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Theorem bezoutlem3 12735
Description: Lemma for bezout 12737. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bezout.1  |-  M  =  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }
bezout.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
bezout.4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
bezout.2  |-  G  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
bezout.5  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
Assertion
Ref Expression
bezoutlem3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  M  ->  G  ||  C ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, G, y, z    ph, x, y, z   
x, C, y, z   
x, M, y
Allowed substitution hint:    M( z)

Proof of Theorem bezoutlem3
Dummy variables  t 
s  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  C  e.  M )
2 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  C  ->  (
z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  <->  C  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
322rexbidv 2599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  C  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
4 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  s  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  s ) )
54oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  s  ->  (
( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  y
) ) )
65eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  s  ->  ( C  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  <->  C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
7 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  t  ->  ( B  x.  y )  =  ( B  x.  t ) )
87oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  (
( A  x.  s
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
98eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  y ) )  <->  C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) ) )
106, 9cbvrex2v 2786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) )
113, 10syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  C  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) ) )
12 bezout.1 . . . . . . . . . . 11  |-  M  =  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }
1311, 12elrab2 2938 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  M  <->  ( C  e.  NN  /\  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) ) )
141, 13sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  e.  NN  /\  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) ) )
1514simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  C  e.  NN )
1615nnred 9777 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  C  e.  RR )
17 bezout.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
18 bezout.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
19 bezout.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
20 bezout.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
2112, 17, 18, 19, 20bezoutlem2 12734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  M )
22 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  u  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  u ) )
2322oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  (
( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  y
) ) )
2423eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (
z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  <->  z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
25 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  v  ->  ( B  x.  y )  =  ( B  x.  v ) )
2625oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  v  ->  (
( A  x.  u
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )
2726eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  v  ->  (
z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  y ) )  <->  z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) ) )
2824, 27cbvrex2v 2786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) )
29 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  G  ->  (
z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  <->  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) ) )
30292rexbidv 2599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  G  ->  ( E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
3128, 30syl5bb 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  G  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
3231, 12elrab2 2938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  M  <->  ( G  e.  NN  /\  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
3321, 32sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  e.  NN  /\ 
E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) ) )
3433simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  NN )
3534nnrpd 10405 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  RR+ )
3635adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  G  e.  RR+ )
37 modlt 10997 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR  /\  G  e.  RR+ )  -> 
( C  mod  G
)  <  G )
3816, 36, 37syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  mod  G )  < 
G )
3915nnzd 10132 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  C  e.  ZZ )
4034adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  G  e.  NN )
4139, 40zmodcld 11006 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  mod  G )  e. 
NN0 )
4241nn0red 10035 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  mod  G )  e.  RR )
4334nnred 9777 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  RR )
4443adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  G  e.  RR )
4542, 44ltnled 8982 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  (
( C  mod  G
)  <  G  <->  -.  G  <_  ( C  mod  G
) ) )
4638, 45mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  -.  G  <_  ( C  mod  G ) )
4714simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) )
4833simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )
4948ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )
)  ->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) )
50 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  s  e.  ZZ )
51 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  u  e.  ZZ )
5216, 40nndivred 9810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  /  G )  e.  RR )
5352flcld 10946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( |_ `  ( C  /  G ) )  e.  ZZ )
5453adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( |_ `  ( C  /  G
) )  e.  ZZ )
5551, 54zmulcld 10139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  e.  ZZ )
5650, 55zsubcld 10138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  e.  ZZ )
57 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  t  e.  ZZ )
58 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  v  e.  ZZ )
5958, 54zmulcld 10139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  e.  ZZ )
6057, 59zsubcld 10138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  e.  ZZ )
6117zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
6261ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  A  e.  CC )
6350zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  s  e.  CC )
6462, 63mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  x.  s )  e.  CC )
6518zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
6665ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  B  e.  CC )
6757zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  t  e.  CC )
6866, 67mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( B  x.  t )  e.  CC )
6955zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  e.  CC )
7062, 69mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  e.  CC )
7159zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  e.  CC )
7266, 71mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  e.  CC )
7364, 68, 70, 72addsub4d 9220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  +  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  s )  -  ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( ( B  x.  t
)  -  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) ) )
7451zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  u  e.  CC )
7562, 74mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  x.  u )  e.  CC )
7658zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  v  e.  CC )
7766, 76mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( B  x.  v )  e.  CC )
7853zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( |_ `  ( C  /  G ) )  e.  CC )
7978adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( |_ `  ( C  /  G
) )  e.  CC )
8075, 77, 79adddird 8876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  =  ( ( ( A  x.  u
)  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) )  +  ( ( B  x.  v )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )
8162, 74, 79mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( A  x.  u )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  =  ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )
