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Theorem bfp 26651
Description: Banach fixed point theorem, also known as contraction mapping theorem. A contraction on a complete metric space has a unique fixed point. We show existence in the lemmas, and uniqueness here - if  F has two fixed points, then the distance between them is less than  K times itself, a contradiction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
bfp.3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
bfp.4  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
bfp.5  |-  ( ph  ->  K  <  1 )
bfp.6  |-  ( ph  ->  F : X --> X )
bfp.7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
Assertion
Ref Expression
bfp  |-  ( ph  ->  E! z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
Distinct variable groups:    x, y,
z, D    ph, x, y   
x, F, y, z   
x, K, y    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    K( z)

Proof of Theorem bfp
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
2 n0 3477 . . . 4  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  X )
31, 2sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  E. w  w  e.  X )
4 bfp.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
54adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
61adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  X  =/=  (/) )
7 bfp.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
87adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  K  e.  RR+ )
9 bfp.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  <  1 )
109adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  K  <  1 )
11 bfp.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : X --> X )
1211adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  F : X --> X )
13 bfp.7 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
1413adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_ 
( K  x.  (
x D y ) ) )
15 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
16 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  w  e.  X )
17 eqid 2296 . . . . . 6  |-  seq  1
( ( F  o.  1st ) ,  ( NN 
X.  { w }
) )  =  seq  1 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN  X.  {
w } ) )
185, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17bfplem2 26650 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
1918ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z ) )
2019exlimdv 1626 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. w  w  e.  X  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z ) )
213, 20mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
22 oveq12 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  x  /\  ( F `  y )  =  y )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  =  ( x D y ) )
2322adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( F `
 x ) D ( F `  y
) )  =  ( x D y ) )
2413adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( F `
 x ) D ( F `  y
) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
2523, 24eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( x D y )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
26 cmetmet 18728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
274, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2827ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
29 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  x  e.  X
)
30 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  y  e.  X
)
31 metcl 17913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x D y )  e.  RR )
3228, 29, 30, 31syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( x D y )  e.  RR )
337rpred 10406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
3433ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  K  e.  RR )
3534, 32remulcld 8879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( K  x.  ( x D y ) )  e.  RR )
3632, 35suble0d 9379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( ( x D y )  -  ( K  x.  ( x D y ) ) )  <_ 
0  <->  ( x D y )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) ) )
3725, 36mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( x D y )  -  ( K  x.  (
x D y ) ) )  <_  0
)
38 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
3938a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  1  e.  CC )
4034recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  K  e.  CC )
4132recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( x D y )  e.  CC )
4239, 40, 41subdird 9252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  ( x D y ) )  =  ( ( 1  x.  (
x D y ) )  -  ( K  x.  ( x D y ) ) ) )
4341mulid2d 8869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( 1  x.  ( x D y ) )  =  ( x D y ) )
4443oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( 1  x.  ( x D y ) )  -  ( K  x.  (
x D y ) ) )  =  ( ( x D y )  -  ( K  x.  ( x D y ) ) ) )
4542, 44eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  ( x D y ) )  =  ( ( x D y )  -  ( K  x.  ( x D y ) ) ) )
46 1re 8853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
47 resubcl 9127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 1  -  K
)  e.  RR )
4846, 33, 47sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  -  K
)  e.  RR )
4948ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( 1  -  K )  e.  RR )
5049recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( 1  -  K )  e.  CC )
5150mul01d 9027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  0 )  =  0 )
5237, 45, 513brtr4d 4069 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  ( x D y ) )  <_  (
( 1  -  K
)  x.  0 ) )
53 0re 8854 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
5453a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  0  e.  RR )
55 posdif 9283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( K  <  1  <->  0  <  ( 1  -  K ) ) )
5633, 46, 55sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  <  1  <->  0  <  ( 1  -  K ) ) )
579, 56mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  K ) )
5857ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  0  <  (
1  -  K ) )
59 lemul2 9625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x D y )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  (
( 1  -  K
)  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  K ) ) )  ->  ( ( x D y )  <_ 
0  <->  ( ( 1  -  K )  x.  ( x D y ) )  <_  (
( 1  -  K
)  x.  0 ) ) )
6032, 54, 49, 58, 59syl112anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( x D y )  <_ 
0  <->  ( ( 1  -  K )  x.  ( x D y ) )  <_  (
( 1  -  K
)  x.  0 ) ) )
6152, 60mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( x D y )  <_  0
)
62 metge0 17926 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( x D y ) )
6328, 29, 30, 62syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  0  <_  (
x D y ) )
64 letri3 8923 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x D y )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( x D y )  =  0  <-> 
( ( x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
6532, 53, 64sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( x D y )  =  0  <->  ( ( x D y )  <_ 
0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
6661, 63, 65mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( x D y )  =  0 )
67 meteq0 17920 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y ) )
6828, 29, 30, 67syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
) )
6966, 68mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  x  =  y )
7069ex 423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  =  x  /\  ( F `
 y )  =  y )  ->  x  =  y ) )
7170ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( F `
 x )  =  x  /\  ( F `
 y )  =  y )  ->  x  =  y ) )
72 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
73 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  x  =  z )
7472, 73eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  =  x  <->  ( F `  z )  =  z ) )
7574anbi1d 685 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y )  <->  ( ( F `
 z )  =  z  /\  ( F `
 y )  =  y ) ) )
76 equequ1 1667 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  y  <->  z  =  y ) )
7775, 76imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( ( F `
 x )  =  x  /\  ( F `
 y )  =  y )  ->  x  =  y )  <->  ( (
( F `  z
)  =  z  /\  ( F `  y )  =  y )  -> 
z  =  y ) ) )
7877ralbidv 2576 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  X  ( ( ( F `
 x )  =  x  /\  ( F `
 y )  =  y )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  X  ( (
( F `  z
)  =  z  /\  ( F `  y )  =  y )  -> 
z  =  y ) ) )
7978cbvralv 2777 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y )  ->  x  =  y )  <->  A. z  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( F `  z
)  =  z  /\  ( F `  y )  =  y )  -> 
z  =  y ) )
8071, 79sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( F `
 z )  =  z  /\  ( F `
 y )  =  y )  ->  z  =  y ) )
81 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
82 id 19 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  z  =  y )
8381, 82eqeq12d 2310 . . 3  |-  ( z  =  y  ->  (
( F `  z
)  =  z  <->  ( F `  y )  =  y ) )
8483reu4 2972 . 2  |-  ( E! z  e.  X  ( F `  z )  =  z  <->  ( E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z  /\  A. z  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( F `  z
)  =  z  /\  ( F `  y )  =  y )  -> 
z  =  y ) ) )
8521, 80, 84sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  E! z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   E!wreu 2558   (/)c0 3468   {csn 3653   class class class wbr 4039    X. cxp 4703    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   RR+crp 10370    seq cseq 11062   Metcme 16386   MetOpencmopn 16388   CMetcms 18696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-lm 16975  df-haus 17059  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-cfil 18697  df-cau 18698  df-cmet 18699
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