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Theorem bcthlem5 19283
Description: Lemma for bcth 19284. The proof makes essential use of the Axiom of Dependent Choice axdc4uz 11324, which in the form used here accepts a "selection" function  F from each element of  K to a nonempty subset of  K, and the result function  g maps  g (
n  +  1 ) to an element of  F ( n ,  g ( n ) ). The trick here is thus in the choice of  F and  K: we let  K be the set of all tagged nonempty open sets (tagged here meaning that we have a point and an open set, in an ordered pair), and  F ( k ,  <. x ,  z >. ) gives the set of all balls of size less than  1  /  k, tagged by their centers, whose closures fit within the given open set  z and miss  M ( k ).

Since  M ( k ) is closed,  z  \  M ( k ) is open and also nonempty, since  z is nonempty and  M ( k ) has empty interior. Then there is some ball contained in it, and hence our function  F is valid (it never maps to the empty set). Now starting at a point in the interior of  U. ran  M, DC gives us the function  g all whose elements are constrained by  F acting on the previous value. (This is all proven in this lemma.) Now  g is a sequence of tagged open balls, forming an inclusion chain (see bcthlem2 19280) and whose sizes tend to zero, since they are bounded above by  1  /  k. Thus, the centers of these balls form a Cauchy sequence, and converge to a point  x (see bcthlem4 19282). Since the inclusion chain also ensures the closure of each ball is in the previous ball, the point  x must be in all these balls (see bcthlem3 19281) and hence misses each  M ( k ), contradicting the fact that  x is in the interior of  U. ran  M (which was the starting point). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2014.)

Hypotheses
Ref Expression
bcth.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
bcthlem.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
bcthlem.5  |-  F  =  ( k  e.  NN ,  z  e.  ( X  X.  RR+ )  |->  { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) } )
bcthlem.6  |-  ( ph  ->  M : NN --> ( Clsd `  J ) )
bcthlem5.7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( M `  k ) )  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
bcthlem5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  =  (/) )
Distinct variable groups:    k, r, x, z, D    k, F, r, x, z    k, J, r, x, z    k, M, r, x, z    ph, k,
r, x, z    k, X, r, x, z

Proof of Theorem bcthlem5
Dummy variables  n  g  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcthlem.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
2 cmetmet 19241 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3 metxmet 18366 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
41, 2, 33syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
5 bcth.2 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
65mopntop 18472 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
74, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
8 bcthlem.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M : NN --> ( Clsd `  J ) )
9 frn 5599 . . . . . . . . 9  |-  ( M : NN --> ( Clsd `  J )  ->  ran  M 
C_  ( Clsd `  J
) )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  M  C_  ( Clsd `  J ) )
11 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
1211cldss2 17096 . . . . . . . 8  |-  ( Clsd `  J )  C_  ~P U. J
1310, 12syl6ss 3362 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  M  C_  ~P U. J )
14 sspwuni 4178 . . . . . . 7  |-  ( ran 
M  C_  ~P U. J  <->  U.
ran  M  C_  U. J
)
1513, 14sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ran  M  C_  U. J )
1611ntropn 17115 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U.
ran  M  C_  U. J
)  ->  ( ( int `  J ) `  U. ran  M )  e.  J )
177, 15, 16syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  e.  J )
184, 17jca 520 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( ( int `  J ) `  U. ran  M )  e.  J ) )
195mopni2 18525 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( int `  J ) `  U. ran  M )  e.  J  /\  n  e.  (
( int `  J
) `  U. ran  M
) )  ->  E. m  e.  RR+  ( n (
ball `  D )
m )  C_  (
( int `  J
) `  U. ran  M
) )
20193expa 1154 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( ( int `  J ) `  U. ran  M )  e.  J )  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
) )  ->  E. m  e.  RR+  ( n (
ball `  D )
m )  C_  (
( int `  J
) `  U. ran  M
) )
2118, 20sylan 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
) )  ->  E. m  e.  RR+  ( n (
ball `  D )
m )  C_  (
( int `  J
) `  U. ran  M
) )
225mopnuni 18473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
234, 22syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
2411topopn 16981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  J )
257, 24syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. J  e.  J
)
2623, 25eqeltrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
27 reex 9083 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
28 rpssre 10624 . . . . . . . . . . 11  |-  RR+  C_  RR
2927, 28ssexi 4350 . . . . . . . . . 10  |-  RR+  e.  _V
30 xpexg 4991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  J  /\  RR+ 
e.  _V )  ->  ( X  X.  RR+ )  e.  _V )
3126, 29, 30sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  X.  RR+ )  e.  _V )
32313ad2ant1 979 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( X  X.  RR+ )  e.  _V )
3311ntrss3 17126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U.
