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Theorem bcval5 11330
Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient  ( N  _C  K )  =  ( N  x.  ( N  -  1 )  x. 
...  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  /  K ! explicitly. In this form, it is valid even for  N  <  K, although it is no longer valid for non-positive  K. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcval5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  =  ( (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K )
) )

Proof of Theorem bcval5
Dummy variables  x  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcval2 11318 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
21adantl 452 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) )
3 mulcl 8821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( k  x.  x
)  e.  CC )
43adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( k  x.  x
)  e.  CC )
5 mulass 8825 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
( k  x.  x
)  x.  y )  =  ( k  x.  ( x  x.  y
) ) )
65adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( k  x.  x )  x.  y
)  =  ( k  x.  ( x  x.  y ) ) )
7 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  NN )
8 elfzuz3 10795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
98adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
10 nnuz 10263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1110uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  ->  N  e.  NN )
127, 9, 11syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  NN )
1312adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  N  e.  NN )
14 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  K  e.  NN )
15 nnre 9753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
16 nnrp 10363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR+ )
17 ltsubrp 10385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  K  e.  RR+ )  -> 
( N  -  K
)  <  N )
1815, 16, 17syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  <  N )
1913, 14, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  <  N )
2013nnzd 10116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  N  e.  ZZ )
21 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  ZZ )
2221ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  K  e.  ZZ )
2320, 22zsubcld 10122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
24 zltp1le 10067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  K )  <  N  <->  ( ( N  -  K
)  +  1 )  <_  N ) )
2523, 20, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (
( N  -  K
)  <  N  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N ) )
2619, 25mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  <_  N )
2723peano2zd 10120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  ZZ )
28 eluz 10241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N ) )
2927, 20, 28syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N ) )
3026, 29mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
31 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  e.  NN )
3231, 10syl6eleq 2373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
33 fvi 5579 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (  _I  `  k )  =  k )
34 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
3534zcnd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  CC )
3633, 35eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
3736adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
384, 6, 30, 32, 37seqsplit 11079 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  -  K ) )  x.  (  seq  (
( N  -  K
)  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )
) )
39 facnn 11290 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  (  seq  1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
4013, 39syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( ! `  N )  =  (  seq  1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
41 facnn 11290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  -  K
) ) )
4231, 41syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  -  K
) ) )
4342oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  -  K
) )  x.  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
4438, 40, 433eqtr4d 2325 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
4544expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) ) )
46 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  NN0 )
47 faccl 11298 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
48 nncn 9754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
4946, 47, 483syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
5049mulid2d 8853 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ! `  N
) )
5112, 39syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =  (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) )
5251oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  =  ( 1  x.  (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
5350, 52eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =  ( 1  x.  (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
54 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  ( ! `  0
) )
55 fac0 11291 . . . . . . . . 9  |-  ( ! `
 0 )  =  1
5654, 55syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  1 )
57 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
58 0p1e1 9839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
5957, 58syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  =  1 )
6059seqeq1d 11052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  )  =  seq  1 (  x.  ,  _I  ) )
6160fveq1d 5527 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  =  (  seq  1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
6256, 61oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) )  =  ( 1  x.  (  seq  1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
) )
6362eqeq2d 2294 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( ! `  N
)  =  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  (  seq  (
( N  -  K
)  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )
)  <->  ( ! `  N )  =  ( 1  x.  (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) ) )
6453, 63syl5ibrcom 213 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  =  0  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) ) )
65 fznn0sub 10824 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
6665adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
67 elnn0 9967 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  K )  e.  NN  \/  ( N  -  K )  =  0 ) )
6866, 67sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  e.  NN  \/  ( N  -  K )  =  0 ) )
6945, 64, 68mpjaod 370 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
7069oveq1d 5873 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) )  =  ( ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) )  / 
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
) ) )
71 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )
72 nn0z 10046 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
73 zsubcl 10061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  -  K
)  e.  ZZ )
7472, 21, 73syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  e.  ZZ )
7574peano2zd 10120 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ )
7675adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ )
77 fvi 5579 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  ->  (  _I  `  k )  =  k )
78 eluzelz 10238 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
7978zcnd 10118 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  ->  k  e.  CC )
8077, 79eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
8180adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
823adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
