Theorem bcvalt 6895

Description: Value of the binomial coefficient, N choose K. Definition of binomial coefficient in [Gleason] p. 295. As suggested by Gleason, we define it to be 0 when 0 <_ K <_ N does not hold. See bcval2t 6897 for the value in the standard domain.

Assertion

Ref	Expression
bcvalt	|- ((N e. NN0 /\ K e. ZZ) -> (N C. K) = if((0 <_ K /\ K <_ N), ((!` N) / ((!` (N - K)) x. (!` K))), 0))

Proof of Theorem bcvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 3968	. . 3 |- ((!` N) / ((!` (N - K)) x. (!` K))) e. V
2		0nn0 6060	. . . 4 |- 0 e. NN0
3	2	elisseti 1809	. . 3 |- 0 e. V
4	1, 3	ifex 2390	. 2 |- if((0 <_ K /\ K <_ N), ((!` N) / ((!` (N - K)) x. (!` K))), 0) e. V
5		breq2 2613	. . . . 5 |- (n = N -> (k <_ n <-> k <_ N))
6	5	anbi2d 614	. . . 4 |- (n = N -> ((0 <_ k /\ k <_ n) <-> (0 <_ k /\ k <_ N)))
7	6	ifbid 2362	. . 3 |- (n = N -> if((0 <_ k /\ k <_ n), ((!` n) / ((!` (n - k)) x. (!` k))), 0) = if((0 <_ k /\ k <_ N), ((!` n) / ((!` (n - k)) x. (!` k))), 0))
8		fveq2 3709	. . . . 5 |- (n = N -> (!` n) = (!` N))
9		opreq1 3953	. . . . . . 7 |- (n = N -> (n - k) = (N - k))
10	9	fveq2d 3713	. . . . . 6 |- (n = N -> (!` (n - k)) = (!` (N - k)))
11	10	opreq1d 3960	. . . . 5 |- (n = N -> ((!` (n - k)) x. (!` k)) = ((!` (N - k)) x. (!` k)))
12	8, 11	opreq12d 3963	. . . 4 |- (n = N -> ((!` n) / ((!` (n - k)) x. (!` k))) = ((!` N) / ((!` (N - k)) x. (!` k))))
13	12	ifeq1d 2359	. . 3 |- (n = N -> if((0 <_ k /\ k <_ N), ((!` n) / ((!` (n - k)) x. (!` k))), 0) = if((0 <_ k /\ k <_ N), ((!` N) / ((!` (N - k)) x. (!` k))), 0))
14	7, 13	eqtrd 1499	. 2 |- (n = N -> if((0 <_ k /\ k <_ n), ((!` n) / ((!` (n - k)) x. (!` k))), 0) = if((0 <_ k /\ k <_ N), ((!` N) / ((!` (N - k)) x. (!` k))), 0))
15		breq2 2613	. . . . 5 |- (k = K -> (0 <_ k <-> 0 <_ K))
16		breq1 2612	. . . . 5 |- (k = K -> (k <_ N <-> K <_ N))
17	15, 16	anbi12d 626	. . . 4 |- (k = K -> ((0 <_ k /\ k <_ N) <-> (0 <_ K /\ K <_ N)))
18	17	ifbid 2362	. . 3 |- (k = K -> if((0 <_ k /\ k <_ N), ((!` N) / ((!` (N - k)) x. (!` k))), 0) = if((0 <_ K /\ K <_ N), ((!` N) / ((!` (N - k)) x. (!` k))), 0))
19		opreq2 3954	. . . . . . 7 |- (k = K -> (N - k) = (N - K))
20	19	fveq2d 3713	. . . . . 6 |- (k = K -> (!` (N - k)) = (!` (N - K)))
21		fveq2 3709	. . . . . 6 |- (k = K -> (!` k) = (!` K))
22	20, 21	opreq12d 3963	. . . . 5 |- (k = K -> ((!` (N - k)) x. (!` k)) = ((!` (N - K)) x. (!` K)))
23	22	opreq2d 3961	. . . 4 |- (k = K -> ((!` N) / ((!` (N - k)) x. (!` k))) = ((!` N) / ((!` (N - K)) x. (!` K))))
24	23	ifeq1d 2359	. . 3 |- (k = K -> if((0 <_ K /\ K <_ N), ((!` N) / ((!` (N - k)) x. (!` k))), 0) = if((0 <_ K /\ K <_ N), ((!` N) / ((!` (N - K)) x. (!` K))), 0))
25	18, 24	eqtrd 1499	. 2 |- (k = K -> if((0 <_ k /\ k <_ N), ((!` N) / ((!` (N - k)) x. (!` k))), 0) = if((0 <_ K /\ K <_ N), ((!` N) / ((!` (N - K)) x. (!` K))), 0))
26		df-bc 6894	. 2 |- C. = {<.<.n, k>., m>. | ((n e. NN0 /\ k e. ZZ) /\ m = if((0 <_ k /\ k <_ n), ((!` n) / ((!` (n - k)) x. (!` k))), 0))}
27	4, 14, 25, 26	oprabval2 4013	1 |- ((N e. NN0 /\ K e. ZZ) -> (N C. K) = if((0 <_ K /\ K <_ N), ((!` N) / ((!` (N - K)) x. (!` K))), 0))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  ifcif 2351   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  0cc0 5206   x. cmul 5211   - cmin 5264   / cdiv 5266   <_ cle 5267  NN0cn0 5269  ZZcz 5270  !cfa 6868   C. cbc 6893

This theorem is referenced by:  bcval3tOLD 6896  bcval4t 6899  bcclt 6910

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-n0 6047  df-bc 6894

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