MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bezoutlem2 Unicode version

Theorem bezoutlem2 12998
Description: Lemma for bezout 13001. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bezout.1  |-  M  =  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }
bezout.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
bezout.4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
bezout.2  |-  G  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
bezout.5  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
Assertion
Ref Expression
bezoutlem2  |-  ( ph  ->  G  e.  M )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, G, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    M( x, y, z)

Proof of Theorem bezoutlem2
StepHypRef Expression
1 bezout.2 . 2  |-  G  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
2 bezout.1 . . . . 5  |-  M  =  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }
3 ssrab2 3392 . . . . 5  |-  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) }  C_  NN
42, 3eqsstri 3342 . . . 4  |-  M  C_  NN
5 nnuz 10481 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
64, 5sseqtri 3344 . . 3  |-  M  C_  ( ZZ>= `  1 )
7 bezout.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
8 bezout.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
92, 7, 8bezoutlem1 12997 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  0  ->  ( abs `  A
)  e.  M ) )
10 ne0i 3598 . . . . 5  |-  ( ( abs `  A )  e.  M  ->  M  =/=  (/) )
119, 10syl6 31 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  0  ->  M  =/=  (/) ) )
12 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) }  =  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) }
1312, 8, 7bezoutlem1 12997 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  0  ->  ( abs `  B
)  e.  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) } ) )
14 rexcom 2833 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )
157zcnd 10336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1615adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  CC )
17 zcn 10247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
1817ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  CC )
1916, 18mulcld 9068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( A  x.  x
)  e.  CC )
208zcnd 10336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
2120adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  CC )
22 zcn 10247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
2322ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
y  e.  CC )
2421, 23mulcld 9068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( B  x.  y
)  e.  CC )
2519, 24addcomd 9228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x ) ) )
2625eqeq2d 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <-> 
z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x ) ) ) )
27262rexbidva 2711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) ) )
2814, 27syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) ) )
2928rabbidv 2912 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }  =  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) } )
302, 29syl5eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  =  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) } )
3130eleq2d 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
)  e.  M  <->  ( abs `  B )  e.  {
z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) } ) )
3213, 31sylibrd 226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  0  ->  ( abs `  B
)  e.  M ) )
33 ne0i 3598 . . . . 5  |-  ( ( abs `  B )  e.  M  ->  M  =/=  (/) )
3432, 33syl6 31 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  0  ->  M  =/=  (/) ) )
35 bezout.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
36 neorian 2658 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  0  \/  B  =/=  0 )  <->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
3735, 36sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  0  \/  B  =/=  0
) )
3811, 34, 37mpjaod 371 . . 3  |-  ( ph  ->  M  =/=  (/) )
39 infmssuzcl 10519 . . 3  |-  ( ( M  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  =/=  (/) )  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  M
)
406, 38, 39sylancr 645 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  M )
411, 40syl5eqel 2492 1  |-  ( ph  ->  G  e.  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   E.wrex 2671   {crab 2674    C_ wss 3284   (/)c0 3592   `'ccnv 4840   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   supcsup 7407   CCcc 8948   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951    + caddc 8953    x. cmul 8955    < clt 9080   NNcn 9960   ZZcz 10242   ZZ>=cuz 10448   abscabs 11998
This theorem is referenced by:  bezoutlem3  12999  bezoutlem4  13000
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-rp 10573  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000
  Copyright terms: Public domain W3C validator