Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcthlem4 Structured version   Unicode version

Theorem bcthlem4 19285
 Description: Lemma for bcth 19287. Given any open ball as starting point (and in particular, a ball in ), the limit point of the centers of the induced sequence of balls is outside . Note that a set has empty interior iff every nonempty open set contains points outside , i.e. . (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bcth.2
bcthlem.4
bcthlem.5
bcthlem.6
bcthlem.7
bcthlem.8
bcthlem.9
bcthlem.10
bcthlem.11
Assertion
Ref Expression
bcthlem4
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,   ,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   (,,,)

Proof of Theorem bcthlem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcthlem.4 . . . 4
2 cmetmet 19244 . . . . . . 7
31, 2syl 16 . . . . . 6
4 metxmet 18369 . . . . . 6
53, 4syl 16 . . . . 5
6 bcthlem.9 . . . . 5
7 bcth.2 . . . . . 6
8 bcthlem.5 . . . . . 6
9 bcthlem.6 . . . . . 6
10 bcthlem.7 . . . . . 6
11 bcthlem.8 . . . . . 6
12 bcthlem.10 . . . . . 6
13 bcthlem.11 . . . . . 6
147, 1, 8, 9, 10, 11, 6, 12, 13bcthlem2 19283 . . . . 5
15 elrp 10619 . . . . . . . . 9
16 nnrecl 10224 . . . . . . . . 9
1715, 16sylbi 189 . . . . . . . 8
1817adantl 454 . . . . . . 7
19 peano2nn 10017 . . . . . . . . . 10
2019adantl 454 . . . . . . . . 9
21 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2221fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16
23 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
24 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2523, 24oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2622, 25eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726rspccva 3053 . . . . . . . . . . . . . 14
2813, 27sylan 459 . . . . . . . . . . . . 13
296ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . . . . . 14
307, 1, 8bcthlem1 19282 . . . . . . . . . . . . . . 15
3130expr 600 . . . . . . . . . . . . . 14
3229, 31mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13
3328, 32mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12
3433simp2d 971 . . . . . . . . . . 11
3534adantlr 697 . . . . . . . . . 10
3633simp1d 970 . . . . . . . . . . . . . 14
37 xp2nd 6380 . . . . . . . . . . . . . 14
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
3938rpred 10653 . . . . . . . . . . . 12
4039adantlr 697 . . . . . . . . . . 11
41 nnrecre 10041 . . . . . . . . . . . 12
4241adantl 454 . . . . . . . . . . 11
43 rpre 10623 . . . . . . . . . . . 12
4443ad2antlr 709 . . . . . . . . . . 11
45 lttr 9157 . . . . . . . . . . 11
4640, 42, 44, 45syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10
4735, 46mpand 658 . . . . . . . . 9
48 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . 12
4948fveq2d 5735 . . . . . . . . . . 11
5049breq1d 4225 . . . . . . . . . 10
5150rspcev 3054 . . . . . . . . 9
5220, 47, 51ee12an 1373 . . . . . . . 8
5352rexlimdva 2832 . . . . . . 7
5418, 53mpd 15 . . . . . 6
5554ralrimiva 2791 . . . . 5
565, 6, 14, 55caubl 19265 . . . 4
577cmetcau 19247 . . . 4
581, 56, 57syl2anc 644 . . 3
59 fo1st 6369 . . . . . 6
60 fofun 5657 . . . . . 6
6159, 60ax-mp 5 . . . . 5
62 vex 2961 . . . . 5
63 cofunexg 5962 . . . . 5
6461, 62, 63mp2an 655 . . . 4
6564eldm 5070 . . 3
6658, 65sylib 190 . 2
67 1nn 10016 . . . . . 6
687, 1, 8, 9, 10, 11, 6, 12, 13bcthlem3 19284 . . . . . 6
6967, 68mp3an3 1269 . . . . 5
7012fveq2d 5735 . . . . . . 7
71 df-ov 6087 . . . . . . 7
7270, 71syl6eqr 2488 . . . . . 6
7372adantr 453 . . . . 5
7469, 73eleqtrd 2514 . . . 4
757mopntop 18475 . . . . . . . . . . . . . 14
765, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
7776adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
785adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
79 xp1st 6379 . . . . . . . . . . . . . . 15
8036, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
8138rpxrd 10654 . . . . . . . . . . . . . 14
82 blssm 18453 . . . . . . . . . . . . . 14
8378, 80, 81, 82syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13
84 1st2nd2 6389 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8536, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
8685fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . 14
87 df-ov 6087 . . . . . . . . . . . . . 14
8886, 87syl6reqr 2489 . . . . . . . . . . . . 13
897mopnuni 18476 . . . . . . . . . . . . . . 15
905, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
9190adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
9283, 88, 913sstr3d 3392 . . . . . . . . . . . 12
93 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13
9493sscls 17125 . . . . . . . . . . . 12
9577, 92, 94syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
9633simp3d 972 . . . . . . . . . . 11
9795, 96sstrd 3360 . . . . . . . . . 10
98973adant2 977 . . . . . . . . 9
997, 1, 8, 9, 10, 11, 6, 12, 13bcthlem3 19284 . . . . . . . . . 10
10019, 99syl3an3 1220 . . . . . . . . 9
10198, 100sseldd 3351 . . . . . . . 8
102101eldifbd 3335 . . . . . . 7
1031023expa 1154 . . . . . 6
104103ralrimiva 2791 . . . . 5
105 eluni2 4021 . . . . . . . . 9
106 ffn 5594 . . . . . . . . . . 11
1079, 106syl 16 . . . . . . . . . 10
108 eleq2 2499 . . . . . . . . . . 11
109108rexrn 5875 . . . . . . . . . 10
110107, 109syl 16 . . . . . . . . 9
111105, 110syl5bb 250 . . . . . . . 8
112111notbid 287 . . . . . . 7
113 ralnex 2717 . . . . . . 7
114112, 113syl6bbr 256 . . . . . 6
115114biimpar 473 . . . . 5
116104, 115syldan 458 . . . 4
11774, 116eldifd 3333 . . 3
118 ne0i 3636 . . 3
119117, 118syl 16 . 2
12066, 119exlimddv 1649 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   cdif 3319   wss 3322  c0 3630  cop 3819  cuni 4017   class class class wbr 4215  copab 4268   cxp 4879   cdm 4881   crn 4882   ccom 4885   wfun 5451   wfn 5452  wf 5453  wfo 5455  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmpt2 6086  c1st 6350  c2nd 6351  cr 8994  cc0 8995  c1 8996   caddc 8998  cxr 9124   clt 9125   cdiv 9682  cn 10005  crp 10617  cxmt 16691  cme 16692  cbl 16693  cmopn 16696  ctop 16963  ccld 17085  ccl 17087  clm 17295  cca 19211  cms 19212 This theorem is referenced by:  bcthlem5  19286 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ico 10927  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lm 17298  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-cfil 19213  df-cau 19214  df-cmet 19215
 Copyright terms: Public domain W3C validator