/) ) )
4219, 41syl5ib 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  ( M `  k ) ) ) )  =  U. J  ->  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =  (/) ) )
4316, 42sylbid 206 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  X  ->  ( ( int `  J ) `  ( ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) ) `  k ) )  =  (/) ) )
4443ralimdva 2634 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( A. k  e.  NN  ( ( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  X  ->  A. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =  (/) ) )
453, 44sylan 457 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  -> 
( A. k  e.  NN  ( ( cls `  J ) `  ( M `  k )
)  =  X  ->  A. k  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =  (/) ) )
46 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M : NN --> J  /\  x  e.  NN )  ->  ( M `  x
)  e.  J )
4714difeq1d 3306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  \  ( M `  x ) )  =  ( U. J  \ 
( M `  x
) ) )
4847adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( M `  x )  e.  J
)  ->  ( X  \  ( M `  x
) )  =  ( U. J  \  ( M `  x )
) )
4911opncld 16786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( M `  x )  e.  J )  -> 
( U. J  \ 
( M `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
505, 49sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( M `  x )  e.  J
)  ->  ( U. J  \  ( M `  x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
5148, 50eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( M `  x )  e.  J
)  ->  ( X  \  ( M `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
5246, 51sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( M : NN
--> J  /\  x  e.  NN ) )  -> 
( X  \  ( M `  x )
)  e.  ( Clsd `  J ) )
5352anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  x  e.  NN )  ->  ( X  \  ( M `  x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
5453ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  A. x  e.  NN  ( X  \ 
( M `  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
553, 54sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  A. x  e.  NN  ( X  \  ( M `  x )
)  e.  ( Clsd `  J ) )
5634fmpt 5697 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  NN  ( X  \  ( M `  x ) )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) ) : NN --> ( Clsd `  J
) )
5755, 56sylib 188 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  -> 
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) : NN --> ( Clsd `  J )
)
58 nne 2463 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =/=  (/)  <->  ( ( int `  J ) `  ( ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) ) `  k ) )  =  (/) )
5958ralbii 2580 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  NN  -.  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =/=  (/)  <->  A. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =  (/) )
60 ralnex 2566 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  NN  -.  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =/=  (/)  <->  -.  E. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =/=  (/) )
6159, 60bitr3i 242 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  NN  (
( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =  (/)  <->  -.  E. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =/=  (/) )
624bcth 18767 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) : NN --> ( Clsd `  J )  /\  (
( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =/=  (/) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =/=  (/) )
63623expia 1153 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) : NN --> ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( ( int `  J ) `  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) )  =/=  (/)  ->  E. k  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) `  k ) )  =/=  (/) ) )
6463necon1bd 2527 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) : NN --> ( Clsd `  J ) )  -> 
( -.  E. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =/=  (/)  ->  (
( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  (/) ) )
6561, 64syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) : NN --> ( Clsd `  J ) )  -> 
( A. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =  (/)  ->  ( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  (/) ) )
6657, 65syldan 456 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  -> 
( A. k  e.  NN  ( ( int `  J ) `  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
) )  =  (/)  ->  ( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  (/) ) )
67 difeq2 3301 . . . . 5  |-  ( ( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  (/)  ->  ( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) ) )  =  ( U. J  \  (/) ) )
68 difexg 4178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  dom  * Met  ->  ( X  \  ( M `  x )
)  e.  _V )
6928, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  \  ( M `  x ) )  e. 
_V )
7069ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  x  e.  NN )  ->  ( X  \  ( M `  x ) )  e. 
_V )
7170ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  A. x  e.  NN  ( X  \ 
( M `  x
) )  e.  _V )
7234fnmpt 5386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  NN  ( X  \  ( M `  x ) )  e. 