8266, 76, 79mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( B  x.  v )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  =  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )
8381, 82oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  u )  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) )  +  ( ( B  x.  v )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) )  +  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )
8480, 83eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  =  ( ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) )  +  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )
8584oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  +  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) ) ) )
8662, 63, 69subdid 9251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  x.  ( s  -  (
u  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) ) ) )  =  ( ( A  x.  s
)  -  ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )
8766, 67, 71subdid 9251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( B  x.  ( t  -  (
v  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) ) ) )  =  ( ( B  x.  t
)  -  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )
8886, 87oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( B  x.  ( t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  s )  -  ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( ( B  x.  t
)  -  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) ) )
8973, 85, 883eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( B  x.  (
t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) ) ) )
90 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )
9190oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  ->  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  ( s  -  (
u  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( B  x.  y ) ) )
9291eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  ->  ( (
( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  ( (
( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  (
s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
93 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  ->  ( B  x.  y )  =  ( B  x.  ( t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )
9493oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( B  x.  y
) )  =  ( ( A  x.  (
s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) )  +  ( B  x.  ( t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) ) )
9594eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  ->  ( (
( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( B  x.  y ) )  <->  ( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( B  x.  (
t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) ) ) ) )
9692, 95rspc2ev 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( s  -  (
u  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( t  -  (
v  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  -  (
( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( B  x.  (
t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) )
9756, 60, 89, 96syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) )
98 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  ->  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) )  =  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )
99 oveq12 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  /\  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  =  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  ->  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) )
10098, 99sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  /\  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  ->  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )
101100eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  /\  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  ->  ( ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <-> 
( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  -  (
( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
1021012rexbidv 2599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  /\  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
10397, 102syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  /\  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
104103exp3acom23 1362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  ->  ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
105104expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )
)  ->  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  ->  ( G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  ->  ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) ) ) )
106105rexlimdvv 2686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )
)  ->  ( E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  ->  ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
10749, 106mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )
)  ->  ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
108107ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
109108rexlimdvv 2686 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
11047, 109mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )
111 modval 10991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR  /\  G  e.  RR+ )  -> 
( C  mod  G
)  =  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )
11216, 36, 111syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  mod  G )  =  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) )
113112eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( C  mod  G ) )
114113eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  (
( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  ( C  mod  G )  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
1151142rexbidv 2599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  mod  G )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
116110, 115mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  mod  G )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )
117 eqeq1 2302 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( C  mod  G )  ->  ( z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  ( C  mod  G )  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
1181172rexbidv 2599 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( C  mod  G )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  mod  G )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
119118, 12elrab2 2938 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  mod  G )  e.  M  <->  ( ( C  mod  G )  e.  NN  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  mod  G )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
120119simplbi2com 1364 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  mod  G )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  ->  ( ( C  mod  G )  e.  NN  ->  ( C  mod  G )  e.  M
) )
121116, 120syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  (
( C  mod  G
)  e.  NN  ->  ( C  mod  G )  e.  M ) )
122 ssrab2 3271 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) }  C_  NN
12312, 122eqsstri 3221 . . . . . . . . 9  |-  M  C_  NN
124 nnuz 10279 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
125123, 124sseqtri 3223 . . . . . . . 8  |-  M  C_  ( ZZ>= `  1 )
126 infmssuzle 10316 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( C  mod  G )  e.  M )  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( C  mod  G ) )
127125, 126mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( ( C  mod  G )  e.  M  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( C  mod  G ) )
12819, 127syl5eqbr 4072 . . . . . 6  |-  ( ( C  mod  G )  e.  M  ->  G  <_  ( C  mod  G
) )
129121, 128syl6 29 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  (
( C  mod  G
)  e.  NN  ->  G  <_  ( C  mod  G ) ) )
13046, 129mtod 168 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  -.  ( C  mod  G )  e.  NN )
131 elnn0 9983 . . . . . 6  |-  ( ( C  mod  G )  e.  NN0  <->  ( ( C  mod  G )  e.  NN  \/  ( C  mod  G )  =  0 ) )
13241, 131sylib 188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  (
( C  mod  G
)  e.  NN  \/  ( C  mod  G )  =  0 ) )
133132ord 366 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( -.  ( C  mod  G
)  e.  NN  ->  ( C  mod  G )  =  0 ) )
134130, 133mpd 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  mod  G )  =  0 )
135 dvdsval3 12551 . . . 4  |-  ( ( G  e.  NN  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( G  ||  C  <->  ( C  mod  G )  =  0 ) )
13640, 39, 135syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( G  ||  C  <->  ( C  mod  G )  =  0 ) )
137134, 136mpbird 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  G  ||  C )
138137ex 423 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  M  ->  G  ||  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   |_cfl 10940    mod cmo 10989    || cdivides 12547
This theorem is referenced by:  bezoutlem4  12736
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548
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