ran  M  C_  U. J
)  ->  ( ( int `  J ) `  U. ran  M )  C_  U. J )
347, 15, 33syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  C_  U. J )
3534, 23sseqtr4d 3387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  C_  X )
36353ad2ant1 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( ( int `  J ) `  U. ran  M )  C_  X )
37 simp2 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
) )
3836, 37sseldd 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  n  e.  X )
39 simp3 960 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  m  e.  RR+ )
40 opelxpi 4912 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  X  /\  m  e.  RR+ )  ->  <. n ,  m >.  e.  ( X  X.  RR+ ) )
4138, 39, 40syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  <. n ,  m >.  e.  ( X  X.  RR+ ) )
42 opabssxp 4952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) } 
C_  ( X  X.  RR+ )
43 elpw2g 4365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  X.  RR+ )  e.  _V  ->  ( { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) }  e.  ~P ( X  X.  RR+ )  <->  {
<. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) }  C_  ( X  X.  RR+ ) ) )
4431, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) }  e.  ~P ( X  X.  RR+ )  <->  { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) } 
C_  ( X  X.  RR+ ) ) )
4544adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) }  e.  ~P ( X  X.  RR+ )  <->  { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) } 
C_  ( X  X.  RR+ ) ) )
4642, 45mpbiri 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) }  e.  ~P ( X  X.  RR+ ) )
47 bcthlem5.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( M `  k ) )  =  (/) )
48 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  -> 
k  e.  NN )
49 rsp 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  NN  (
( int `  J
) `  ( M `  k ) )  =  (/)  ->  ( k  e.  NN  ->  ( ( int `  J ) `  ( M `  k ) )  =  (/) ) )
5049imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( M `  k ) )  =  (/)  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( int `  J ) `  ( M `  k )
)  =  (/) )
5147, 48, 50syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( int `  J
) `  ( M `  k ) )  =  (/) )
52 ssdif0 3688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ball `  D
) `  z )  C_  ( M `  k
)  <->  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
)  =  (/) )
53 1st2nd2 6388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( X  X.  RR+ )  ->  z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >. )
5453ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. )
5554fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ball `  D
) `  z )  =  ( ( ball `  D ) `  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. ) )
56 df-ov 6086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1st `  z ) ( ball `  D
) ( 2nd `  z
) )  =  ( ( ball `  D
) `  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z )
>. )
5755, 56syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ball `  D
) `  z )  =  ( ( 1st `  z ) ( ball `  D ) ( 2nd `  z ) ) )
584adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
59 xp1st 6378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( X  X.  RR+ )  ->  ( 1st `  z )  e.  X
)
6059ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( 1st `  z
)  e.  X )
61 xp2nd 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( X  X.  RR+ )  ->  ( 2nd `  z )  e.  RR+ )
6261ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( 2nd `  z
)  e.  RR+ )
63 bln0 18447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( 1st `  z
)  e.  X  /\  ( 2nd `  z )  e.  RR+ )  ->  (
( 1st `  z
) ( ball `  D
) ( 2nd `  z
) )  =/=  (/) )
6458, 60, 62, 63syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( 1st `  z
) ( ball `  D
) ( 2nd `  z
) )  =/=  (/) )
6557, 64eqnetrd 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ball `  D
) `  z )  =/=  (/) )
667adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  J  e.  Top )
67 ffvelrn 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M : NN --> ( Clsd `  J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `  k )  e.  ( Clsd `  J
) )
688, 48, 67syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( M `  k
)  e.  ( Clsd `  J ) )
6911cldss 17095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M `  k )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( M `  k )  C_  U. J
)
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( M `  k
)  C_  U. J )
7162rpxrd 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( 2nd `  z
)  e.  RR* )
725blopn 18532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( 1st `  z
)  e.  X  /\  ( 2nd `  z )  e.  RR* )  ->  (
( 1st `  z
) ( ball `  D
) ( 2nd `  z
) )  e.  J
)
7358, 60, 71, 72syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( 1st `  z
) ( ball `  D
) ( 2nd `  z
) )  e.  J
)
