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Theorem bfplem2 26523
Description: Lemma for bfp 26524. Using the point found in bfplem1 26522, we show that this convergent point is a fixed point of  F. Since for any positive  x, the sequence  G is in  B ( x  /  2 ,  P ) for all  k  e.  (
ZZ>= `  j ) (where  P  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)), we have  D ( G ( j  +  1 ) ,  F ( P ) )  <_  D ( G ( j ) ,  P
)  <  x  / 
2 and  D ( G ( j  +  1 ) ,  P )  <  x  /  2, so  F ( P ) is in every neighborhood of  P and  P is a fixed point of  F. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
bfp.3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
bfp.4  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
bfp.5  |-  ( ph  ->  K  <  1 )
bfp.6  |-  ( ph  ->  F : X --> X )
bfp.7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
bfp.8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
bfp.9  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
bfp.10  |-  G  =  seq  1 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { A } ) )
Assertion
Ref Expression
bfplem2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
Distinct variable groups:    x, y,
z, D    x, G, y, z    x, J, y, z    ph, x, y    x, F, y, z    x, K, y    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( x, y, z)    K( z)

Proof of Theorem bfplem2
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
2 cmetmet 19231 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 metxmet 18356 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
5 bfp.8 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
65mopntopon 18461 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
73, 4, 63syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
8 bfp.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
9 bfp.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
10 bfp.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  <  1 )
11 bfp.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> X )
12 bfp.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
13 bfp.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
14 bfp.10 . . . 4  |-  G  =  seq  1 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { A } ) )
151, 8, 9, 10, 11, 12, 5, 13, 14bfplem1 26522 . . 3  |-  ( ph  ->  G ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )
16 lmcl 17353 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  G
( ~~> t `  J
) ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  ->  (
( ~~> t `  J
) `  G )  e.  X )
177, 15, 16syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  e.  X )
183adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
1918, 4syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
20 nnuz 10513 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
21 1z 10303 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  ZZ )
23 eqidd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
2415adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  G ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  G
) )
25 rphalfcl 10628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
2625adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
275, 19, 20, 22, 23, 24, 26lmmcvg 19206 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 ) ) )
28 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( G `
 k ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) )
2928ralimi 2773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) )
30 nnz 10295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
3130adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ZZ )
32 uzid 10492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
33 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  ( G `  k )  =  ( G `  j ) )
3433oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  j  ->  (
( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  =  ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
3534breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 )  <->  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
3635rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 )  ->  ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
3731, 32, 363syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
3831, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
39 peano2uz 10522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
40 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
4140oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  =  ( ( G `
 ( j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
4241breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 )  <->  ( ( G `  ( j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
4342rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 )  ->  ( ( G `
 ( j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
4438, 39, 433syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  (
( G `  (
j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
4521a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4620, 14, 45, 13, 11algrp1 13057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( j  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `  j )
) )
4746adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `  j ) ) )
4847oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( G `  (
j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  =  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
4948breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( G `  ( j  +  1 ) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 )  <->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
5044, 49sylibd 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
5137, 50jcad 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  (
( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 )  /\  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
523ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
5320, 14, 45, 13, 11algrf 13056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : NN --> X )
5453adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  G : NN
--> X )
5554ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `  j )  e.  X )
5617ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ~~> t `  J
) `  G )  e.  X )
57 metcl 18354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( G `  j )  e.  X  /\  (
( ~~> t `  J
) `  G )  e.  X )  ->  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
5852, 55, 56, 57syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
5911ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  F : X --> X )
6059, 55ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  ( G `  j ) )  e.  X )
61 metcl 18354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( G `  j ) )  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `
 G )  e.  X )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
6252, 60, 56, 61syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
63 rpre 10610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
6463ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
65 lt2halves 10194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR  /\  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 )  /\  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  +  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  < 
x ) )
6658, 62, 64, 65syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 )  /\  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  +  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  < 
x ) )
6711, 17ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  X )
68 metcl 18354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `
 G )  e.  X )  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
693, 67, 17, 68syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR )
7069ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  RR )
7159, 56ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  e.  X )
72 metcl 18354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( G `  j ) )  e.  X  /\  ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  e.  X
)  ->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) )  e.  RR )
7352, 60, 71, 72syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  e.  RR )
7473, 62readdcld 9107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  +  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  e.  RR )
7558, 62readdcld 9107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  +  ( ( F `  ( G `
 j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  e.  RR )
76 mettri2 18363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  (
( F `  ( G `  j )
)  e.  X  /\  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  X  /\  (
( ~~> t `  J
) `  G )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  ( (
( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  +  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) ) )
7752, 60, 71, 56, 76syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <_  ( ( ( F `  ( G `
 j ) ) D ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  +  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) ) )
789rpred 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
7978ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  K  e.  RR )
8079, 58remulcld 9108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  e.  RR )
8155, 56jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( G `  j
)  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  e.  X ) )
8212ralrimivva 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
8382ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_ 
( K  x.  (
x D y ) ) )
