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Theorem bcval5 11609
Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient  ( N  _C  K )  =  ( N  x.  ( N  -  1 )  x. 
...  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  /  K ! explicitly. In this form, it is valid even for  N  <  K, although it is no longer valid for non-positive  K. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcval5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  =  ( (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K )
) )

Proof of Theorem bcval5
Dummy variables  x  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcval2 11596 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
21adantl 453 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) )
3 mulcl 9074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( k  x.  x
)  e.  CC )
43adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( k  x.  x
)  e.  CC )
5 mulass 9078 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
( k  x.  x
)  x.  y )  =  ( k  x.  ( x  x.  y
) ) )
65adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( k  x.  x )  x.  y
)  =  ( k  x.  ( x  x.  y ) ) )
7 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  NN )
8 elfzuz3 11056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
98adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
10 nnuz 10521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1110uztrn2 10503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  ->  N  e.  NN )
127, 9, 11syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  NN )
1312adantrr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  N  e.  NN )
14 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  K  e.  NN )
15 nnre 10007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
16 nnrp 10621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR+ )
17 ltsubrp 10643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  K  e.  RR+ )  -> 
( N  -  K
)  <  N )
1815, 16, 17syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  <  N )
1913, 14, 18syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  <  N )
2013nnzd 10374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  N  e.  ZZ )
21 nnz 10303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  ZZ )
2221ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  K  e.  ZZ )
2320, 22zsubcld 10380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
24 zltp1le 10325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  K )  <  N  <->  ( ( N  -  K
)  +  1 )  <_  N ) )
2523, 20, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (
( N  -  K
)  <  N  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N ) )
2619, 25mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  <_  N )
2723peano2zd 10378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  ZZ )
28 eluz 10499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N ) )
2927, 20, 28syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N ) )
3026, 29mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
31 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  e.  NN )
3231, 10syl6eleq 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
33 fvi 5783 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (  _I  `  k )  =  k )
34 elfzelz 11059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
3534zcnd 10376 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  CC )
3633, 35eqeltrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
3736adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
384, 6, 30, 32, 37seqsplit 11356 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  -  K ) )  x.  (  seq  (
( N  -  K
)  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )
) )
39 facnn 11568 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  (  seq  1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
4013, 39syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( ! `  N )  =  (  seq  1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
41 facnn 11568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  -  K
) ) )
4231, 41syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  -  K
) ) )
4342oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  -  K
) )  x.  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
4438, 40, 433eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
4544expr 599 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) ) )
46 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  NN0 )
47 faccl 11576 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
48 nncn 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
4946, 47, 483syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
5049mulid2d 9106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ! `  N
) )
5112, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =  (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) )
5251oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  =  ( 1  x.  (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
5350, 52eqtr3d 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =  ( 1  x.  (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
54 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  ( ! `  0
) )
55 fac0 11569 . . . . . . . . 9  |-  ( ! `
 0 )  =  1
5654, 55syl6eq 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  1 )
57 oveq1 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
58 0p1e1 10093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
5957, 58syl6eq 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  =  1 )
6059seqeq1d 11329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  )  =  seq  1 (  x.  ,  _I  ) )
6160fveq1d 5730 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  =  (  seq  1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
6256, 61oveq12d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) )  =  ( 1  x.  (  seq  1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
) )
6362eqeq2d 2447 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( ! `  N
)  =  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  (  seq  (
( N  -  K
)  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )
)  <->  ( ! `  N )  =  ( 1  x.  (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) ) )
6453, 63syl5ibrcom 214 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  =  0  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) ) )
65 fznn0sub 11085 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
6665adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
67 elnn0 10223 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  K )  e.  NN  \/  ( N  -  K )  =  0 ) )
6866, 67sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  e.  NN  \/  ( N  -  K )  =  0 ) )
6945, 64, 68mpjaod 371 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
7069oveq1d 6096 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) )  =  ( ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) )  / 
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
) ) )
71 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )
72 nn0z 10304 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
73 zsubcl 10319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  -  K
)  e.  ZZ )
7472, 21, 73syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  e.  ZZ )
7574peano2zd 10378 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ )
7675adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ )
77 fvi 5783 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  ->  (  _I  `  k )  =  k )
78 eluzelz 10496 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
7978zcnd 10376 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  ->  k  e.  CC )