_V  ->  ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) )  Fn  NN )
73 fniunfv 5789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) )  Fn  NN  ->  U_ k  e.  NN  (
( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) `  k
)  =  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) )
7471, 72, 733syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U_ k  e.  NN  ( ( x  e.  NN  |->  ( X 
\  ( M `  x ) ) ) `
 k )  = 
U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \ 
( M `  x
) ) ) )
7536iuneq2dv 3942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U_ k  e.  NN  ( ( x  e.  NN  |->  ( X 
\  ( M `  x ) ) ) `
 k )  = 
U_ k  e.  NN  ( X  \  ( M `  k )
) )
7633cbviunv 3957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ x  e.  NN  ( X  \ 
( M `  x
) )  =  U_ k  e.  NN  ( X  \  ( M `  k ) )
7775, 76syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U_ k  e.  NN  ( ( x  e.  NN  |->  ( X 
\  ( M `  x ) ) ) `
 k )  = 
U_ x  e.  NN  ( X  \  ( M `  x )
) )
7874, 77eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) )  =  U_ x  e.  NN  ( X  \  ( M `  x ) ) )
79 iundif2 3985 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ x  e.  NN  ( X  \ 
( M `  x
) )  =  ( X  \  |^|_ x  e.  NN  ( M `  x ) )
8078, 79syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) )  =  ( X  \  |^|_ x  e.  NN  ( M `  x ) ) )
81 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M : NN --> J  ->  M  Fn  NN )
8281adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  M  Fn  NN )
83 fniinfv 5597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  Fn  NN  ->  |^|_ x  e.  NN  ( M `  x )  =  |^| ran 
M )
8482, 83syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  |^|_ x  e.  NN  ( M `  x )  =  |^| ran 
M )
8584difeq2d 3307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( X  \  |^|_ x  e.  NN  ( M `  x ) )  =  ( X 
\  |^| ran  M ) )
8614adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  X  =  U. J )
8786difeq1d 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( X  \  |^| ran  M
)  =  ( U. J  \  |^| ran  M
) )
8880, 85, 873eqtrd 2332 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) )  =  ( U. J  \  |^| ran 
M ) )
8988fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  (
( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( U. J  \  |^| ran  M
) ) )
9089difeq2d 3307 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( U. J  \  (
( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) ) )  =  ( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  |^| ran  M
) ) ) )
915adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  J  e.  Top )
92 1nn 9773 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
93 biidd 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  ->  |^| ran  M 
C_  U. J )  <->  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  |^| ran  M  C_  U. J ) ) )
94 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k
)  e.  ran  M
)
9582, 94sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k )  e.  ran  M )
96 intss1 3893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M `  k )  e.  ran  M  ->  |^| ran  M  C_  ( M `  k )
)
9795, 96syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  |^| ran  M 
C_  ( M `  k ) )
9897, 10sstrd 3202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  /\  k  e.  NN )  ->  |^| ran  M 
C_  U. J )
9998expcom 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  ->  |^| ran  M 
C_  U. J ) )
10093, 99vtoclga 2862 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  M : NN
--> J )  ->  |^| ran  M 
C_  U. J ) )
10192, 100ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  |^| ran  M 
C_  U. J )
10211clsval2 16803 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  |^|
ran  M  C_  U. J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  |^| ran  M )  =  ( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  ( U. J  \  |^| ran  M
) ) ) )
10391, 101, 102syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  (
( cls `  J
) `  |^| ran  M
)  =  ( U. J  \  ( ( int `  J ) `  ( U. J  \  |^| ran  M ) ) ) )
10490, 103eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( U. J  \  (
( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) ) )  =  ( ( cls `  J
) `  |^| ran  M
) )
105 dif0 3537 . . . . . . 7  |-  ( U. J  \  (/) )  =  U. J
10686, 105syl6reqr 2347 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  ( U. J  \  (/) )  =  X )
107104, 106eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  (
( U. J  \ 
( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) ) )  =  ( U. J  \  (/) )  <->  ( ( cls `  J ) `  |^| ran 
M )  =  X ) )
10867, 107syl5ib 210 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  M : NN --> J )  ->  (
( ( int `  J
) `  U. ran  (
x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `
 x ) ) ) )  =  (/)  ->  ( ( cls `  J
) `  |^| ran  M
)  =  X ) )
1093, 108sylan 457 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  -> 
( ( ( int `  J ) `  U. ran  ( x  e.  NN  |->  ( X  \  ( M `  x )
) ) )  =  (/)  ->  ( ( cls `  J ) `  |^| ran 
M )  =  X ) )
11045, 66, 1093syld 51 . 2  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J )  -> 
( A. k  e.  NN  ( ( cls `  J ) `  ( M `  k )
)  =  X  -> 
( ( cls `  J
) `  |^| ran  M
)  =  X ) )
1111103impia 1148 1  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  M : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  (
( cls `  J
) `  ( M `  k ) )  =  X )  ->  (
( cls `  J
) `  |^| ran  M
)  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   |^|cint 3878   U_ciun 3921   |^|_ciin 3922    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271   1c1 8754   NNcn 9762   * Metcxmt 16385   Metcme 16386   MetOpencmopn 16388   Topctop 16647   Clsdccld 16769   intcnt 16770   clsccl 16771   CMetcms 18696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-dc 8088  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lm 16975  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-cfil 18697  df-cau 18698  df-cmet 18699
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