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Theorem bfplem2 26650
Description: Lemma for bfp 26651. Using the point found in bfplem1 26649, we show that this convergent point is a fixed point of  F. Since for any positive  x, the sequence  G is in  B ( x  /  2 ,  P ) for all  k  e.  (
ZZ>= `  j ) (where  P  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)), we have  D ( G ( j  +  1 ) ,  F ( P ) )  <_  D ( G ( j ) ,  P
)  <  x  / 
2 and  D ( G ( j  +  1 ) ,  P )  <  x  /  2, so  F ( P ) is in every neighborhood of  P and  P is a fixed point of  F. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
bfp.3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
bfp.4  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
bfp.5  |-  ( ph  ->  K  <  1 )
bfp.6  |-  ( ph  ->  F : X --> X )
bfp.7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
bfp.8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
bfp.9  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
bfp.10  |-  G  =  seq  1 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { A } ) )
Assertion
Ref Expression
bfplem2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
Distinct variable groups:    x, y,
z, D    x, G, y, z    x, J, y, z    ph, x, y    x, F, y, z    x, K, y    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( x, y, z)    K( z)

Proof of Theorem bfplem2
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
2 cmetmet 18728 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 metxmet 17915 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
5 bfp.8 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
65mopntopon 18001 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
73, 4, 63syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
8 bfp.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
9 bfp.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
10 bfp.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  <  1 )
11 bfp.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> X )
12 bfp.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
13 bfp.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
14 bfp.10 . . . 4  |-  G  =  seq  1 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { A } ) )
151, 8, 9, 10, 11, 12, 5, 13, 14bfplem1 26649 . . 3  |-  ( ph  ->  G ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )
16 lmcl 17041 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  G
( ~~> t `  J
) ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  ->  (
( ~~> t `  J
) `  G )  e.  X )
177, 15, 16syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  e.  X )
183adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
1918, 4syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
20 nnuz 10279 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
21 1z 10069 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
2221a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  ZZ )
23 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
2415adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  G ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  G
) )
25 rphalfcl 10394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
2625adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
275, 19, 20, 22, 23, 24, 26lmmcvg 18703 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 ) ) )
28 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( G `
 k ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) )
2928ralimi 2631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) )
30 nnz 10061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
3130adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ZZ )
32 uzid 10258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
33 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  ( G `  k )  =  ( G `  j ) )
3433oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  j  ->  (
( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  =  ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
3534breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 )  <->  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
3635rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 )  ->  ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
3731, 32, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
3831, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
39 peano2uz 10288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
40 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
4140oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  =  ( ( G `
 ( j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
4241breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 )  <->  ( ( G `  ( j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
4342rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 )  ->  ( ( G `
 ( j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
4438, 39, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  (
( G `  (
j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
4521a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4620, 14, 45, 13, 11algrp1 12760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( j  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `  j )
) )
4746adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `  j ) ) )
4847oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( G `  (
j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  =  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
4948breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( G `  ( j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 )  <->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
5044, 49sylibd 205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
5137, 50jcad 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  (
( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 )  /\  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
523ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
5320, 14, 45, 13, 11algrf 12759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : NN --> X )
5453adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  G : NN
--> X )
55 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : NN --> X  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `  j
)  e.  X )
5654, 55sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `  j )  e.  X )
5717ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ~~> t `  J
) `  G )  e.  X )
58 metcl 17913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( G `  j )  e.  X  /\  (
( ~~> t `  J
) `  G )  e.  X )  ->  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
5952, 56, 57, 58syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
6011ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  F : X --> X )
61 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : X --> X  /\  ( G `  j )  e.  X )  -> 
( F `  ( G `  j )
)  e.  X )
6260, 56, 61syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  ( G `  j ) )  e.  X )
63 metcl 17913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( G `  j ) )  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `
 G )  e.  X )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
6452, 62, 57, 63syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
65 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
6665ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
67 lt2halves 9962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR  /\  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 )  /\  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  +  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  < 
x ) )
6859, 64, 66, 67syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 )  /\  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  +  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  < 
x ) )
69 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : X --> X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  e.  X )  ->  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  e.  X
)
7011, 17, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  X )
71 metcl 17913 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `
 G )  e.  X )  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
723, 70, 17, 71syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR )
7372ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
7460, 57, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  e.  X )
75 metcl 17913 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( G `  j ) )  e.  X  /\  ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  e.  X
)  ->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) )  e.  RR )
7652, 62, 74, 75syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  e.  RR )
7776, 64readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  +  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  e.  RR )
7859, 64readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  +  ( ( F `  ( G `
 j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  e.  RR )
79 mettri2 17922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  (
( F `  ( G `  j )
)  e.  X  /\  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  X  /\  (
( ~~> t `  J
) `  G )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  ( (
( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  +  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) ) )
8052, 62, 74, 57, 79syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <_  ( ( ( F `  ( G `