7457, 73eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ball `  D
) `  z )  e.  J )
7511ssntr 17124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( M `  k
)  C_  U. J )  /\  ( ( (
ball `  D ) `  z )  e.  J  /\  ( ( ball `  D
) `  z )  C_  ( M `  k
) ) )  -> 
( ( ball `  D
) `  z )  C_  ( ( int `  J
) `  ( M `  k ) ) )
7675expr 600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( M `  k
)  C_  U. J )  /\  ( ( ball `  D ) `  z
)  e.  J )  ->  ( ( (
ball `  D ) `  z )  C_  ( M `  k )  ->  ( ( ball `  D
) `  z )  C_  ( ( int `  J
) `  ( M `  k ) ) ) )
7766, 70, 74, 76syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ( ball `  D ) `  z
)  C_  ( M `  k )  ->  (
( ball `  D ) `  z )  C_  (
( int `  J
) `  ( M `  k ) ) ) )
78 ssn0 3662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ball `  D
) `  z )  C_  ( ( int `  J
) `  ( M `  k ) )  /\  ( ( ball `  D
) `  z )  =/=  (/) )  ->  (
( int `  J
) `  ( M `  k ) )  =/=  (/) )
7978expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ball `  D
) `  z )  =/=  (/)  ->  ( (
( ball `  D ) `  z )  C_  (
( int `  J
) `  ( M `  k ) )  -> 
( ( int `  J
) `  ( M `  k ) )  =/=  (/) ) )
8065, 77, 79sylsyld 55 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ( ball `  D ) `  z
)  C_  ( M `  k )  ->  (
( int `  J
) `  ( M `  k ) )  =/=  (/) ) )
8152, 80syl5bir 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
)  =  (/)  ->  (
( int `  J
) `  ( M `  k ) )  =/=  (/) ) )
8281necon2d 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ( int `  J ) `  ( M `  k )
)  =  (/)  ->  (
( ( ball `  D
) `  z )  \  ( M `  k ) )  =/=  (/) ) )
8351, 82mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) )  =/=  (/) )
84 n0 3639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ball `  D
) `  z )  \  ( M `  k ) )  =/=  (/) 
<->  E. x  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )
8543ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
8611difopn 17100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ball `  D
) `  z )  e.  J  /\  ( M `  k )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( ( ball `  D
) `  z )  \  ( M `  k ) )  e.  J )
8774, 68, 86syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) )  e.  J )
88873adant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
)  e.  J )
89 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  x  e.  ( ( ( ball `  D
) `  z )  \  ( M `  k ) ) )
90 simp2l 984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  k  e.  NN )
91 nnrp 10623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
9291rpreccld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
9390, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  ( 1  / 
k )  e.  RR+ )
945mopni3 18526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( (
( ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
)  e.  J  /\  x  e.  ( (
( ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) )  /\  (
1  /  k )  e.  RR+ )  ->  E. n  e.  RR+  ( n  < 
( 1  /  k
)  /\  ( x
( ball `  D )
n )  C_  (
( ( ball `  D
) `  z )  \  ( M `  k ) ) ) )
9585, 88, 89, 93, 94syl31anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  E. n  e.  RR+  ( n  <  ( 1  /  k )  /\  ( x ( ball `  D ) n ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) )
96 simp1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  ph )
97 elssuni 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ball `  D
) `  z )  e.  J  ->  ( (
ball `  D ) `  z )  C_  U. J
)
9874, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ball `  D
) `  z )  C_ 
U. J )
9923adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  X  =  U. J )
10098, 99sseqtr4d 3387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ball `  D
) `  z )  C_  X )
101100ssdifssd 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) )  C_  X )
102101sseld 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( x  e.  ( ( ( ball `  D
) `  z )  \  ( M `  k ) )  ->  x  e.  X )
)
1031023impia 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  x  e.  X
)
104 simp2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )
105 rphalfcl 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  /  2 )  e.  RR+ )
106 rphalflt 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  /  2 )  < 
n )
107 breq1 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( r  =  ( n  / 
2 )  ->  (
r  <  n  <->  ( n  /  2 )  < 
n ) )
108107rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( n  /  2
)  e.  RR+  /\  (
n  /  2 )  <  n )  ->  E. r  e.  RR+  r  <  n )
109105, 106, 108syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  RR+  ->  E. r  e.  RR+  r  <  n
)
110109ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( n  <  ( 1  /  k )  /\  ( x ( ball `  D ) n ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) )  ->  E. r  e.  RR+  r  <  n )
111 df-rex 2713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( E. r  e.  RR+  r  <  n  <->  E. r ( r  e.  RR+  /\  r  <  n ) )
