Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcthlem4 Unicode version

Theorem bcthlem4 18847
 Description: Lemma for bcth 18849. Given any open ball as starting point (and in particular, a ball in ), the limit point of the centers of the induced sequence of balls is outside . Note that a set has empty interior iff every nonempty open set contains points outside , i.e. . (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bcth.2
bcthlem.4
bcthlem.5
bcthlem.6
bcthlem.7
bcthlem.8
bcthlem.9
bcthlem.10
bcthlem.11
Assertion
Ref Expression
bcthlem4
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,   ,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   (,,,)

Proof of Theorem bcthlem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcthlem.4 . . . 4
2 cmetmet 18810 . . . . . . 7
31, 2syl 15 . . . . . 6
4 metxmet 17995 . . . . . 6
53, 4syl 15 . . . . 5
6 bcthlem.9 . . . . 5
7 bcth.2 . . . . . 6
8 bcthlem.5 . . . . . 6
9 bcthlem.6 . . . . . 6
10 bcthlem.7 . . . . . 6
11 bcthlem.8 . . . . . 6
12 bcthlem.10 . . . . . 6
13 bcthlem.11 . . . . . 6
147, 1, 8, 9, 10, 11, 6, 12, 13bcthlem2 18845 . . . . 5
15 elrp 10445 . . . . . . . . 9
16 nnrecl 10052 . . . . . . . . 9
1715, 16sylbi 187 . . . . . . . 8
1817adantl 452 . . . . . . 7
19 peano2nn 9845 . . . . . . . . . 10
2019adantl 452 . . . . . . . . 9
21 oveq1 5949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2221fveq2d 5609 . . . . . . . . . . . . . . . 16
23 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
24 fveq2 5605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2523, 24oveq12d 5960 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2622, 25eleq12d 2426 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726rspccva 2959 . . . . . . . . . . . . . 14
2813, 27sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13
29 ffvelrn 5743 . . . . . . . . . . . . . . 15
306, 29sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14
317, 1, 8bcthlem1 18844 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14
3330, 32mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13
3428, 33mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12
3534simp2d 968 . . . . . . . . . . 11
3635adantlr 695 . . . . . . . . . 10
3734simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . 14
38 xp2nd 6234 . . . . . . . . . . . . . 14
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
4039rpred 10479 . . . . . . . . . . . 12
4140adantlr 695 . . . . . . . . . . 11
42 nnrecre 9869 . . . . . . . . . . . 12
4342adantl 452 . . . . . . . . . . 11
44 rpre 10449 . . . . . . . . . . . 12
4544ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11
46 lttr 8986 . . . . . . . . . . 11
4741, 43, 45, 46syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10
4836, 47mpand 656 . . . . . . . . 9
49 fveq2 5605 . . . . . . . . . . . 12
5049fveq2d 5609 . . . . . . . . . . 11
5150breq1d 4112 . . . . . . . . . 10
5251rspcev 2960 . . . . . . . . 9
5320, 48, 52ee12an 1363 . . . . . . . 8
5453rexlimdva 2743 . . . . . . 7
5518, 54mpd 14 . . . . . 6
5655ralrimiva 2702 . . . . 5
575, 6, 14, 56caubl 18831 . . . 4
587cmetcau 18813 . . . 4
591, 57, 58syl2anc 642 . . 3
60 fo1st 6223 . . . . . 6
61 fofun 5532 . . . . . 6
6260, 61ax-mp 8 . . . . 5
63 vex 2867 . . . . 5
64 cofunexg 5822 . . . . 5
6562, 63, 64mp2an 653 . . . 4
6665eldm 4955 . . 3
6759, 66sylib 188 . 2
68 1nn 9844 . . . . . . . 8
697, 1, 8, 9, 10, 11, 6, 12, 13bcthlem3 18846 . . . . . . . 8
7068, 69mp3an3 1266 . . . . . . 7
7112fveq2d 5609 . . . . . . . . 9
72 df-ov 5945 . . . . . . . . 9
7371, 72syl6eqr 2408 . . . . . . . 8
7473adantr 451 . . . . . . 7
7570, 74eleqtrd 2434 . . . . . 6
767mopntop 18082 . . . . . . . . . . . . . . . 16
775, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
7877adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
795adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
80 xp1st 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8137, 80syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8239rpxrd 10480 . . . . . . . . . . . . . . . 16
83 blssm 18064 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8479, 81, 82, 83syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15
85 1st2nd2 6243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8637, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8786fveq2d 5609 . . . . . . . . . . . . . . . 16
88 df-ov 5945 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8987, 88syl6reqr 2409 . . . . . . . . . . . . . . 15
907mopnuni 18083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
915, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9291adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
9384, 89, 923sstr3d 3296 . . . . . . . . . . . . . 14
94 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . 15
9594sscls 16893 . . . . . . . . . . . . . 14
9678, 93, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
9734simp3d 969 . . . . . . . . . . . . 13
9896, 97sstrd 3265 . . . . . . . . . . . 12
99983adant2 974 . . . . . . . . . . 11
1007, 1, 8, 9, 10, 11, 6, 12, 13bcthlem3 18846 . . . . . . . . . . . 12
10119, 100syl3an3 1217 . . . . . . . . . . 11
10299, 101sseldd 3257 . . . . . . . . . 10
103 eldifn 3375 . . . . . . . . . 10
104102, 103syl 15 . . . . . . . . 9
1051043expa 1151 . . . . . . . 8
106105ralrimiva 2702 . . . . . . 7
107 eluni2 3910 . . . . . . . . . . 11
108 ffn 5469 . . . . . . . . . . . . 13
1099, 108syl 15 . . . . . . . . . . . 12
110 eleq2 2419 . . . . . . . . . . . . 13
111110rexrn 5747 . . . . . . . . . . . 12
112109, 111syl 15 . . . . . . . . . . 11
113107, 112syl5bb 248 . . . . . . . . . 10
114113notbid 285 . . . . . . . . 9
115 ralnex 2629 . . . . . . . . 9
116114, 115syl6bbr 254 . . . . . . . 8
117116biimpar 471 . . . . . . 7
118106, 117syldan 456 . . . . . 6
119 eldif 3238 . . . . . 6
12075, 118, 119sylanbrc 645 . . . . 5
121 ne0i 3537 . . . . 5
122120, 121syl 15 . . . 4
123122ex 423 . . 3
124123exlimdv 1636 . 2
12567, 124mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710   wne 2521  wral 2619  wrex 2620  cvv 2864   cdif 3225   wss 3228  c0 3531  cop 3719  cuni 3906   class class class wbr 4102  copab 4155   cxp 4766   cdm 4768   crn 4769   ccom 4772   wfun 5328   wfn 5329  wf 5330  wfo 5332  cfv 5334  (class class class)co 5942   cmpt2 5944  c1st 6204  c2nd 6205  cr 8823  cc0 8824  c1 8825   caddc 8827  cxr 8953   clt 8954   cdiv 9510  cn 9833  crp 10443  cxmt 16462  cme 16463  cbl 16464  cmopn 16467  ctop 16731  ccld 16853  ccl 16855  clm 17056  cca 18777  cms 18778 This theorem is referenced by:  bcthlem5  18848 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-ico 10751  df-rest 13420  df-topgen 13437  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-fbas 16473  df-fg 16474  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-cld 16856  df-ntr 16857  df-cls 16858  df-nei 16935  df-lm 17059  df-fil 17637  df-fm 17729  df-flim 17730  df-flf 17731  df-cfil 18779  df-cau 18780  df-cmet 18781
 Copyright terms: Public domain W3C validator