Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bfplem2 Structured version   Unicode version

Theorem bfplem2 26546
Description: Lemma for bfp 26547. Using the point found in bfplem1 26545, we show that this convergent point is a fixed point of  F. Since for any positive  x, the sequence  G is in  B ( x  /  2 ,  P ) for all  k  e.  (
ZZ>= `  j ) (where  P  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)), we have  D ( G ( j  +  1 ) ,  F ( P ) )  <_  D ( G ( j ) ,  P
)  <  x  / 
2 and  D ( G ( j  +  1 ) ,  P )  <  x  /  2, so  F ( P ) is in every neighborhood of  P and  P is a fixed point of  F. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
bfp.3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
bfp.4  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
bfp.5  |-  ( ph  ->  K  <  1 )
bfp.6  |-  ( ph  ->  F : X --> X )
bfp.7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
bfp.8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
bfp.9  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
bfp.10  |-  G  =  seq  1 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { A } ) )
Assertion
Ref Expression
bfplem2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
Distinct variable groups:    x, y,
z, D    x, G, y, z    x, J, y, z    ph, x, y    x, F, y, z    x, K, y    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( x, y, z)    K( z)

Proof of Theorem bfplem2
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
2 cmetmet 19244 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 metxmet 18369 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
5 bfp.8 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
65mopntopon 18474 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
73, 4, 63syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
8 bfp.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
9 bfp.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
10 bfp.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  <  1 )
11 bfp.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> X )
12 bfp.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
13 bfp.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
14 bfp.10 . . . 4  |-  G  =  seq  1 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { A } ) )
151, 8, 9, 10, 11, 12, 5, 13, 14bfplem1 26545 . . 3  |-  ( ph  ->  G ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )
16 lmcl 17366 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  G
( ~~> t `  J
) ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  ->  (
( ~~> t `  J
) `  G )  e.  X )
177, 15, 16syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  e.  X )
183adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
1918, 4syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
20 nnuz 10526 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
21 1z 10316 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  ZZ )
23 eqidd 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
2415adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  G ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  G
) )
25 rphalfcl 10641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
2625adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
275, 19, 20, 22, 23, 24, 26lmmcvg 19219 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 ) ) )
28 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( G `
 k ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) )
2928ralimi 2783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) )
30 nnz 10308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
3130adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ZZ )
32 uzid 10505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
33 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  ( G `  k )  =  ( G `  j ) )
3433oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  j  ->  (
( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  =  ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
3534breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 )  <->  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
3635rspcv 3050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 )  ->  ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
3731, 32, 363syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
3831, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
39 peano2uz 10535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
40 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
4140oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  =  ( ( G `
 ( j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
4241breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 )  <->  ( ( G `  ( j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
4342rspcv 3050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 )  ->  ( ( G `
 ( j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
4438, 39, 433syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  (
( G `  (
j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
4521a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4620, 14, 45, 13, 11algrp1 13070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( j  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `  j )
) )
4746adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `  j ) ) )
4847oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( G `  (
j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  =  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
4948breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( G `  ( j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 )  <->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
5044, 49sylibd 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
5137, 50jcad 521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  (
( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 )  /\  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
523ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
5320, 14, 45, 13, 11algrf 13069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : NN --> X )
5453adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  G : NN
--> X )
5554ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `  j )  e.  X )
5617ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ~~> t `  J
) `  G )  e.  X )
57 metcl 18367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( G `  j )  e.  X  /\  (
( ~~> t `  J
) `  G )  e.  X )  ->  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
5852, 55, 56, 57syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
5911ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  F : X --> X )
6059, 55ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  ( G `  j ) )  e.  X )
61 metcl 18367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( G `  j ) )  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `
 G )  e.  X )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
6252, 60, 56, 61syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
63 rpre 10623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
6463ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
65 lt2halves 10207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR  /\  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 )  /\  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  +  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  < 
x ) )
6658, 62, 64, 65syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 )  /\  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  +  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  < 
x ) )
6711, 17ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  X )
68 metcl 18367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `
 G )  e.  X )  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
693, 67, 17, 68syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR )
7069ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
7159, 56ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  e.  X )
72 metcl 18367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( G `  j ) )  e.  X  /\  ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  e.  X
)  ->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) )  e.  RR )
7352, 60, 71, 72syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  e.  RR )
7473, 62readdcld 9120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  +  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  e.  RR )
7558, 62readdcld 9120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  +  ( ( F `  ( G `
 j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  e.  RR )
76 mettri2 18376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  (
( F `  ( G `  j )
)  e.  X  /\  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  X  /\  (
( ~~> t `  J
) `  G )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  ( (
( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  +  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) ) )
7752, 60, 71, 56, 76syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <_  ( ( ( F `  ( G `
 j ) ) D ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  +  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) ) )
789rpred 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
7978ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  K  e.  RR )
