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Theorem bernneq 11505
Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
bernneq  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) )

Proof of Theorem bernneq
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  0  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  0 ) )
21oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  =  ( 1  +  ( A  x.  0 ) ) )
3 oveq2 6089 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  (
( 1  +  A
) ^ j )  =  ( ( 1  +  A ) ^
0 ) )
42, 3breq12d 4225 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  (
( 1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ j )  <->  ( 1  +  ( A  x.  0 ) )  <_ 
( ( 1  +  A ) ^ 0 ) ) )
54imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
j ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
0 ) ) ) )
6 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  k ) )
76oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  =  ( 1  +  ( A  x.  k
) ) )
8 oveq2 6089 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( 1  +  A
) ^ j )  =  ( ( 1  +  A ) ^
k ) )
97, 8breq12d 4225 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( 1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ j )  <->  ( 1  +  ( A  x.  k ) )  <_ 
( ( 1  +  A ) ^ k
) ) )
109imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
j ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  k ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
k ) ) ) )
11 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )
1211oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  =  ( 1  +  ( A  x.  (
k  +  1 ) ) ) )
13 oveq2 6089 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  +  A
) ^ j )  =  ( ( 1  +  A ) ^
( k  +  1 ) ) )
1412, 13breq12d 4225 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ j )  <->  ( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( 1  +  A ) ^ (
k  +  1 ) ) ) )
1514imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
j ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
16 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  N  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  N ) )
1716oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  =  ( 1  +  ( A  x.  N
) ) )
18 oveq2 6089 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  (
( 1  +  A
) ^ j )  =  ( ( 1  +  A ) ^ N ) )
1917, 18breq12d 4225 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( 1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ j )  <->  ( 1  +  ( A  x.  N ) )  <_ 
( ( 1  +  A ) ^ N
) ) )
2019imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
j ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) ) ) )
21 recn 9080 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
22 mul01 9245 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
2322oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  =  ( 1  +  0 ) )
24 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
2524addid1i 9253 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  0 )  =  1
2623, 25syl6eq 2484 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  =  1 )
27 1le1 9650 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  1
28 addcl 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  +  A
)  e.  CC )
2924, 28mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  A )  e.  CC )
30 exp0 11386 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  +  A )  e.  CC  ->  (
( 1  +  A
) ^ 0 )  =  1 )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  A
) ^ 0 )  =  1 )
3227, 31syl5breqr 4248 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  1  <_  ( ( 1  +  A ) ^ 0 ) )
3326, 32eqbrtrd 4232 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
0 ) )
3421, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
0 ) )
3534adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  ( 1  +  ( A  x.  0 ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ 0 ) )
36 1re 9090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
37 nn0re 10230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
38 remulcl 9075 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( A  x.  k
)  e.  RR )
3937, 38sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A  x.  k
)  e.  RR )
40 readdcl 9073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( A  x.  k
)  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  e.  RR )
4136, 39, 40sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( A  x.  k ) )  e.  RR )
42 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
43 readdcl 9073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  e.  RR )
4441, 42, 43syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  e.  RR )
4544adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  e.  RR )
46 readdcl 9073 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 1  +  A
)  e.  RR )
4736, 46mpan 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  +  A )  e.  RR )
4847adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  A
)  e.  RR )
4941, 48remulcld 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  x.  (
1  +  A ) )  e.  RR )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) )  e.  RR )
51 reexpcl 11398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  +  A
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ k
)  e.  RR )
5247, 51sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ k
)  e.  RR )
5352, 48remulcld 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 1  +  A ) ^
k )  x.  (
1  +  A ) )  e.  RR )
5453adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( ( 1  +  A ) ^ k
)  x.  ( 1  +  A ) )  e.  RR )
55 remulcl 9075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  x.  A
)  e.  RR )
5655anidms 627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  A )  e.  RR )
57 msqge0 9549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( A  x.  A
) )
5856, 57jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  x.  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  A ) ) )
59 nn0ge0 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  <_ 
k )
6037, 59jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  e.  RR  /\  0  <_  k ) )
61 mulge0 9545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  x.  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  A ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  0  <_  k )
)  ->  0  <_  ( ( A  x.  A
)  x.  k ) )
6258, 60, 61syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( A  x.  A )  x.  k ) )
6321adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
64 nn0cn 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
6564adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  CC )
6663, 63, 65mul32d 9276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A  x.  A )  x.  k
)  =  ( ( A  x.  k )  x.  A ) )
6762, 66breqtrd 4236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( A  x.  k )  x.  A ) )
68 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
