Theorem bcthlem8 8006

Description: Lemma for bcth 8032. Any open nonempty set includes a ball of radius less than 1 / (2^k).

Hypotheses

Ref	Expression
bcthlem6.1	|- D e. CMet
bcthlem6.3	|- X = dom dom D
bcthlem6.4	|- J = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
bcthlem8	|- ((M =/= (/) /\ M e. J /\ K e. NN) -> E.p e. M E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M))

Distinct variable groups:   x,D   x,p,J   x,K,p   x,M,p   x,X

Proof of Theorem bcthlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcthlem6.4	. . . . . . . . . . 11 |- J = (Open` D)
2	1	opni3 7866	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ M e. J /\ p e. M) /\ ((1 / (2^K)) e. RR /\ 0 < (1 / (2^K)))) -> E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M))
3		bcthlem6.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- D e. CMet
4	3	cmsmeti 7962	. . . . . . . . . . . 12 |- D e. Met
5	4	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- ((M e. J /\ p e. M) -> D e. Met)
6		pm3.26 319	. . . . . . . . . . 11 |- ((M e. J /\ p e. M) -> M e. J)
7		pm3.27 323	. . . . . . . . . . 11 |- ((M e. J /\ p e. M) -> p e. M)
8	5, 6, 7	3jca 819	. . . . . . . . . 10 |- ((M e. J /\ p e. M) -> (D e. Met /\ M e. J /\ p e. M))
9		nnnn0t 6106	. . . . . . . . . . 11 |- (K e. NN -> K e. NN0)
10		rerecclt 5803	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((2^K) e. RR /\ (2^K) =/= 0) -> (1 / (2^K)) e. RR)
11		2re 5979	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
12		reexpclt 6580	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((2 e. RR /\ K e. NN0) -> (2^K) e. RR)
13	11, 12	mpan 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- (K e. NN0 -> (2^K) e. RR)
14		gt0ne0t 5618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((2^K) e. RR /\ 0 < (2^K)) -> (2^K) =/= 0)
15		2pos 5989	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 2
16		expgt0t 6589	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((2 e. RR /\ K e. NN0 /\ 0 < 2) -> 0 < (2^K))
17	11, 15, 16	mp3an13 907	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (K e. NN0 -> 0 < (2^K))
18	14, 13, 17	sylanc 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- (K e. NN0 -> (2^K) =/= 0)
19	10, 13, 18	sylanc 471	. . . . . . . . . . . 12 |- (K e. NN0 -> (1 / (2^K)) e. RR)
20		recgt0t 5861	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((2^K) e. RR /\ 0 < (2^K)) -> 0 < (1 / (2^K)))
21	20, 13, 17	sylanc 471	. . . . . . . . . . . 12 |- (K e. NN0 -> 0 < (1 / (2^K)))
22	19, 21	jca 288	. . . . . . . . . . 11 |- (K e. NN0 -> ((1 / (2^K)) e. RR /\ 0 < (1 / (2^K))))
23	9, 22	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (K e. NN -> ((1 / (2^K)) e. RR /\ 0 < (1 / (2^K))))
24	2, 8, 23	syl2an 454	. . . . . . . . 9 |- (((M e. J /\ p e. M) /\ K e. NN) -> E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M))
25	24	an1rs 489	. . . . . . . 8 |- (((M e. J /\ K e. NN) /\ p e. M) -> E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M))
26	25	ex 373	. . . . . . 7 |- ((M e. J /\ K e. NN) -> (p e. M -> E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M)))
27	26	ancld 298	. . . . . 6 |- ((M e. J /\ K e. NN) -> (p e. M -> (p e. M /\ E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M))))
28	27	19.22dv 1290	. . . . 5 |- ((M e. J /\ K e. NN) -> (E.p p e. M -> E.p(p e. M /\ E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M))))
29		ne0 2288	. . . . 5 |- (M =/= (/) <-> E.p p e. M)
30	28, 29	syl5ib 206	. . . 4 |- ((M e. J /\ K e. NN) -> (M =/= (/) -> E.p(p e. M /\ E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M))))
31	30	3impia 830	. . 3 |- ((M e. J /\ K e. NN /\ M =/= (/)) -> E.p(p e. M /\ E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M)))
32	31	3comr 841	. 2 |- ((M =/= (/) /\ M e. J /\ K e. NN) -> E.p(p e. M /\ E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M)))
33		df-rex 1650	. 2 |- (E.p e. M E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M) <-> E.p(p e. M /\ E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M)))
34	32, 33	sylibr 200	1 |- ((M =/= (/) /\ M e. J /\ K e. NN) -> E.p e. M E.x e. RR (0 < x /\ x < (1 / (2^K)) /\ (p( ball ` D)x) (_ M))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980   =/= wne 1585  E.wrex 1646   (_ wss 2047  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  dom cdm 3170  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   / cdiv 5294  NNcn 5296  NN0cn0 5297   < clt 5486  2c2 5961  ^cexp 6568  Metcme 7789   ball cbl 7791  Opencopn 7792  CMetcms 7921

This theorem is referenced by:  bcthlem33 8031

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796  df-cmet 7924

Copyright terms: Public domain