MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bernneq2 Unicode version

Theorem bernneq2 11228
Description: Variation of Bernoulli's inequality bernneq 11227. (Contributed by NM, 18-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
bernneq2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
( ( A  - 
1 )  x.  N
)  +  1 )  <_  ( A ^ N ) )

Proof of Theorem bernneq2
StepHypRef Expression
1 peano2rem 9113 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
213ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
3 simp2 956 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  N  e.  NN0 )
4 df-neg 9040 . . . . 5  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
5 0re 8838 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
6 1re 8837 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
7 lesub1 9268 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
0  <_  A  <->  ( 0  -  1 )  <_ 
( A  -  1 ) ) )
85, 6, 7mp3an13 1268 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  ( 0  -  1 )  <_ 
( A  -  1 ) ) )
98biimpa 470 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( 0  -  1 )  <_  ( A  -  1 ) )
104, 9syl5eqbr 4056 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u 1  <_  ( A  -  1 ) )
11103adant2 974 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  -u 1  <_  ( A  -  1 ) )
12 bernneq 11227 . . 3  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  -u 1  <_  ( A  -  1 ) )  ->  (
1  +  ( ( A  -  1 )  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  ( A  - 
1 ) ) ^ N ) )
132, 3, 11, 12syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
1  +  ( ( A  -  1 )  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  ( A  - 
1 ) ) ^ N ) )
14 ax-1cn 8795 . . . 4  |-  1  e.  CC
151recnd 8861 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
16 nn0cn 9975 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
17 mulcl 8821 . . . . 5  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( A  - 
1 )  x.  N
)  e.  CC )
1815, 16, 17syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A  - 
1 )  x.  N
)  e.  CC )
19 addcom 8998 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( A  - 
1 )  x.  N
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( ( A  - 
1 )  x.  N
) )  =  ( ( ( A  - 
1 )  x.  N
)  +  1 ) )
2014, 18, 19sylancr 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( ( A  -  1 )  x.  N ) )  =  ( ( ( A  -  1 )  x.  N )  +  1 ) )
21203adant3 975 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
1  +  ( ( A  -  1 )  x.  N ) )  =  ( ( ( A  -  1 )  x.  N )  +  1 ) )
22 recn 8827 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
23 pncan3 9059 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  -  1 ) )  =  A )
2414, 22, 23sylancr 644 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  +  ( A  -  1 ) )  =  A )
2524oveq1d 5873 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 1  +  ( A  -  1 ) ) ^ N )  =  ( A ^ N ) )
26253ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
( 1  +  ( A  -  1 ) ) ^ N )  =  ( A ^ N ) )
2713, 21, 263brtr3d 4052 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
( ( A  - 
1 )  x.  N
)  +  1 )  <_  ( A ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   NN0cn0 9965   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  bernneq3  11229  expnbnd  11230  expmulnbnd  11233  expcnv  12322  ostth2lem1  20767
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator