Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bfp Structured version   Unicode version

Theorem bfp 26534
 Description: Banach fixed point theorem, also known as contraction mapping theorem. A contraction on a complete metric space has a unique fixed point. We show existence in the lemmas, and uniqueness here - if has two fixed points, then the distance between them is less than times itself, a contradiction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2
bfp.3
bfp.4
bfp.5
bfp.6
bfp.7
Assertion
Ref Expression
bfp
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem bfp
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.3 . . . 4
2 n0 3638 . . . 4
31, 2sylib 190 . . 3
4 bfp.2 . . . . 5
54adantr 453 . . . 4
61adantr 453 . . . 4
7 bfp.4 . . . . 5
87adantr 453 . . . 4
9 bfp.5 . . . . 5
109adantr 453 . . . 4
11 bfp.6 . . . . 5
1211adantr 453 . . . 4
13 bfp.7 . . . . 5
1413adantlr 697 . . . 4
15 eqid 2437 . . . 4
16 simpr 449 . . . 4
17 eqid 2437 . . . 4
185, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17bfplem2 26533 . . 3
193, 18exlimddv 1649 . 2
20 oveq12 6091 . . . . . . . . . . . 12
2120adantl 454 . . . . . . . . . . 11
2213adantr 453 . . . . . . . . . . 11
2321, 22eqbrtrrd 4235 . . . . . . . . . 10
24 cmetmet 19240 . . . . . . . . . . . . . 14
254, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
2625ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12
27 simplrl 738 . . . . . . . . . . . 12
28 simplrr 739 . . . . . . . . . . . 12
29 metcl 18363 . . . . . . . . . . . 12
3026, 27, 28, 29syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11
317rpred 10649 . . . . . . . . . . . . 13
3231ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12
3332, 30remulcld 9117 . . . . . . . . . . 11
3430, 33suble0d 9618 . . . . . . . . . 10
3523, 34mpbird 225 . . . . . . . . 9
36 ax-1cn 9049 . . . . . . . . . . . 12
3736a1i 11 . . . . . . . . . . 11
3832recnd 9115 . . . . . . . . . . 11
3930recnd 9115 . . . . . . . . . . 11
4037, 38, 39subdird 9491 . . . . . . . . . 10
4139mulid2d 9107 . . . . . . . . . . 11
4241oveq1d 6097 . . . . . . . . . 10
4340, 42eqtrd 2469 . . . . . . . . 9
44 1re 9091 . . . . . . . . . . . . 13
45 resubcl 9366 . . . . . . . . . . . . 13
4644, 31, 45sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12
4746ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11
4847recnd 9115 . . . . . . . . . 10
4948mul01d 9266 . . . . . . . . 9
5035, 43, 493brtr4d 4243 . . . . . . . 8
51 0re 9092 . . . . . . . . . 10
5251a1i 11 . . . . . . . . 9
53 posdif 9522 . . . . . . . . . . . 12
5431, 44, 53sylancl 645 . . . . . . . . . . 11
559, 54mpbid 203 . . . . . . . . . 10
5655ad2antrr 708 . . . . . . . . 9
57 lemul2 9864 . . . . . . . . 9
5830, 52, 47, 56, 57syl112anc 1189 . . . . . . . 8
5950, 58mpbird 225 . . . . . . 7
60 metge0 18376 . . . . . . . 8
6126, 27, 28, 60syl3anc 1185 . . . . . . 7
62 letri3 9161 . . . . . . . 8
6330, 51, 62sylancl 645 . . . . . . 7
6459, 61, 63mpbir2and 890 . . . . . 6
65 meteq0 18370 . . . . . . 7
6626, 27, 28, 65syl3anc 1185 . . . . . 6
6764, 66mpbid 203 . . . . 5
6867ex 425 . . . 4
6968ralrimivva 2799 . . 3
70 fveq2 5729 . . . . . . . 8
71 id 21 . . . . . . . 8
7270, 71eqeq12d 2451 . . . . . . 7
7372anbi1d 687 . . . . . 6
74 equequ1 1697 . . . . . 6
7573, 74imbi12d 313 . . . . 5
7675ralbidv 2726 . . . 4
7776cbvralv 2933 . . 3
7869, 77sylib 190 . 2
79 fveq2 5729 . . . 4
80 id 21 . . . 4
8179, 80eqeq12d 2451 . . 3
8281reu4 3129 . 2
8319, 78, 82sylanbrc 647 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726   wne 2600  wral 2706  wrex 2707  wreu 2708  c0 3629  csn 3815   class class class wbr 4213   cxp 4877   ccom 4883  wf 5451  cfv 5455  (class class class)co 6082  c1st 6348  cc 8989  cr 8990  cc0 8991  c1 8992   cmul 8996   clt 9121   cle 9122   cmin 9292  cn 10001  crp 10613   cseq 11324  cme 16688  cmopn 16692  cms 19208 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-rest 13651  df-topgen 13668  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-ntr 17085  df-nei 17163  df-lm 17294  df-haus 17380  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-cfil 19209  df-cau 19210  df-cmet 19211
 Copyright terms: Public domain W3C validator