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Theorem bfplem2 26225
Description: Lemma for bfp 26226. Using the point found in bfplem1 26224, we show that this convergent point is a fixed point of  F. Since for any positive  x, the sequence  G is in  B ( x  /  2 ,  P ) for all  k  e.  (
ZZ>= `  j ) (where  P  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)), we have  D ( G ( j  +  1 ) ,  F ( P ) )  <_  D ( G ( j ) ,  P
)  <  x  / 
2 and  D ( G ( j  +  1 ) ,  P )  <  x  /  2, so  F ( P ) is in every neighborhood of  P and  P is a fixed point of  F. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
bfp.3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
bfp.4  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
bfp.5  |-  ( ph  ->  K  <  1 )
bfp.6  |-  ( ph  ->  F : X --> X )
bfp.7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
bfp.8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
bfp.9  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
bfp.10  |-  G  =  seq  1 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { A } ) )
Assertion
Ref Expression
bfplem2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
Distinct variable groups:    x, y,
z, D    x, G, y, z    x, J, y, z    ph, x, y    x, F, y, z    x, K, y    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( x, y, z)    K( z)

Proof of Theorem bfplem2
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
2 cmetmet 19112 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 metxmet 18275 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
5 bfp.8 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
65mopntopon 18361 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
73, 4, 63syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
8 bfp.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
9 bfp.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
10 bfp.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  <  1 )
11 bfp.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> X )
12 bfp.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
13 bfp.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
14 bfp.10 . . . 4  |-  G  =  seq  1 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { A } ) )
151, 8, 9, 10, 11, 12, 5, 13, 14bfplem1 26224 . . 3  |-  ( ph  ->  G ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )
16 lmcl 17285 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  G
( ~~> t `  J
) ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  ->  (
( ~~> t `  J
) `  G )  e.  X )
177, 15, 16syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  e.  X )
183adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
1918, 4syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
20 nnuz 10455 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
21 1z 10245 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  ZZ )
23 eqidd 2390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
2415adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  G ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  G
) )
25 rphalfcl 10570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
2625adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
275, 19, 20, 22, 23, 24, 26lmmcvg 19087 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 ) ) )
28 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( G `
 k ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) )
2928ralimi 2726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) )
30 nnz 10237 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
3130adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ZZ )
32 uzid 10434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
33 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  ( G `  k )  =  ( G `  j ) )
3433oveq1d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  j  ->  (
( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  =  ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
3534breq1d 4165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 )  <->  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
3635rspcv 2993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 )  ->  ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
3731, 32, 363syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
3831, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
39 peano2uz 10464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
40 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
4140oveq1d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  =  ( ( G `
 ( j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
4241breq1d 4165 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 )  <->  ( ( G `  ( j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
4342rspcv 2993 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 )  ->  ( ( G `
 ( j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
4438, 39, 433syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  (
( G `  (
j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
4521a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4620, 14, 45, 13, 11algrp1 12994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( j  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `  j )
) )
4746adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `  j ) ) )
4847oveq1d 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( G `  (
j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  =  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
4948breq1d 4165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( G `  ( j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 )  <->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
5044, 49sylibd 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
5137, 50jcad 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  (
( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 )  /\  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
523ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
5320, 14, 45, 13, 11algrf 12993 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : NN --> X )
5453adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  G : NN
--> X )
5554ffvelrnda 5811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `  j )  e.  X )
5617ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ~~> t `  J
) `  G )  e.  X )
57 metcl 18273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( G `  j )  e.  X  /\  (
( ~~> t `  J
) `  G )  e.  X )  ->  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
5852, 55, 56, 57syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
5911ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  F : X --> X )
6059, 55ffvelrnd 5812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  ( G `  j ) )  e.  X )
61 metcl 18273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( G `  j ) )  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `
 G )  e.  X )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
6252, 60, 56, 61syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
63 rpre 10552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
6463ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
65 lt2halves 10136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR  /\  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 )  /\  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  +  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  < 
x ) )
6658, 62, 64, 65syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 )  /\  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  +  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  < 
x ) )
6711, 17ffvelrnd 5812 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  X )
68 metcl 18273 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `
 G )  e.  X )  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
693, 67, 17, 68syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR )
7069ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
7159, 56ffvelrnd 5812 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  e.  X )
72 metcl 18273 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( G `  j ) )  e.  X  /\  ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  e.  X
)  ->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) )  e.  RR )
7352, 60, 71, 72syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  e.  RR )
7473, 62readdcld 9050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  +  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  e.  RR )
7558, 62readdcld 9050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  +  ( ( F `  ( G `
 j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  e.  RR )
76 mettri2 18282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  (
( F `  ( G `  j )
)  e.  X  /\  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  X  /\  (
( ~~> t `  J
) `  G )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  ( (
( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  +  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) ) )
7752, 60, 71, 56, 76syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <_  ( ( ( F `  ( G `
 j ) ) D ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  +  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) ) )
789rpred 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
7978ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  K  e.  RR )
8079, 58remulcld 9051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  e.  RR )
8155, 56jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( G `  j
)  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  e.  X ) )
8212ralrimivva 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
8382ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_ 
( K  x.  (
x D y ) ) )
84 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( G `  j )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( G `  j ) ) )
8584oveq1d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( G `  j )  ->  (
( F `  x
) D ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( F `  y
) ) )
86 oveq1 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( G `  j )  ->  (
x D y )  =  ( ( G `
 j ) D y ) )
8786oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( G `  j )  ->  ( K  x.  ( x D y ) )  =  ( K  x.  ( ( G `  j ) D y ) ) )
8885, 87breq12d 4168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( G `  j )  ->  (
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) )  <->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `  y
) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  j ) D y ) ) ) )
89 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )
9089oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `  y
) )  =  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) ) )
91 oveq2 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( ( G `  j ) D y )  =  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
9291oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( K  x.  ( ( G `  j ) D y ) )  =  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) ) )
9390, 92breq12d 4168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( (
( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 y ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  j ) D y ) )  <->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) ) ) )
9488, 93rspc2v 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G `  j
)  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_ 
( K  x.  (
x D y ) )  ->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) ) ) )
9581, 83, 94sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  <_ 
( K  x.  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) ) )
96 1re 9025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
98 metge0 18286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( G `  j )  e.  X  /\  (
( ~~> t `  J
) `  G )  e.  X )  ->  0  <_  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
9952, 55, 56, 98syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
100 ltle 9098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( K  <  1  ->  K  <_  1 ) )
10178, 96, 100sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( K  <  1  ->  K  <_  1 ) )
10210, 101mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  K  <_  1 )
103102ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  K  <_  1 )
10479, 97, 58, 99, 103lemul1ad 9884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  <_ 
( 1  x.  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) ) )
10558recnd 9049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  CC )
106105mulid2d 9041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
1  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  =  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
107104, 106breqtrd 4179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  <_ 
( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
10873, 80, 58, 95, 107letrd 9161 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  <_ 
( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
10973, 58, 62, 108leadd1dd 9574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  +  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  <_  ( (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  +  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) ) )
11070, 74, 75, 77, 109letrd 9161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <_  ( ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  +  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) ) )
111 lelttr 9100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR  /\  ( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  +  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <_  (
( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  +  ( ( F `  ( G `
 j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  /\  ( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  +  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  <  x )  ->  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x )
)
11270, 75, 64, 111syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  ( (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  +  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  /\  ( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  +  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  <  x )  ->  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x )
)
113110, 112mpand 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  +  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  <  x  -> 
( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x )
)
11451, 66, 1133syld 53 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  x ) )
11529, 114syl5 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
)  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x )
)
116115rexlimdva 2775 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x )
)
11727, 116mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  x
)
118 ltle 9098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x  ->  ( ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <_  x ) )
11969, 63, 118syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  x  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <_  x ) )
120117, 119mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <_  x
)
12163adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
122121recnd 9049 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
123122addid2d 9201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0  +  x )  =  x )
124120, 123breqtrrd 4181 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <_  (
0  +  x ) )
125124ralrimiva 2734 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  ( 0  +  x ) )
126 0re 9026 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
127 alrple 10726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  0  <->  A. x  e.  RR+  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  ( 0  +  x ) ) )
12869, 126, 127sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  0  <->  A. x  e.  RR+  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  ( 0  +  x ) ) )
129125, 128mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  0 )
130 metge0 18286 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `
 G )  e.  X )  ->  0  <_  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
1313, 67, 17, 130syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
132 letri3 9095 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  0  <->  (
( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  0  /\  0  <_  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) ) ) )
13369, 126, 132sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  0  <->  (
( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  0  /\  0  <_  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) ) ) )
134129, 131, 133mpbir2and 889 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  0 )
135 meteq0 18280 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `
 G )  e.  X )  ->  (
( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  0  <->  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
1363, 67, 17, 135syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  0  <->  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
137134, 136mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )
138 fveq2 5670 . . . 4  |-  ( z  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )
139 id 20 . . . 4  |-  ( z  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  z  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )
140138, 139eqeq12d 2403 . . 3  |-  ( z  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( ( F `  z )  =  z  <->  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  =  ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
141140rspcev 2997 . 2  |-  ( ( ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  e.  X  /\  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
14217, 137, 141syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   E.wrex 2652   (/)c0 3573   {csn 3759   class class class wbr 4155    X. cxp 4818    o. ccom 4824   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   1stc1st 6288   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    x. cmul 8930    < clt 9055    <_ cle 9056    / cdiv 9611   NNcn 9934   2c2 9983   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422   RR+crp 10546    seq cseq 11252   * Metcxmt 16614   Metcme 16615   MetOpencmopn 16619  TopOnctopon 16884   ~~> tclm 17214   CMetcms 19080
This theorem is referenced by:  bfp  26226
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-rest 13579  df-topgen 13596  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-ntr 17009  df-nei 17087  df-lm 17217  df-haus 17303  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-cfil 19081  df-cau 19082  df-cmet 19083
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