112 simpr3 966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  r  e.  RR+ )
113112rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  r  e.  RR )
114 simpr1 964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  n  e.  RR+ )
115114rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  n  e.  RR )
116 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  k  e.  NN )
117116nnrecred 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( 1  /  k )  e.  RR )
118 simpr2 965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  r  <  n )
119 lttr 9154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( r  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  (
1  /  k )  e.  RR )  -> 
( ( r  < 
n  /\  n  <  ( 1  /  k ) )  ->  r  <  ( 1  /  k ) ) )
120119expdimp 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( r  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR )  /\  r  <  n
)  ->  ( n  <  ( 1  /  k
)  ->  r  <  ( 1  /  k ) ) )
121113, 115, 117, 118, 120syl31anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( n  <  ( 1  /  k
)  ->  r  <  ( 1  /  k ) ) )
1224anim1i 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )
)
123122adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X ) )
124 rpxr 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
125 rpxr 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( n  e.  RR+  ->  n  e. 
RR* )
126 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( r  <  n  ->  r  <  n )
127124, 125, 1263anim123i 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( r  e.  RR+  /\  n  e.  RR+  /\  r  < 
n )  ->  (
r  e.  RR*  /\  n  e.  RR*  /\  r  < 
n ) )
1281273coml 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  e.  RR*  /\  n  e.  RR*  /\  r  < 
n ) )
1295blsscls 18539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
r  e.  RR*  /\  n  e.  RR*  /\  r  < 
n ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( x ( ball `  D ) n ) )
130123, 128, 129syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( x ( ball `  D ) r ) )  C_  ( x
( ball `  D )
n ) )
131 sstr2 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( x ( ball `  D ) n )  ->  ( ( x ( ball `  D
) n )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) )
132130, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( (
x ( ball `  D
) n )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) )
133121, 132anim12d 548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( (
n  <  ( 1  /  k )  /\  ( x ( ball `  D ) n ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) )  ->  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) )
134 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  x  e.  X )
135134, 112jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )
136133, 135jctild 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  r  <  n  /\  r  e.  RR+ )
)  ->  ( (
n  <  ( 1  /  k )  /\  ( x ( ball `  D ) n ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) )  ->  (
( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) ) )
1371363exp2 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  ( n  e.  RR+  ->  ( r  < 
n  ->  ( r  e.  RR+  ->  ( (
n  <  ( 1  /  k )  /\  ( x ( ball `  D ) n ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) )  ->  (
( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) ) ) ) ) )
138137com35 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  ( n  e.  RR+  ->  ( ( n  <  ( 1  / 
k )  /\  (
x ( ball `  D
) n )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  ( r  e.  RR+  ->  ( r  < 
n  ->  ( (
x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) ) ) ) ) )
139138imp5d 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( n  <  ( 1  /  k )  /\  ( x ( ball `  D ) n ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) )  -> 
( ( r  e.  RR+  /\  r  <  n
)  ->  ( (
x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) ) )
140139eximdv 1633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( n  <  ( 1  /  k )  /\  ( x ( ball `  D ) n ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) )  -> 
( E. r ( r  e.  RR+  /\  r  <  n )  ->  E. r
( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) ) )
141111, 140syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( n  <  ( 1  /  k )  /\  ( x ( ball `  D ) n ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) )  -> 
( E. r  e.  RR+  r  <  n  ->  E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) ) )
142110, 141mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( n  <  ( 1  /  k )  /\  ( x ( ball `  D ) n ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) )  ->  E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) )
143142ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( n  <  ( 1  / 
k )  /\  (
x ( ball `  D
) n )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) ) )
