MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bernneq2 Structured version   Unicode version

Theorem bernneq2 11506
Description: Variation of Bernoulli's inequality bernneq 11505. (Contributed by NM, 18-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
bernneq2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
( ( A  - 
1 )  x.  N
)  +  1 )  <_  ( A ^ N ) )

Proof of Theorem bernneq2
StepHypRef Expression
1 peano2rem 9367 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
213ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
3 simp2 958 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  N  e.  NN0 )
4 df-neg 9294 . . . . 5  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
5 0re 9091 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
6 1re 9090 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
7 lesub1 9522 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
0  <_  A  <->  ( 0  -  1 )  <_ 
( A  -  1 ) ) )
85, 6, 7mp3an13 1270 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  ( 0  -  1 )  <_ 
( A  -  1 ) ) )
98biimpa 471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( 0  -  1 )  <_  ( A  -  1 ) )
104, 9syl5eqbr 4245 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u 1  <_  ( A  -  1 ) )
11103adant2 976 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  -u 1  <_  ( A  -  1 ) )
12 bernneq 11505 . . 3  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  -u 1  <_  ( A  -  1 ) )  ->  (
1  +  ( ( A  -  1 )  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  ( A  - 
1 ) ) ^ N ) )
132, 3, 11, 12syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
1  +  ( ( A  -  1 )  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  ( A  - 
1 ) ) ^ N ) )
14 ax-1cn 9048 . . . 4  |-  1  e.  CC
151recnd 9114 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
16 nn0cn 10231 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
17 mulcl 9074 . . . . 5  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( A  - 
1 )  x.  N
)  e.  CC )
1815, 16, 17syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A  - 
1 )  x.  N
)  e.  CC )
19 addcom 9252 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( A  - 
1 )  x.  N
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( ( A  - 
1 )  x.  N
) )  =  ( ( ( A  - 
1 )  x.  N
)  +  1 ) )
2014, 18, 19sylancr 645 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( ( A  -  1 )  x.  N ) )  =  ( ( ( A  -  1 )  x.  N )  +  1 ) )
21203adant3 977 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
1  +  ( ( A  -  1 )  x.  N ) )  =  ( ( ( A  -  1 )  x.  N )  +  1 ) )
22 recn 9080 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
23 pncan3 9313 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  -  1 ) )  =  A )
2414, 22, 23sylancr 645 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  +  ( A  -  1 ) )  =  A )
2524oveq1d 6096 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 1  +  ( A  -  1 ) ) ^ N )  =  ( A ^ N ) )
26253ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
( 1  +  ( A  -  1 ) ) ^ N )  =  ( A ^ N ) )
2713, 21, 263brtr3d 4241 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
( ( A  - 
1 )  x.  N
)  +  1 )  <_  ( A ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292   NN0cn0 10221   ^cexp 11382
This theorem is referenced by:  bernneq3  11507  expnbnd  11508  expmulnbnd  11511  expcnv  12643  ostth2lem1  21312
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-seq 11324  df-exp 11383
  Copyright terms: Public domain W3C validator