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Theorem bezoutlem4 12720
Description: Lemma for bezout 12721. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bezout.1  |-  M  =  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }
bezout.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
bezout.4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
bezout.2  |-  G  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
bezout.5  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
Assertion
Ref Expression
bezoutlem4  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  e.  M )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, G, y, z    ph, x, y, z   
x, M, y
Allowed substitution hint:    M( z)

Proof of Theorem bezoutlem4
Dummy variables  t 
s  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezout.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 bezout.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
3 gcddvds 12694 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
41, 2, 3syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
54simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  ||  A )
61, 2gcdcld 12697 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN0 )
76nn0zd 10115 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  e.  ZZ )
8 divides 12533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  <->  E. s  e.  ZZ  ( s  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )
97, 1, 8syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  <->  E. s  e.  ZZ  ( s  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )
105, 9mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. s  e.  ZZ  ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A )
114simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  ||  B )
12 divides 12533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  B  <->  E. t  e.  ZZ  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B ) )
137, 2, 12syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  B  <->  E. t  e.  ZZ  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B ) )
1411, 13mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. t  e.  ZZ  ( t  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B )
15 reeanv 2707 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  (
( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  (
t  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B )  <->  ( E. s  e.  ZZ  (
s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  E. t  e.  ZZ  (
t  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B ) )
16 bezout.1 . . . . . . . . . . 11  |-  M  =  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }
17 bezout.2 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
18 bezout.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
1916, 1, 2, 17, 18bezoutlem2 12718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  M )
20 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  u ) )
2120oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (
( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  y
) ) )
2221eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  u  ->  (
z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  <->  z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
23 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  v  ->  ( B  x.  y )  =  ( B  x.  v ) )
2423oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  v  ->  (
( A  x.  u
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )
2524eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  v  ->  (
z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  y ) )  <->  z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) ) )
2622, 25cbvrex2v 2773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) )
27 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  G  ->  (
z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  <->  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) ) )
28272rexbidv 2586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  G  ->  ( E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
2926, 28syl5bb 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  G  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
3029, 16elrab2 2925 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  M  <->  ( G  e.  NN  /\  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
3119, 30sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  e.  NN  /\ 
E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) ) )
3231simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )
33 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  s  e.  ZZ )
34 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  u  e.  ZZ )
3533, 34zmulcld 10123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
s  x.  u )  e.  ZZ )
36 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  t  e.  ZZ )
37 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  v  e.  ZZ )
3836, 37zmulcld 10123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
t  x.  v )  e.  ZZ )
3935, 38zaddcld 10121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( s  x.  u
)  +  ( t  x.  v ) )  e.  ZZ )
407adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  gcd  B )  e.  ZZ )
41 dvdsmul2 12551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( s  x.  u )  +  ( t  x.  v ) )  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  B )  e.  ZZ )  -> 
( A  gcd  B
)  ||  ( (
( s  x.  u
)  +  ( t  x.  v ) )  x.  ( A  gcd  B ) ) )
4239, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  gcd  B )  ||  ( ( ( s  x.  u )  +  ( t  x.  v
) )  x.  ( A  gcd  B ) ) )
4335zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
s  x.  u )  e.  CC )
4438zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
t  x.  v )  e.  CC )
4540zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  gcd  B )  e.  CC )
4643, 44, 45adddird 8860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( s  x.  u )  +  ( t  x.  v ) )  x.  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( ( s  x.  u )  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( t  x.  v
)  x.  ( A  gcd  B ) ) ) )
4733zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  s  e.  CC )
4834zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  u  e.  CC )
4947, 48, 45mul32d 9022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( s  x.  u
)  x.  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  u
) )
5036zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  t  e.  CC )
5137zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  v  e.  CC )
5250, 51, 45mul32d 9022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( t  x.  v
)  x.  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( t  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  v
) )
5349, 52oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( s  x.  u )  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( t  x.  v )  x.  ( A  gcd  B
) ) )  =  ( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  u
)  +  ( ( t  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  v ) ) )
5446, 53eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( s  x.  u )  +  ( t  x.  v ) )  x.  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  u )  +  ( ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  v
) ) )
5542, 54breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  gcd  B )  ||  ( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  u
)  +  ( ( t  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  v ) ) )
56 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  (
( s  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  u )  =  ( A  x.  u
) )
57 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  ->  (
( t  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  v )  =  ( B  x.  v
) )
5856, 57oveqan12d 5877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  (
t  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B )  -> 
( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  u
)  +  ( ( t  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  v ) )  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )
5958breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  (
t  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B )  -> 
( ( A  gcd  B )  ||  ( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  u )  +  ( ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  v
) )  <->  ( A  gcd  B )  ||  (
( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
6055, 59syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( s  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  (
( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
61 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  G  <->  ( A  gcd  B )  ||  (
( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
6261imbi2d 307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  ->  (
( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
)  <->  ( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  (
t  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B )  -> 
( A  gcd  B
)  ||  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) ) ) )
6360, 62syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  ( G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  -> 
( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
) ) )
6463expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  -> 
( ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  -> 
( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
) ) ) )
6564com23 72 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  -> 
( G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  ->  ( ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  (
( ( s  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
) ) ) )
6665rexlimdvva 2674 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  ->  ( ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  (
( ( s  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
) ) ) )
6732, 66mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  (
( ( s  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
) ) )
6867rexlimdvv 2673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
) )
6915, 68syl5bir 209 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E. s  e.  ZZ  ( s  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  /\  E. t  e.  ZZ  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
) )
7010, 14, 69mp2and 660 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  ||  G )
7131simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  NN )
72 dvdsle 12574 . . . . 5  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  G  e.  NN )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  G  -> 
( A  gcd  B
)  <_  G )
)
737, 71, 72syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  G  -> 
( A  gcd  B
)  <_  G )
)
7470, 73mpd 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  <_  G )
75 breq2 4027 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  ( G  ||  A  <->  G  ||  0
) )
7616, 1, 2bezoutlem1 12717 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  0  ->  ( abs `  A
)  e.  M ) )
7716, 1, 2, 17, 18bezoutlem3 12719 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  e.  M  ->  G  ||  ( abs `  A
) ) )
7876, 77syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  0  ->  G  ||  ( abs `  A ) ) )
7971nnzd 10116 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
80 dvdsabsb 12548 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( G  ||  A  <->  G 
||  ( abs `  A
) ) )
8179, 1, 80syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  ||  A  <->  G 
||  ( abs `  A
) ) )
8278, 81sylibrd 225 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  0  ->  G  ||  A ) )
8382imp 418 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  G  ||  A )
84 dvds0 12544 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ZZ  ->  G  ||  0 )
8579, 84syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  ||  0 )
8675, 83, 85pm2.61ne 2521 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  ||  A )
87 breq2 4027 . . . . 5  |-  ( B  =  0  ->  ( G  ||  B  <->  G  ||  0
) )
88 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) }  =  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) }
8988, 2, 1bezoutlem1 12717 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  0  ->  ( abs `  B
)  e.  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) } ) )
90 rexcom 2701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )
911zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
9291adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  CC )
93 zcn 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
9493ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  CC )
9592, 94mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( A  x.  x
)  e.  CC )
962zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
9796adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  CC )
98 zcn 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
9998ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
y  e.  CC )
10097, 99mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( B  x.  y
)  e.  CC )
10195, 100addcomd 9014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x ) ) )
102101eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <-> 
z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x ) ) ) )
1031022rexbidva 2584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) ) )
10490, 103syl5bb 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) ) )
105104rabbidv 2780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }  =  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) } )
10616, 105syl5eq 2327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) } )
107106eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
)  e.  M  <->  ( abs `  B )  e.  {
z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) } ) )
10889, 107sylibrd 225 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  0  ->  ( abs `  B
)  e.  M ) )
10916, 1, 2, 17, 18bezoutlem3 12719 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
)  e.  M  ->  G  ||  ( abs `  B
) ) )
110108, 109syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  0  ->  G  ||  ( abs `  B ) ) )
111 dvdsabsb 12548 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( G  ||  B  <->  G 
||  ( abs `  B
) ) )
11279, 2, 111syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  ||  B  <->  G 
||  ( abs `  B
) ) )
113110, 112sylibrd 225 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  0  ->  G  ||  B ) )
114113imp 418 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  0 )  ->  G  ||  B )
11587, 114, 85pm2.61ne 2521 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  ||  B )
116 dvdslegcd 12695 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )  -> 
( ( G  ||  A  /\  G  ||  B
)  ->  G  <_  ( A  gcd  B ) ) )
11779, 1, 2, 18, 116syl31anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G  ||  A  /\  G  ||  B
)  ->  G  <_  ( A  gcd  B ) ) )
11886, 115, 117mp2and 660 . . 3  |-  ( ph  ->  G  <_  ( A  gcd  B ) )
1196nn0red 10019 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  e.  RR )
12071nnred 9761 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  RR )
121119, 120letri3d 8961 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  gcd  B )  =  G  <->  ( ( A  gcd  B )  <_  G  /\  G  <_  ( A  gcd  B ) ) ) )
12274, 118, 121mpbir2and 888 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =  G )
123122, 19eqeltrd 2357 1  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  e.  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   {crab 2547   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   ZZcz 10024   abscabs 11719    || cdivides 12531    gcd cgcd 12685
This theorem is referenced by:  bezout  12721
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686
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