k  e.  CC  /\  x  e.  CC )
)  ->  ( k  x.  x )  e.  CC )
8371, 76, 81, 82seqf 11067 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) : ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) ) --> CC )
8412, 7, 18syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  <  N
)
8574adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
8612nnzd 10116 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  ZZ )
8785, 86, 24syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  <  N  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N
) )
8884, 87mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N )
8976, 86, 28syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  <-> 
( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N )
)
9088, 89mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
91 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) : ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) --> CC  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  ->  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  e.  CC )
9283, 90, 91syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  e.  CC )
93 elfznn0 10822 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
9493adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  NN0 )
95 faccl 11298 . . . . . 6  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  e.  NN )
9694, 95syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  e.  NN )
9796nncnd 9762 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
98 faccl 11298 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  -  K ) )  e.  NN )
9966, 98syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  e.  NN )
10099nncnd 9762 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  e.  CC )
10196nnne0d 9790 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  =/=  0
)
10299nnne0d 9790 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  =/=  0
)
10392, 97, 100, 101, 102divcan5d 9562 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N ) )  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) )  =  ( (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K ) ) )
1042, 70, 1033eqtrd 2319 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K )
) )
105 nnnn0 9972 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  NN0 )
106105ad2antlr 707 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  NN0 )
107 nncn 9754 . . . . 5  |-  ( ( ! `  K )  e.  NN  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
108 nnne0 9778 . . . . 5  |-  ( ( ! `  K )  e.  NN  ->  ( ! `  K )  =/=  0 )
109107, 108div0d 9535 . . . 4  |-  ( ( ! `  K )  e.  NN  ->  (
0  /  ( ! `
 K ) )  =  0 )
110106, 95, 1093syl 18 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  /  ( ! `
 K ) )  =  0 )
1113adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
k  e.  CC  /\  x  e.  CC )
)  ->  ( k  x.  x )  e.  CC )
112 fvi 5579 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  (  _I  `  k )  =  k )
113 elfzelz 10798 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  ZZ )
114113zcnd 10118 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  CC )
115112, 114eqeltrd 2357 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
116115adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
117 mul02 8990 . . . . . 6  |-  ( k  e.  CC  ->  (
0  x.  k )  =  0 )
118117adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  CC )  ->  (
0  x.  k )  =  0 )
119 mul01 8991 . . . . . 6  |-  ( k  e.  CC  ->  (
k  x.  0 )  =  0 )
120119adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  CC )  ->  (
k  x.  0 )  =  0 )
121 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )
122 nn0uz 10262 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
123106, 122syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
12472ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  ZZ )
125 elfz5 10790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  K  <_  N ) )
126123, 124, 125syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  K  <_  N ) )
127 nn0re 9974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
128127ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  RR )
129 nnre 9753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR )
130129ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  RR )
131128, 130subge0d 9362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  <_  ( N  -  K )  <->  K  <_  N ) )
132126, 131bitr4d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  0  <_  ( N  -  K ) ) )
133121, 132mtbid 291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  0  <_  ( N  -  K ) )
13474adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
135134zred 10117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  K )  e.  RR )
136 0re 8838 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
137 ltnle 8902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( N  -  K )  <  0  <->  -.  0  <_  ( N  -  K ) ) )
138135, 136, 137sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( N  -  K
) ) )
139133, 138mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  K )  <  0 )
140 0z 10035 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
141 zltp1le 10067 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  K )  <  0  <->  ( ( N  -  K
)  +  1 )  <_  0 ) )
142134, 140, 141sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  <  0  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_ 
0 ) )
143139, 142mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  <_  0 )
144 nn0ge0 9991 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
145144ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  0  <_  N )
146140a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  0  e.  ZZ )
14775adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  ZZ )
148 elfz 10788 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  <-> 
( ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
149146, 147, 124, 148syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  e.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 ) ... N )  <->  ( (
( N  -  K
)  +  1 )  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
150143, 145, 149mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  0  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )
151 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  NN0 )
152 0cn 8831 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
153 fvi 5579 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  CC  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
154152, 153mp1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
155111, 116, 118, 120, 150, 151, 154seqz 11094 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  =  0 )
156155oveq1d 5873 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
(  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K )
)  =  ( 0  /  ( ! `  K ) ) )
157 bcval3 11319 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
15821, 157syl3an2 1216 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
1591583expa 1151 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
160110, 156, 1593eqtr4rd 2326 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( (  seq  (
( N  -  K
)  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K ) ) )
161104, 160pm2.61dan 766 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  =  ( (  seq  ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ) `  N )  /  ( ! `  K )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023    _I cid 4304   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ...cfz 10782    seq cseq 11046   !cfa 11288    _C cbc 11315
This theorem is referenced by:  bcn2  11331
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-fac 11289  df-bc 11316
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