Theorem bcthlem1 7999

Description: Lemma for bcth 8032. Property of exponentially decreasing terms.

Assertion

Ref	Expression
bcthlem1	|- (((m e. NN /\ Y e. RR) /\ (Z e. RR /\ Z < (Y / 2))) -> (Y < (1 / (2^m)) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))

Proof of Theorem bcthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 5979	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
2		2pos 5989	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
3		ltdiv1tOLD 5850	. . . . . . . . 9 |- (((Y e. RR /\ (1 / (2^m)) e. RR /\ 2 e. RR) /\ 0 < 2) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2)))
4	2, 3	mpan2 696	. . . . . . . 8 |- ((Y e. RR /\ (1 / (2^m)) e. RR /\ 2 e. RR) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2)))
5	1, 4	mp3an3 905	. . . . . . 7 |- ((Y e. RR /\ (1 / (2^m)) e. RR) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2)))
6		rerecclt 5803	. . . . . . . 8 |- (((2^m) e. RR /\ (2^m) =/= 0) -> (1 / (2^m)) e. RR)
7		reexpclt 6580	. . . . . . . . 9 |- ((2 e. RR /\ m e. NN0) -> (2^m) e. RR)
8	1, 7	mpan 695	. . . . . . . 8 |- (m e. NN0 -> (2^m) e. RR)
9		2cn 5980	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
10		2ne0 5990	. . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
11		expne0it 6588	. . . . . . . . 9 |- ((2 e. CC /\ m e. NN0 /\ 2 =/= 0) -> (2^m) =/= 0)
12	9, 10, 11	mp3an13 907	. . . . . . . 8 |- (m e. NN0 -> (2^m) =/= 0)
13	6, 8, 12	sylanc 471	. . . . . . 7 |- (m e. NN0 -> (1 / (2^m)) e. RR)
14	5, 13	sylan2 451	. . . . . 6 |- ((Y e. RR /\ m e. NN0) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2)))
15	14	ancoms 436	. . . . 5 |- ((m e. NN0 /\ Y e. RR) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2)))
16	9, 10	pm3.2i 285	. . . . . . . . . 10 |- (2 e. CC /\ 2 =/= 0)
17		recdiv2t 5796	. . . . . . . . . 10 |- ((((2^m) e. CC /\ (2^m) =/= 0) /\ (2 e. CC /\ 2 =/= 0)) -> ((1 / (2^m)) / 2) = (1 / ((2^m) x. 2)))
18	16, 17	mpan2 696	. . . . . . . . 9 |- (((2^m) e. CC /\ (2^m) =/= 0) -> ((1 / (2^m)) / 2) = (1 / ((2^m) x. 2)))
19	8	recnd 5315	. . . . . . . . 9 |- (m e. NN0 -> (2^m) e. CC)
20	18, 19, 12	sylanc 471	. . . . . . . 8 |- (m e. NN0 -> ((1 / (2^m)) / 2) = (1 / ((2^m) x. 2)))
21		expp1t 6574	. . . . . . . . . 10 |- ((2 e. CC /\ m e. NN0) -> (2^(m + 1)) = ((2^m) x. 2))
22	9, 21	mpan 695	. . . . . . . . 9 |- (m e. NN0 -> (2^(m + 1)) = ((2^m) x. 2))
23	22	opreq2d 3976	. . . . . . . 8 |- (m e. NN0 -> (1 / (2^(m + 1))) = (1 / ((2^m) x. 2)))
24	20, 23	eqtr4d 1510	. . . . . . 7 |- (m e. NN0 -> ((1 / (2^m)) / 2) = (1 / (2^(m + 1))))
25	24	adantr 389	. . . . . 6 |- ((m e. NN0 /\ Y e. RR) -> ((1 / (2^m)) / 2) = (1 / (2^(m + 1))))
