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Theorem bfp 26548
Description: Banach fixed point theorem, also known as contraction mapping theorem. A contraction on a complete metric space has a unique fixed point. We show existence in the lemmas, and uniqueness here - if  F has two fixed points, then the distance between them is less than  K times itself, a contradiction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
bfp.3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
bfp.4  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
bfp.5  |-  ( ph  ->  K  <  1 )
bfp.6  |-  ( ph  ->  F : X --> X )
bfp.7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
Assertion
Ref Expression
bfp  |-  ( ph  ->  E! z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
Distinct variable groups:    x, y,
z, D    ph, x, y   
x, F, y, z   
x, K, y    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    K( z)

Proof of Theorem bfp
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
2 n0 3464 . . . 4  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  X )
31, 2sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  E. w  w  e.  X )
4 bfp.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
54adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
61adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  X  =/=  (/) )
7 bfp.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
87adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  K  e.  RR+ )
9 bfp.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  <  1 )
109adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  K  <  1 )
11 bfp.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : X --> X )
1211adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  F : X --> X )
13 bfp.7 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
1413adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_ 
( K  x.  (
x D y ) ) )
15 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
16 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  w  e.  X )
17 eqid 2283 . . . . . 6  |-  seq  1
( ( F  o.  1st ) ,  ( NN 
X.  { w }
) )  =  seq  1 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN  X.  {
w } ) )
185, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17bfplem2 26547 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
1918ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z ) )
2019exlimdv 1664 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. w  w  e.  X  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z ) )
213, 20mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
22 oveq12 5867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  x  /\  ( F `  y )  =  y )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  =  ( x D y ) )
2322adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( F `
 x ) D ( F `  y
) )  =  ( x D y ) )
2413adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( F `
 x ) D ( F `  y
) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
2523, 24eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( x D y )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
26 cmetmet 18712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
274, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2827ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
29 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  x  e.  X
)
30 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  y  e.  X
)
31 metcl 17897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x D y )  e.  RR )
3228, 29, 30, 31syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( x D y )  e.  RR )
337rpred 10390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
3433ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  K  e.  RR )
3534, 32remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( K  x.  ( x D y ) )  e.  RR )
3632, 35suble0d 9363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( ( x D y )  -  ( K  x.  ( x D y ) ) )  <_ 
0  <->  ( x D y )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) ) )
3725, 36mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( x D y )  -  ( K  x.  (
x D y ) ) )  <_  0
)
38 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
3938a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  1  e.  CC )
4034recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  K  e.  CC )
4132recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( x D y )  e.  CC )
4239, 40, 41subdird 9236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  ( x D y ) )  =  ( ( 1  x.  (
x D y ) )  -  ( K  x.  ( x D y ) ) ) )
4341mulid2d 8853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( 1  x.  ( x D y ) )  =  ( x D y ) )
4443oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( 1  x.  ( x D y ) )  -  ( K  x.  (
x D y ) ) )  =  ( ( x D y )  -  ( K  x.  ( x D y ) ) ) )
4542, 44eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  ( x D y ) )  =  ( ( x D y )  -  ( K  x.  ( x D y ) ) ) )
46 1re 8837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
47 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 1  -  K
)  e.  RR )
4846, 33, 47sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  -  K
)  e.  RR )
4948ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( 1  -  K )  e.  RR )
5049recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( 1  -  K )  e.  CC )
5150mul01d 9011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  0 )  =  0 )
5237, 45, 513brtr4d 4053 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  ( x D y ) )  <_  (
( 1  -  K
)  x.  0 ) )
53 0re 8838 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
5453a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  0  e.  RR )
55 posdif 9267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( K  <  1  <->  0  <  ( 1  -  K ) ) )
5633, 46, 55sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  <  1  <->  0  <  ( 1  -  K ) ) )
579, 56mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  K ) )
5857ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  0  <  (
1  -  K ) )
59 lemul2 9609 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x D y )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  (
( 1  -  K
)  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  K ) ) )  ->  ( ( x D y )  <_ 
0  <->  ( ( 1  -  K )  x.  ( x D y ) )  <_  (
( 1  -  K
)  x.  0 ) ) )
6032, 54, 49, 58, 59syl112anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( x D y )  <_ 
0  <->  ( ( 1  -  K )  x.  ( x D y ) )  <_  (
( 1  -  K
)  x.  0 ) ) )
6152, 60mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( x D y )  <_  0
)
62 metge0 17910 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( x D y ) )
6328, 29, 30, 62syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  0  <_  (
x D y ) )
64 letri3 8907 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x D y )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( x D y )  =  0  <-> 
( ( x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
6532, 53, 64sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( x D y )  =  0  <->  ( ( x D y )  <_ 
0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
6661, 63, 65mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( x D y )  =  0 )
67 meteq0 17904 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y ) )
6828, 29, 30, 67syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
) )
6966, 68mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  x  =  y )
7069ex 423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  =  x  /\  ( F `
 y )  =  y )  ->  x  =  y ) )
7170ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( F `
 x )  =  x  /\  ( F `
 y )  =  y )  ->  x  =  y ) )
72 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
73 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  x  =  z )
7472, 73eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  =  x  <->  ( F `  z )  =  z ) )
7574anbi1d 685 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y )  <->  ( ( F `
 z )  =  z  /\  ( F `
 y )  =  y ) ) )
76 equequ1 1648 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  y  <->  z  =  y ) )
7775, 76imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( ( F `
 x )  =  x  /\  ( F `
 y )  =  y )  ->  x  =  y )  <->  ( (
( F `  z
)  =  z  /\  ( F `  y )  =  y )  -> 
z  =  y ) ) )
7877ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  X  ( ( ( F `
 x )  =  x  /\  ( F `
 y )  =  y )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  X  ( (
( F `  z
)  =  z  /\  ( F `  y )  =  y )  -> 
z  =  y ) ) )
7978cbvralv 2764 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y )  ->  x  =  y )  <->  A. z  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( F `  z
)  =  z  /\  ( F `  y )  =  y )  -> 
z  =  y ) )
8071, 79sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( F `
 z )  =  z  /\  ( F `
 y )  =  y )  ->  z  =  y ) )
81 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
82 id 19 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  z  =  y )
8381, 82eqeq12d 2297 . . 3  |-  ( z  =  y  ->  (
( F `  z
)  =  z  <->  ( F `  y )  =  y ) )
8483reu4 2959 . 2  |-  ( E! z  e.  X  ( F `  z )  =  z  <->  ( E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z  /\  A. z  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( F `  z
)  =  z  /\  ( F `  y )  =  y )  -> 
z  =  y ) ) )
8521, 80, 84sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  E! z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023    X. cxp 4687    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   RR+crp 10354    seq cseq 11046   Metcme 16370   MetOpencmopn 16372   CMetcms 18680
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-lm 16959  df-haus 17043  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683
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