8077, 79eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
8180adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
823adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
k  e.  CC  /\  x  e.  CC )
)  ->  ( k  x.  x )  e.  CC )
8371, 76, 81, 82seqf 11344 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) : ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) ) --> CC )
8412, 7, 18syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  <  N
)
8574adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
8612nnzd 10374 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  ZZ )
8785, 86, 24syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  <  N  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N
) )
8884, 87mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N )
8976, 86, 28syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  <-> 
( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N )
)
9088, 89mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
9183, 90ffvelrnd 5871 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  e.  CC )
92 elfznn0 11083 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
9392adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  NN0 )
94 faccl 11576 . . . . . 6  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  e.  NN )
9593, 94syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  e.  NN )
9695nncnd 10016 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
97 faccl 11576 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  -  K ) )  e.  NN )
9866, 97syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  e.  NN )
9998nncnd 10016 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  e.  CC )
10095nnne0d 10044 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  =/=  0
)
10198nnne0d 10044 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  =/=  0
)
10291, 96, 99, 100, 101divcan5d 9816 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) )  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) )  =  ( (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K ) ) )
1032, 70, 1023eqtrd 2472 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K )
) )
104 nnnn0 10228 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  NN0 )
105104ad2antlr 708 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  NN0 )
106 nncn 10008 . . . . 5  |-  ( ( ! `  K )  e.  NN  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
107 nnne0 10032 . . . . 5  |-  ( ( ! `  K )  e.  NN  ->  ( ! `  K )  =/=  0 )
108106, 107div0d 9789 . . . 4  |-  ( ( ! `  K )  e.  NN  ->  (
0  /  ( ! `
 K ) )  =  0 )
109105, 94, 1083syl 19 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  /  ( ! `
 K ) )  =  0 )
1103adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
k  e.  CC  /\  x  e.  CC )
)  ->  ( k  x.  x )  e.  CC )
111 fvi 5783 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  (  _I  `  k )  =  k )
112 elfzelz 11059 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  ZZ )
113112zcnd 10376 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  CC )
114111, 113eqeltrd 2510 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
115114adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
116 mul02 9244 . . . . . 6  |-  ( k  e.  CC  ->  (
0  x.  k )  =  0 )
117116adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  CC )  ->  (
0  x.  k )  =  0 )
118 mul01 9245 . . . . . 6  |-  ( k  e.  CC  ->  (
k  x.  0 )  =  0 )
119118adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  CC )  ->  (
k  x.  0 )  =  0 )
120 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )
121 nn0uz 10520 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
122105, 121syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
12372ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  ZZ )
124 elfz5 11051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  K  <_  N ) )
125122, 123, 124syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  K  <_  N ) )
126 nn0re 10230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
127126ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  RR )
128 nnre 10007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR )
129128ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  RR )
130127, 129subge0d 9616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  <_  ( N  -  K )  <->  K  <_  N ) )
131125, 130bitr4d 248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  0  <_  ( N  -  K ) ) )
132120, 131mtbid 292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  0  <_  ( N  -  K ) )
13374adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
134133zred 10375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  K )  e.  RR )
135 0re 9091 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
136 ltnle 9155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( N  -  K )  <  0  <->  -.  0  <_  ( N  -  K ) ) )
137134, 135, 136sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( N  -  K
) ) )
138132, 137mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  K )  <  0 )
139 0z 10293 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
140 zltp1le 10325 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  K )  <  0  <->  ( ( N  -  K
)  +  1 )  <_  0 ) )
141133, 139, 140sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  <  0  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_ 
0 ) )
142138, 141mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  <_  0 )
143 nn0ge0 10247 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
144143ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  0  <_  N )
145139a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  0  e.  ZZ )
14675adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  ZZ )
147 elfz 11049 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  <-> 
( ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
148145, 146, 123, 147syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  e.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 ) ... N )  <->  ( (
( N  -  K
)  +  1 )  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
149142, 144, 148mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  0  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )
150 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  NN0 )
151 0cn 9084 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
152 fvi 5783 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  CC  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
153151, 152mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
154110, 115, 117, 119, 149, 150, 153seqz 11371 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  =  0 )
155154oveq1d 6096 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
(  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K )
)  =  ( 0  /  ( ! `  K ) ) )
156 bcval3 11597 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
15721, 156syl3an2 1218 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
1581573expa 1153 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
159109, 155, 1583eqtr4rd 2479 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( (  seq  (
( N  -  K
)  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K ) ) )
160103, 159pm2.61dan 767 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  =  ( (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212    _I cid 4493   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612   ...cfz 11043    seq cseq 11323   !cfa 11566    _C cbc 11593
This theorem is referenced by:  bcn2  11610
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-seq 11324  df-fac 11567  df-bc 11594
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