8079, 58remulcld 9121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  e.  RR )
8155, 56jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( G `  j
)  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  e.  X ) )
8212ralrimivva 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
8382ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_ 
( K  x.  (
x D y ) ) )
84 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( G `  j )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( G `  j ) ) )
8584oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( G `  j )  ->  (
( F `  x
) D ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( F `  y
) ) )
86 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( G `  j )  ->  (
x D y )  =  ( ( G `
 j ) D y ) )
8786oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( G `  j )  ->  ( K  x.  ( x D y ) )  =  ( K  x.  ( ( G `  j ) D y ) ) )
8885, 87breq12d 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( G `  j )  ->  (
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) )  <->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `  y
) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  j ) D y ) ) ) )
89 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )
9089oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `  y
) )  =  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) ) )
91 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( ( G `  j ) D y )  =  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
9291oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( K  x.  ( ( G `  j ) D y ) )  =  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) ) )
9390, 92breq12d 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( (
( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 y ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  j ) D y ) )  <->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) ) ) )
9488, 93rspc2v 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G `  j
)  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_ 
( K  x.  (
x D y ) )  ->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) ) ) )
9581, 83, 94sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  <_ 
( K  x.  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) ) )
96 1re 9095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
98 metge0 18380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( G `  j )  e.  X  /\  (
( ~~> t `  J
) `  G )  e.  X )  ->  0  <_  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
9952, 55, 56, 98syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
100 ltle 9168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( K  <  1  ->  K  <_  1 ) )
10178, 96, 100sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( K  <  1  ->  K  <_  1 ) )
10210, 101mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  K  <_  1 )
103102ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  K  <_  1 )
10479, 97, 58, 99, 103lemul1ad 9955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  <_ 
( 1  x.  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) ) )
10558recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  CC )
106105mulid2d 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
1  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  =  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
107104, 106breqtrd 4239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  <_ 
( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
10873, 80, 58, 95, 107letrd 9232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  <_ 
( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
10973, 58, 62, 108leadd1dd 9645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  +  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  <_  ( (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  +  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) ) )
11070, 74, 75, 77, 109letrd 9232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <_  ( ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  +  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) ) )
111 lelttr 9170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR  /\  ( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  +  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <_  (
( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  +  ( ( F `  ( G `
 j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  /\  ( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  +  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  <  x )  ->  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x )
)
11270, 75, 64, 111syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  ( (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  +  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  /\  ( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  +  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  <  x )  ->  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x )
)
113110, 112mpand 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  +  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  <  x  -> 
( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x )
)
11451, 66, 1133syld 54 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  x ) )
11529, 114syl5 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
)  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x )
)
116115rexlimdva 2832 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x )
)
11727, 116mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  x
)
118 ltle 9168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x  ->  ( ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <_  x ) )
11969, 63, 118syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  x  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <_  x ) )
120117, 119mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <_  x
)
12163adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
122121recnd 9119 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
123122addid2d 9272 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0  +  x )  =  x )
124120, 123breqtrrd 4241 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <_  (
0  +  x ) )
125124ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  ( 0  +  x ) )
126 0re 9096 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
127 alrple 10797 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  0  <->  A. x  e.  RR+  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  ( 0  +  x ) ) )
12869, 126, 127sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  0  <->  A. x  e.  RR+  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  ( 0  +  x ) ) )
129125, 128mpbird 225 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  0 )
130 metge0 18380 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `
 G )  e.  X )  ->  0  <_  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
1313, 67, 17, 130syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
132 letri3 9165 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  0  <->  (
( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  0  /\  0  <_  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) ) ) )
13369, 126, 132sylancl 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  0  <->  (
( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  0  /\  0  <_  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) ) ) )
134129, 131, 133mpbir2and 890 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  0 )
135 meteq0 18374 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `
 G )  e.  X )  ->  (
( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  0  <->  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
1363, 67, 17, 135syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  0  <->  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
137134, 136mpbid 203 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )
138 fveq2 5731 . . . 4  |-  ( z  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )
139 id 21 . . . 4  |-  ( z  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  z  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )
140138, 139eqeq12d 2452 . . 3  |-  ( z  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( ( F `  z )  =  z  <->  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  =  ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
141140rspcev 3054 . 2  |-  ( ( ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  e.  X  /\  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
14217, 137, 141syl2anc 644 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   (/)c0 3630   {csn 3816   class class class wbr 4215    X. cxp 4879    o. ccom 4885   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   1stc1st 6350   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    < clt 9125    <_ cle 9126    / cdiv 9682   NNcn 10005   2c2 10054   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   RR+crp 10617    seq cseq 11328   * Metcxmt 16691   Metcme 16692   MetOpencmopn 16696  TopOnctopon 16964   ~~> tclm 17295   CMetcms 19212
This theorem is referenced by:  bfp  26547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-ntr 17089  df-nei 17167  df-lm 17298  df-haus 17384  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-cfil 19213  df-cau 19214  df-cmet 19215
  Copyright terms: Public domain W3C validator