6938, 68remulcld 9116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  k )  x.  A
)  e.  RR )
7037, 69sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A  x.  k )  x.  A
)  e.  RR )
7144, 70addge01d 9614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  (
( A  x.  k
)  x.  A )  <-> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  <_  ( (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k )  x.  A ) ) ) )
7267, 71mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  <_  ( (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k )  x.  A ) ) )
73 mulcl 9074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  x.  k
)  e.  CC )
74 addcl 9072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A  x.  k
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  e.  CC )
7524, 73, 74sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  x.  k ) )  e.  CC )
76 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
7773, 76mulcld 9108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  k )  x.  A
)  e.  CC )
7875, 76, 77addassd 9110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k
)  x.  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  ( A  +  ( ( A  x.  k )  x.  A
) ) ) )
79 muladd11 9236 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  x.  k
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  x.  (
1  +  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  ( A  +  ( ( A  x.  k )  x.  A
) ) ) )
8073, 76, 79syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  x.  (
1  +  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  ( A  +  ( ( A  x.  k )  x.  A
) ) ) )
8178, 80eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k
)  x.  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) ) )
8221, 64, 81syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k
)  x.  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) ) )
8372, 82breqtrd 4236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  <_  ( (
1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) ) )
8483adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  <_  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A
) ) )
8541adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  ( A  x.  k ) )  e.  RR )
8652adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  A
) ^ k )  e.  RR )
8748adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  A )  e.  RR )
8836renegcli 9362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  RR
89 leadd2 9497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( -u 1  <_  A 
<->  ( 1  +  -u
1 )  <_  (
1  +  A ) ) )
9088, 36, 89mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  A  <->  ( 1  +  -u 1 )  <_ 
( 1  +  A
) ) )
9124negidi 9369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
9291breq1i 4219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  +  -u 1
)  <_  ( 1  +  A )  <->  0  <_  ( 1  +  A ) )
9390, 92syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  A  <->  0  <_  ( 1  +  A ) ) )
9493biimpa 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  0  <_  ( 1  +  A ) )
9594ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  0  <_  ( 1  +  A
) )
96 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  ( A  x.  k ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
k ) )
9785, 86, 87, 95, 96lemul1ad 9950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) )  <_  ( ( ( 1  +  A ) ^ k )  x.  ( 1  +  A
) ) )
9845, 50, 54, 84, 97letrd 9227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  <_  ( ( ( 1  +  A ) ^ k )  x.  ( 1  +  A
) ) )
99 adddi 9079 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( k  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  k )  +  ( A  x.  1 ) ) )
10024, 99mp3an3 1268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  k )  +  ( A  x.  1 ) ) )
101 mulid1 9088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
102101adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
103102oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  k )  +  ( A  x.  1 ) )  =  ( ( A  x.  k )  +  A ) )
104100, 103eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  k )  +  A ) )
105104oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( 1  +  ( ( A  x.  k )  +  A ) ) )
106 addass 9077 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A  x.  k
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  =  ( 1  +  ( ( A  x.  k )  +  A ) ) )
10724, 106mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  x.  k
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  =  ( 1  +  ( ( A  x.  k )  +  A ) ) )
10873, 76, 107syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  =  ( 1  +  ( ( A  x.  k )  +  A ) ) )
109105, 108eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A ) )
11021, 64, 109syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A ) )
111110adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A ) )
11224, 21, 28sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  +  A )  e.  CC )
113 expp1 11388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  +  A
)  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  A
) ^ k )  x.  ( 1  +  A ) ) )
114112, 113sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  A
) ^ k )  x.  ( 1  +  A ) ) )
115114adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  A
) ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  A ) ^ k )  x.  ( 1  +  A
) ) )
11698, 111, 1153brtr4d 4242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
( k  +  1 ) ) )
117116exp43 596 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
k  e.  NN0  ->  (
-u 1  <_  A  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k )  ->  ( 1  +  ( A  x.  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
118117com12 29 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  A  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ k )  -> 
( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
119118imp3a 421 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k )  ->  ( 1  +  ( A  x.  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
120119a2d 24 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) )  ->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
1215, 10, 15, 20, 35, 120nn0ind 10366 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  ( 1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ N ) ) )
122121exp3a 426 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  A  ->  ( 1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) ) ) )
123122com12 29 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( -u 1  <_  A  ->  ( 1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) ) ) )
1241233imp 1147 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    <_ cle 9121   -ucneg 9292   NN0cn0 10221   ^cexp 11382
This theorem is referenced by:  bernneq2  11506  stoweidlem1  27726  stoweidlem10  27735  stoweidlem42  27767
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-seq 11324  df-exp 11383
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