144143rexlimdva 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  (
k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  ( E. n  e.  RR+  ( n  < 
( 1  /  k
)  /\  ( x
( ball `  D )
n )  C_  (
( ( ball `  D
) `  z )  \  ( M `  k ) ) )  ->  E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) ) )
14596, 103, 104, 144syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  ( E. n  e.  RR+  ( n  < 
( 1  /  k
)  /\  ( x
( ball `  D )
n )  C_  (
( ( ball `  D
) `  z )  \  ( M `  k ) ) )  ->  E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) ) )
14695, 145mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) )  ->  E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) )
1471463expia 1156 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( x  e.  ( ( ( ball `  D
) `  z )  \  ( M `  k ) )  ->  E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) ) )
148147eximdv 1633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( E. x  x  e.  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
)  ->  E. x E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) ) )
14984, 148syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  -> 
( ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
)  =/=  (/)  ->  E. x E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) ) )
15083, 149mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  E. x E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) )
151 opabn0 4487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) }  =/=  (/)  <->  E. x E. r ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) )
152150, 151sylibr 205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) }  =/=  (/) )
153 eldifsn 3929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) }  e.  ( ~P ( X  X.  RR+ )  \  { (/) } )  <->  ( { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) }  e.  ~P ( X  X.  RR+ )  /\  { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
r  <  ( 1  /  k )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
r ) )  C_  ( ( ( ball `  D ) `  z
)  \  ( M `  k ) ) ) ) }  =/=  (/) ) )
15446, 152, 153sylanbrc 647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  z  e.  ( X  X.  RR+ ) ) )  ->  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) }  e.  ( ~P ( X  X.  RR+ )  \  { (/)
} ) )
155154ralrimivva 2800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  A. z  e.  ( X  X.  RR+ ) { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) }  e.  ( ~P ( X  X.  RR+ )  \  { (/)
} ) )
156 bcthlem.5 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( k  e.  NN ,  z  e.  ( X  X.  RR+ )  |->  { <. x ,  r >.  |  ( ( x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) } )
157156fmpt2 6420 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN  A. z  e.  ( X  X.  RR+ ) { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( r  <  (
1  /  k )  /\  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) r ) ) 
C_  ( ( (
ball `  D ) `  z )  \  ( M `  k )
) ) ) }  e.  ( ~P ( X  X.  RR+ )  \  { (/)
} )  <->  F :
( NN  X.  ( X  X.  RR+ ) ) --> ( ~P ( X  X.  RR+ )  \  { (/) } ) )
158155, 157sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( NN 
X.  ( X  X.  RR+ ) ) --> ( ~P ( X  X.  RR+ )  \  { (/) } ) )
1591583ad2ant1 979 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  F :
( NN  X.  ( X  X.  RR+ ) ) --> ( ~P ( X  X.  RR+ )  \  { (/) } ) )
160 1z 10313 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
161 nnuz 10523 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
162160, 161axdc4uz 11324 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  X.  RR+ )  e.  _V  /\  <. n ,  m >.  e.  ( X  X.  RR+ )  /\  F : ( NN 
X.  ( X  X.  RR+ ) ) --> ( ~P ( X  X.  RR+ )  \  { (/) } ) )  ->  E. g
( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  ( g `  1
)  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )
16332, 41, 159, 162syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  E. g
( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  ( g `  1
)  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )
164 simpl1 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  /\  ( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )  ->  ph )
165164, 1syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  /\  ( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
166164, 8syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  /\  ( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )  ->  M : NN --> ( Clsd `  J
) )
167 simpl3 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  /\  ( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
16838adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  /\  ( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )  ->  n  e.  X )
169 simpr1 964 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  /\  ( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )  ->  g : NN --> ( X  X.  RR+ ) )
