HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  bdophsi Structured version   Unicode version

Theorem bdophsi 23591
Description: The sum of two bounded linear operators is a bounded linear operator. (Contributed by NM, 9-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1  |-  S  e.  BndLinOp
nmoptri.2  |-  T  e.  BndLinOp
Assertion
Ref Expression
bdophsi  |-  ( S 
+op  T )  e.  BndLinOp

Proof of Theorem bdophsi
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . 4  |-  S  e.  BndLinOp
2 bdopln 23356 . . . 4  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S  e.  LinOp )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  S  e. 
LinOp
4 nmoptri.2 . . . 4  |-  T  e.  BndLinOp
5 bdopln 23356 . . . 4  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T  e.  LinOp )
64, 5ax-mp 8 . . 3  |-  T  e. 
LinOp
73, 6lnophsi 23496 . 2  |-  ( S 
+op  T )  e. 
LinOp
8 bdopf 23357 . . . . . 6  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  S : ~H --> ~H )
91, 8ax-mp 8 . . . . 5  |-  S : ~H
--> ~H
10 bdopf 23357 . . . . . 6  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  T : ~H --> ~H )
114, 10ax-mp 8 . . . . 5  |-  T : ~H
--> ~H
129, 11hoaddcli 23263 . . . 4  |-  ( S 
+op  T ) : ~H --> ~H
13 nmopxr 23361 . . . 4  |-  ( ( S  +op  T ) : ~H --> ~H  ->  (
normop `  ( S  +op  T ) )  e.  RR* )
1412, 13ax-mp 8 . . 3  |-  ( normop `  ( S  +op  T
) )  e.  RR*
15 nmopre 23365 . . . . 5  |-  ( S  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  S
)  e.  RR )
161, 15ax-mp 8 . . . 4  |-  ( normop `  S )  e.  RR
17 nmopre 23365 . . . . 5  |-  ( T  e.  BndLinOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
184, 17ax-mp 8 . . . 4  |-  ( normop `  T )  e.  RR
1916, 18readdcli 9095 . . 3  |-  ( (
normop `  S )  +  ( normop `  T )
)  e.  RR
20 nmopgtmnf 23363 . . . 4  |-  ( ( S  +op  T ) : ~H --> ~H  ->  -oo 
<  ( normop `  ( S  +op  T ) ) )
2112, 20ax-mp 8 . . 3  |-  -oo  <  (
normop `  ( S  +op  T ) )
221, 4nmoptrii 23589 . . 3  |-  ( normop `  ( S  +op  T
) )  <_  (
( normop `  S )  +  ( normop `  T
) )
23 xrre 10749 . . 3  |-  ( ( ( ( normop `  ( S  +op  T ) )  e.  RR*  /\  (
( normop `  S )  +  ( normop `  T
) )  e.  RR )  /\  (  -oo  <  (
normop `  ( S  +op  T ) )  /\  ( normop `  ( S  +op  T
) )  <_  (
( normop `  S )  +  ( normop `  T
) ) ) )  ->  ( normop `  ( S  +op  T ) )  e.  RR )
2414, 19, 21, 22, 23mp4an 655 . 2  |-  ( normop `  ( S  +op  T
) )  e.  RR
25 elbdop2 23366 . 2  |-  ( ( S  +op  T )  e.  BndLinOp 
<->  ( ( S  +op  T )  e.  LinOp  /\  ( normop `  ( S  +op  T
) )  e.  RR ) )
267, 24, 25mpbir2an 887 1  |-  ( S 
+op  T )  e.  BndLinOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981    + caddc 8985    -oocmnf 9110   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113   ~Hchil 22414    +op chos 22433   normopcnop 22440   LinOpclo 22442   BndLinOpcbo 22443
This theorem is referenced by:  bdophdi  23592  nmoptri2i  23594  unierri  23599
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-hilex 22494  ax-hfvadd 22495  ax-hvcom 22496  ax-hvass 22497  ax-hv0cl 22498  ax-hvaddid 22499  ax-hfvmul 22500  ax-hvmulid 22501  ax-hvmulass 22502  ax-hvdistr1 22503  ax-hvdistr2 22504  ax-hvmul0 22505  ax-hfi 22573  ax-his1 22576  ax-his2 22577  ax-his3 22578  ax-his4 22579
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ablo 21862  df-vc 22017  df-nv 22063  df-va 22066  df-ba 22067  df-sm 22068  df-0v 22069  df-nmcv 22071  df-hnorm 22463  df-hba 22464  df-hvsub 22466  df-hosum 23225  df-nmop 23334  df-lnop 23336  df-bdop 23337
  Copyright terms: Public domain W3C validator