26	25	breq2d 2630	. . . . 5 |- ((m e. NN0 /\ Y e. RR) -> ((Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2) <-> (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))))
27	15, 26	bitrd 528	. . . 4 |- ((m e. NN0 /\ Y e. RR) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))))
28	27	adantr 389	. . 3 |- (((m e. NN0 /\ Y e. RR) /\ (Z e. RR /\ Z < (Y / 2))) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))))
29		axlttrn 5504	. . . . . . . . 9 |- ((Z e. RR /\ (Y / 2) e. RR /\ (1 / (2^(m + 1))) e. RR) -> ((Z < (Y / 2) /\ (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
30		rehalfclt 6034	. . . . . . . . 9 |- (Y e. RR -> (Y / 2) e. RR)
31	29, 30	syl3an2 860	. . . . . . . 8 |- ((Z e. RR /\ Y e. RR /\ (1 / (2^(m + 1))) e. RR) -> ((Z < (Y / 2) /\ (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
32		peano2nn0 6124	. . . . . . . . 9 |- (m e. NN0 -> (m + 1) e. NN0)
33		rerecclt 5803	. . . . . . . . . 10 |- (((2^(m + 1)) e. RR /\ (2^(m + 1)) =/= 0) -> (1 / (2^(m + 1))) e. RR)
34		reexpclt 6580	. . . . . . . . . . 11 |- ((2 e. RR /\ (m + 1) e. NN0) -> (2^(m + 1)) e. RR)
35	1, 34	mpan 695	. . . . . . . . . 10 |- ((m + 1) e. NN0 -> (2^(m + 1)) e. RR)
36		expne0it 6588	. . . . . . . . . . 11 |- ((2 e. CC /\ (m + 1) e. NN0 /\ 2 =/= 0) -> (2^(m + 1)) =/= 0)
37	9, 10, 36	mp3an13 907	. . . . . . . . . 10 |- ((m + 1) e. NN0 -> (2^(m + 1)) =/= 0)
38	33, 35, 37	sylanc 471	. . . . . . . . 9 |- ((m + 1) e. NN0 -> (1 / (2^(m + 1))) e. RR)
39	32, 38	syl 10	. . . . . . . 8 |- (m e. NN0 -> (1 / (2^(m + 1))) e. RR)
40	31, 39	syl3an3 861	. . . . . . 7 |- ((Z e. RR /\ Y e. RR /\ m e. NN0) -> ((Z < (Y / 2) /\ (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
41	40	exp3a 375	. . . . . 6 |- ((Z e. RR /\ Y e. RR /\ m e. NN0) -> (Z < (Y / 2) -> ((Y / 2) < (1 / (2^(m + 1))) -> Z < (1 / (2^(m + 1))))))
42	41	3exp 832	. . . . 5 |- (Z e. RR -> (Y e. RR -> (m e. NN0 -> (Z < (Y / 2) -> ((Y / 2) < (1 / (2^(m + 1))) -> Z < (1 / (2^(m + 1))))))))
43	42	com13 33	. . . 4 |- (m e. NN0 -> (Y e. RR -> (Z e. RR -> (Z < (Y / 2) -> ((Y / 2) < (1 / (2^(m + 1))) -> Z < (1 / (2^(m + 1))))))))
44	43	imp43 370	. . 3 |- (((m e. NN0 /\ Y e. RR) /\ (Z e. RR /\ Z < (Y / 2))) -> ((Y / 2) < (1 / (2^(m + 1))) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
45	28, 44	sylbid 203	. 2 |- (((m e. NN0 /\ Y e. RR) /\ (Z e. RR /\ Z < (Y / 2))) -> (Y < (1 / (2^m)) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
46		nnnn0t 6106	. 2 |- (m e. NN -> m e. NN0)
47	45, 46	sylanl1 460	1 |- (((m e. NN /\ Y e. RR) /\ (Z e. RR /\ Z < (Y / 2))) -> (Y < (1 / (2^m)) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   / cdiv 5294  NNcn 5296  NN0cn0 5297   < clt 5486  2c2 5961  ^cexp 6568

This theorem is referenced by:  bcthlem17 8015

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488