MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bezoutlem2 Structured version   Unicode version

Theorem bezoutlem2 13044
Description: Lemma for bezout 13047. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bezout.1  |-  M  =  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }
bezout.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
bezout.4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
bezout.2  |-  G  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
bezout.5  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
Assertion
Ref Expression
bezoutlem2  |-  ( ph  ->  G  e.  M )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, G, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    M( x, y, z)

Proof of Theorem bezoutlem2
StepHypRef Expression
1 bezout.2 . 2  |-  G  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
2 bezout.1 . . . . 5  |-  M  =  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }
3 ssrab2 3430 . . . . 5  |-  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) }  C_  NN
42, 3eqsstri 3380 . . . 4  |-  M  C_  NN
5 nnuz 10526 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
64, 5sseqtri 3382 . . 3  |-  M  C_  ( ZZ>= `  1 )
7 bezout.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
8 bezout.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
92, 7, 8bezoutlem1 13043 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  0  ->  ( abs `  A
)  e.  M ) )
10 ne0i 3636 . . . . 5  |-  ( ( abs `  A )  e.  M  ->  M  =/=  (/) )
119, 10syl6 32 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  0  ->  M  =/=  (/) ) )
12 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) }  =  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) }
1312, 8, 7bezoutlem1 13043 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  0  ->  ( abs `  B
)  e.  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) } ) )
14 rexcom 2871 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )
157zcnd 10381 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1615adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  CC )
17 zcn 10292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
1817ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  CC )
1916, 18mulcld 9113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( A  x.  x
)  e.  CC )
208zcnd 10381 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
2120adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  CC )
22 zcn 10292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
2322ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
y  e.  CC )
2421, 23mulcld 9113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( B  x.  y
)  e.  CC )
2519, 24addcomd 9273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x ) ) )
2625eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <-> 
z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x ) ) ) )
27262rexbidva 2748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) ) )
2814, 27syl5bb 250 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) ) )
2928rabbidv 2950 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }  =  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) } )
302, 29syl5eq 2482 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  =  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) } )
3130eleq2d 2505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
)  e.  M  <->  ( abs `  B )  e.  {
z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) } ) )
3213, 31sylibrd 227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  0  ->  ( abs `  B
)  e.  M ) )
33 ne0i 3636 . . . . 5  |-  ( ( abs `  B )  e.  M  ->  M  =/=  (/) )
3432, 33syl6 32 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  0  ->  M  =/=  (/) ) )
35 bezout.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
36 neorian 2693 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  0  \/  B  =/=  0 )  <->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
3735, 36sylibr 205 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  0  \/  B  =/=  0
) )
3811, 34, 37mpjaod 372 . . 3  |-  ( ph  ->  M  =/=  (/) )
39 infmssuzcl 10564 . . 3  |-  ( ( M  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  =/=  (/) )  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  M
)
406, 38, 39sylancr 646 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  M )
411, 40syl5eqel 2522 1  |-  ( ph  ->  G  e.  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   E.wrex 2708   {crab 2711    C_ wss 3322   (/)c0 3630   `'ccnv 4880   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   supcsup 7448   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    < clt 9125   NNcn 10005   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   abscabs 12044
This theorem is referenced by:  bezoutlem3  13045  bezoutlem4  13046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046
  Copyright terms: Public domain W3C validator