 j ) ) D ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  +  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) ) )
819rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
8281ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  K  e.  RR )
8382, 59remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  e.  RR )
8456, 57jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( G `  j
)  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  e.  X ) )
8512ralrimivva 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
8685ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_ 
( K  x.  (
x D y ) ) )
87 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( G `  j )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( G `  j ) ) )
8887oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( G `  j )  ->  (
( F `  x
) D ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( F `  y
) ) )
89 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( G `  j )  ->  (
x D y )  =  ( ( G `
 j ) D y ) )
9089oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( G `  j )  ->  ( K  x.  ( x D y ) )  =  ( K  x.  ( ( G `  j ) D y ) ) )
9188, 90breq12d 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( G `  j )  ->  (
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) )  <->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `  y
) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  j ) D y ) ) ) )
92 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )
9392oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `  y
) )  =  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) ) )
94 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( ( G `  j ) D y )  =  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
9594oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( K  x.  ( ( G `  j ) D y ) )  =  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) ) )
9693, 95breq12d 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( (
( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 y ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  j ) D y ) )  <->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) ) ) )
9791, 96rspc2v 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G `  j
)  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_ 
( K  x.  (
x D y ) )  ->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) ) ) )
9884, 86, 97sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  <_ 
( K  x.  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) ) )
99 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
10099a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
101 metge0 17926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( G `  j )  e.  X  /\  (
( ~~> t `  J
) `  G )  e.  X )  ->  0  <_  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
10252, 56, 57, 101syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
103 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( K  <  1  ->  K  <_  1 ) )
10481, 99, 103sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( K  <  1  ->  K  <_  1 ) )
10510, 104mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  K  <_  1 )
106105ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  K  <_  1 )
10782, 100, 59, 102, 106lemul1ad 9712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  <_ 
( 1  x.  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) ) )
10859recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  CC )
109108mulid2d 8869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
1  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  =  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
110107, 109breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  <_ 
( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
11176, 83, 59, 98, 110letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  <_ 
( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
11276, 59, 64, 111leadd1dd 9402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  +  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  <_  ( (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  +  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) ) )
11373, 77, 78, 80, 112letrd 8989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <_  ( ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  +  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) ) )
114 lelttr 8928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR  /\  ( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  +  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <_  (
( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  +  ( ( F `  ( G `
 j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  /\  ( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  +  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  <  x )  ->  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x )
)
11573, 78, 66, 114syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  ( (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  +  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  /\  ( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  +  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  <  x )  ->  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x )
)
116113, 115mpand 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  +  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  <  x  -> 
( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x )
)
11751, 68, 1163syld 51 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  x ) )
11829, 117syl5 28 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
)  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x )
)
119118rexlimdva 2680 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x )
)
12027, 119mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  x
)
121 ltle 8926 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x  ->  ( ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <_  x ) )
12272, 65, 121syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  x  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <_  x ) )
123120, 122mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <_  x
)
12465adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
125124recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
126125addid2d 9029 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0  +  x )  =  x )
127123, 126breqtrrd 4065 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <_  (
0  +  x ) )
128127ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  ( 0  +  x ) )
129 0re 8854 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
130 alrple 10549 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  0  <->  A. x  e.  RR+  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  ( 0  +  x ) ) )
13172, 129, 130sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  0  <->  A. x  e.  RR+  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  ( 0  +  x ) ) )
132128, 131mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  0 )
133 metge0 17926 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `
 G )  e.  X )  ->  0  <_  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
1343, 70, 17, 133syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
135 letri3 8923 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  0  <->  (
( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  0  /\  0  <_  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) ) ) )
13672, 129, 135sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  0  <->  (
( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  0  /\  0  <_  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) ) ) )
137132, 134, 136mpbir2and 888 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  0 )
138 meteq0 17920 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `
 G )  e.  X )  ->  (
( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  0  <->  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
1393, 70, 17, 138syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  0  <->  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
140137, 139mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )
141 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( z  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )
142 id 19 . . . 4  |-  ( z  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  z  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )
143141, 142eqeq12d 2310 . . 3  |-  ( z  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( ( F `  z )  =  z  <->  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  =  ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
144143rspcev 2897 . 2  |-  ( ( ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  e.  X  /\  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
14517, 140, 144syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   (/)c0 3468   {csn 3653   class class class wbr 4039    X. cxp 4703    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370    seq cseq 11062   * Metcxmt 16385   Metcme 16386   MetOpencmopn 16388  TopOnctopon 16648   ~~> tclm 16972   CMetcms 18696
This theorem is referenced by:  bfp  26651
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-lm 16975  df-haus 17059  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-cfil 18697  df-cau 18698  df-cmet 18699
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