84 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( G `  j )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( G `  j ) ) )
8584oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( G `  j )  ->  (
( F `  x
) D ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( F `  y
) ) )
86 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( G `  j )  ->  (
x D y )  =  ( ( G `
 j ) D y ) )
8786oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( G `  j )  ->  ( K  x.  ( x D y ) )  =  ( K  x.  ( ( G `  j ) D y ) ) )
8885, 87breq12d 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( G `  j )  ->  (
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) )  <->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `  y
) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  j ) D y ) ) ) )
89 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )
9089oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `  y
) )  =  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) ) )
91 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( ( G `  j ) D y )  =  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
9291oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( K  x.  ( ( G `  j ) D y ) )  =  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) ) )
9390, 92breq12d 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( (
( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 y ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  j ) D y ) )  <->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) ) ) )
9488, 93rspc2v 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G `  j
)  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_ 
( K  x.  (
x D y ) )  ->  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) ) ) )
9581, 83, 94sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  <_ 
( K  x.  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) ) )
96 1re 9082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
98 metge0 18367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( G `  j )  e.  X  /\  (
( ~~> t `  J
) `  G )  e.  X )  ->  0  <_  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
9952, 55, 56, 98syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
100 ltle 9155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( K  <  1  ->  K  <_  1 ) )
10178, 96, 100sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( K  <  1  ->  K  <_  1 ) )
10210, 101mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  K  <_  1 )
103102ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  K  <_  1 )
10479, 97, 58, 99, 103lemul1ad 9942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  <_ 
( 1  x.  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) ) )
10558recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  e.  CC )
106105mulid2d 9098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
1  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  =  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
107104, 106breqtrd 4228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( K  x.  ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  <_ 
( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
10873, 80, 58, 95, 107letrd 9219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  ( G `  j )
) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  <_ 
( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
10973, 58, 62, 108leadd1dd 9632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( F `  ( G `  j ) ) D ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  +  ( ( F `  ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  <_  ( (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  +  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) ) )
11070, 74, 75, 77, 109letrd 9219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <_  ( ( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  +  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) ) )
111 lelttr 9157 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR  /\  ( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  +  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <_  (
( ( G `  j ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  +  ( ( F `  ( G `
 j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  /\  ( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  +  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  <  x )  ->  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x )
)
11270, 75, 64, 111syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  ( (
( G `  j
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  +  ( ( F `
 ( G `  j ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )  /\  ( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  +  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  <  x )  ->  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x )
)
113110, 112mpand 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( ( G `
 j ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  +  ( ( F `  ( G `  j )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )  <  x  -> 
( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x )
)
11451, 66, 1133syld 53 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  ( x  / 
2 )  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  x ) )
11529, 114syl5 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
)  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x )
)
116115rexlimdva 2822 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x )
)
11727, 116mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <  x
)
118 ltle 9155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <  x  ->  ( ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <_  x ) )
11969, 63, 118syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <  x  ->  (
( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
) D ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  <_  x ) )
120117, 119mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <_  x
)
12163adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
122121recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
123122addid2d 9259 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0  +  x )  =  x )
124120, 123breqtrrd 4230 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  <_  (
0  +  x ) )
125124ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  ( 0  +  x ) )
126 0re 9083 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
127 alrple 10784 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  0  <->  A. x  e.  RR+  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  ( 0  +  x ) ) )
12869, 126, 127sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  0  <->  A. x  e.  RR+  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  ( 0  +  x ) ) )
129125, 128mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  0 )
130 metge0 18367 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `
 G )  e.  X )  ->  0  <_  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
1313, 67, 17, 130syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) ) D ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
132 letri3 9152 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  0  <->  (
( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  0  /\  0  <_  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) ) ) )
13369, 126, 132sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  0  <->  (
( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  <_  0  /\  0  <_  ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) ) ) )
134129, 131, 133mpbir2and 889 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  0 )
135 meteq0 18361 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  e.  X  /\  ( ( ~~> t `  J ) `
 G )  e.  X )  ->  (
( ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  0  <->  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
1363, 67, 17, 135syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) D ( ( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  0  <->  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G ) )  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
137134, 136mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( ~~> t `  J
) `  G )
)  =  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )
138 fveq2 5720 . . . 4  |-  ( z  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )
139 id 20 . . . 4  |-  ( z  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  z  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )
140138, 139eqeq12d 2449 . . 3  |-  ( z  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  ->  ( ( F `  z )  =  z  <->  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  =  ( ( ~~> t `  J
) `  G )
) )
141140rspcev 3044 . 2  |-  ( ( ( ( ~~> t `  J ) `  G
)  e.  X  /\  ( F `  ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )  =  ( ( ~~> t `  J ) `  G
) )  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
14217, 137, 141syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   (/)c0 3620   {csn 3806   class class class wbr 4204    X. cxp 4868    o. ccom 4874   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1stc1st 6339   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   RR+crp 10604    seq cseq 11315   * Metcxmt 16678   Metcme 16679   MetOpencmopn 16683  TopOnctopon 16951   ~~> tclm 17282   CMetcms 19199
This theorem is referenced by:  bfp  26524
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-ntr 17076  df-nei 17154  df-lm 17285  df-haus 17371  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-cfil 19200  df-cau 19201  df-cmet 19202
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