MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bernneq3 Unicode version

Theorem bernneq3 11245
Description: A corollary of bernneq 11243. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bernneq3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  <  ( P ^ N
) )

Proof of Theorem bernneq3
StepHypRef Expression
1 nn0re 9990 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
21adantl 452 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
3 peano2re 9001 . . 3  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
42, 3syl 15 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
5 eluzelre 10255 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  RR )
6 reexpcl 11136 . . 3  |-  ( ( P  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( P ^ N
)  e.  RR )
75, 6sylan 457 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P ^ N )  e.  RR )
82ltp1d 9703 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
9 uz2m1nn 10308 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
109adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
1110nnred 9777 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P  -  1 )  e.  RR )
1211, 2remulcld 8879 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( P  -  1 )  x.  N )  e.  RR )
13 peano2re 9001 . . . 4  |-  ( ( ( P  -  1 )  x.  N )  e.  RR  ->  (
( ( P  - 
1 )  x.  N
)  +  1 )  e.  RR )
1412, 13syl 15 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( ( P  - 
1 )  x.  N
)  +  1 )  e.  RR )
15 1re 8853 . . . . 5  |-  1  e.  RR
1615a1i 10 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
17 nn0ge0 10007 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
1817adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  0  <_  N )
1910nnge1d 9804 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  1  <_  ( P  -  1 ) )
202, 11, 18, 19lemulge12d 9711 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  <_  ( ( P  - 
1 )  x.  N
) )
212, 12, 16, 20leadd1dd 9402 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  +  1 )  <_  ( ( ( P  -  1 )  x.  N )  +  1 ) )
225adantr 451 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  P  e.  RR )
23 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
24 2nn0 9998 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN0
25 eluznn0 10304 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  P  e.  NN0 )
2624, 25mpan 651 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN0 )
27 nn0ge0 10007 . . . . . 6  |-  ( P  e.  NN0  ->  0  <_  P )
2826, 27syl 15 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  P )
2928adantr 451 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  0  <_  P )
30 bernneq2 11244 . . . 4  |-  ( ( P  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  P )  ->  (
( ( P  - 
1 )  x.  N
)  +  1 )  <_  ( P ^ N ) )
3122, 23, 29, 30syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( ( P  - 
1 )  x.  N
)  +  1 )  <_  ( P ^ N ) )
324, 14, 7, 21, 31letrd 8989 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  +  1 )  <_  ( P ^ N ) )
332, 4, 7, 8, 32ltletrd 8992 1  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  <  ( P ^ N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZ>=cuz 10246   ^cexp 11120
This theorem is referenced by:  climcnds  12326  bitsfzo  12642  bitsinv1  12649  pcfaclem  12962  pcfac  12963  chpchtsum  20474  bposlem1  20539
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-exp 11121
  Copyright terms: Public domain W3C validator