170 simpr2 965 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  /\  ( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )  ->  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >. )
171 simpr3 966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  /\  ( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) )
172 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
173172fveq2d 5734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
g `  ( n  +  1 ) )  =  ( g `  ( k  +  1 ) ) )
174 id 21 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  n  =  k )
175 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
g `  n )  =  ( g `  k ) )
176174, 175oveq12d 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
n F ( g `
 n ) )  =  ( k F ( g `  k
) ) )
177173, 176eleq12d 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( g `  (
n  +  1 ) )  e.  ( n F ( g `  n ) )  <->  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
178177cbvralv 2934 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  NN  (
g `  ( n  +  1 ) )  e.  ( n F ( g `  n
) )  <->  A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) )
179171, 178sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  /\  ( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )  ->  A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) )
1805, 165, 156, 166, 167, 168, 169, 170, 179bcthlem4 19282 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  /\  ( g : NN --> ( X  X.  RR+ )  /\  (
g `  1 )  =  <. n ,  m >.  /\  A. n  e.  NN  ( g `  ( n  +  1
) )  e.  ( n F ( g `
 n ) ) ) )  ->  (
( n ( ball `  D ) m ) 
\  U. ran  M )  =/=  (/) )
181163, 180exlimddv 1649 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( (
n ( ball `  D
) m )  \  U. ran  M )  =/=  (/) )
18211ntrss2 17123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U.
ran  M  C_  U. J
)  ->  ( ( int `  J ) `  U. ran  M )  C_  U.
ran  M )
1837, 15, 182syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  C_  U. ran  M
)
184 sstr2 3357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n ( ball `  D
) m )  C_  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  ->  ( (
( int `  J
) `  U. ran  M
)  C_  U. ran  M  ->  ( n ( ball `  D ) m ) 
C_  U. ran  M ) )
185183, 184syl5com 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( n (
ball `  D )
m )  C_  (
( int `  J
) `  U. ran  M
)  ->  ( n
( ball `  D )
m )  C_  U. ran  M ) )
186 ssdif0 3688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n ( ball `  D
) m )  C_  U.
ran  M  <->  ( ( n ( ball `  D
) m )  \  U. ran  M )  =  (/) )
187185, 186syl6ib 219 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( n (
ball `  D )
m )  C_  (
( int `  J
) `  U. ran  M
)  ->  ( (
n ( ball `  D
) m )  \  U. ran  M )  =  (/) ) )
188187necon3ad 2639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( n ( ball `  D
) m )  \  U. ran  M )  =/=  (/)  ->  -.  ( n
( ball `  D )
m )  C_  (
( int `  J
) `  U. ran  M
) ) )
1891883ad2ant1 979 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( (
( n ( ball `  D ) m ) 
\  U. ran  M )  =/=  (/)  ->  -.  (
n ( ball `  D
) m )  C_  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
) ) )
190181, 189mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  /\  m  e.  RR+ )  ->  -.  (
n ( ball `  D
) m )  C_  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
) )
1911903expa 1154 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
) )  /\  m  e.  RR+ )  ->  -.  ( n ( ball `  D ) m ) 
C_  ( ( int `  J ) `  U. ran  M ) )
192191nrexdv 2811 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
) )  ->  -.  E. m  e.  RR+  (
n ( ball `  D
) m )  C_  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
) )
19321, 192pm2.65da 561 . 2  |-  ( ph  ->  -.  n  e.  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
) )
194193eq0rdv 3664 1  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  U. ran  M
)  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   {csn 3816   <.cop 3819   U.cuni 4017   class class class wbr 4214   {copab 4267    X. cxp 4878   ran crn 4881   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085   1stc1st 6349   2ndc2nd 6350   RRcr 8991   1c1 8993    + caddc 8995   RR*cxr 9121    < clt 9122    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   RR+crp 10614   * Metcxmt 16688   Metcme 16689   ballcbl 16690   MetOpencmopn 16693   Topctop 16960   Clsdccld 17082   intcnt 17083   clsccl 17084   CMetcms 19209
This theorem is referenced by:  bcth  19284
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-dc 8328  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ico 10924  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lm 17295  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-cfil 19210  df-cau 19211  df-cmet 19212
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