Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bfplem2 Unicode version

Theorem bfplem2 26650
 Description: Lemma for bfp 26651. Using the point found in bfplem1 26649, we show that this convergent point is a fixed point of . Since for any positive , the sequence is in for all (where ), we have and , so is in every neighborhood of and is a fixed point of . (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2
bfp.3
bfp.4
bfp.5
bfp.6
bfp.7
bfp.8
bfp.9
bfp.10
Assertion
Ref Expression
bfplem2
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   ()

Proof of Theorem bfplem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.2 . . . . 5
2 cmetmet 18728 . . . . 5
31, 2syl 15 . . . 4
4 metxmet 17915 . . . 4
5 bfp.8 . . . . 5
65mopntopon 18001 . . . 4 TopOn
73, 4, 63syl 18 . . 3 TopOn
8 bfp.3 . . . 4
9 bfp.4 . . . 4
10 bfp.5 . . . 4
11 bfp.6 . . . 4
12 bfp.7 . . . 4
13 bfp.9 . . . 4
14 bfp.10 . . . 4
151, 8, 9, 10, 11, 12, 5, 13, 14bfplem1 26649 . . 3
16 lmcl 17041 . . 3 TopOn
177, 15, 16syl2anc 642 . 2
183adantr 451 . . . . . . . . . . 11
1918, 4syl 15 . . . . . . . . . 10
20 nnuz 10279 . . . . . . . . . 10
21 1z 10069 . . . . . . . . . . 11
2221a1i 10 . . . . . . . . . 10
23 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10
2415adantr 451 . . . . . . . . . 10
25 rphalfcl 10394 . . . . . . . . . . 11
2625adantl 452 . . . . . . . . . 10
275, 19, 20, 22, 23, 24, 26lmmcvg 18703 . . . . . . . . 9
28 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12
2928ralimi 2631 . . . . . . . . . . 11
30 nnz 10061 . . . . . . . . . . . . . . 15
3130adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14
32 uzid 10258 . . . . . . . . . . . . . 14
33 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3433oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . 14
3731, 32, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . 13
3831, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 peano2uz 10288 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4140oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4241breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4342rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . 15
4438, 39, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14
4521a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4620, 14, 45, 13, 11algrp1 12760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4746adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4847oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15
4948breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . 14
5044, 49sylibd 205 . . . . . . . . . . . . 13
5137, 50jcad 519 . . . . . . . . . . . 12
523ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14
5320, 14, 45, 13, 11algrf 12759 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5453adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
55 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15
5654, 55sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14
5717ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14
58 metcl 17913 . . . . . . . . . . . . . 14
5952, 56, 57, 58syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
6011ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15
61 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15
6260, 56, 61syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14
63 metcl 17913 . . . . . . . . . . . . . 14
6452, 62, 57, 63syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
65 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . . 14
6665ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13
67 lt2halves 9962 . . . . . . . . . . . . 13
6859, 64, 66, 67syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
69 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7011, 17, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 metcl 17913 . . . . . . . . . . . . . . . 16
723, 70, 17, 71syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15
7372ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14
7460, 57, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16
75 metcl 17913 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7652, 62, 74, 75syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15
7776, 64readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . 14
7859, 64readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . 14
79 mettri2 17922 . . . . . . . . . . . . . . 15
8052, 62, 74, 57, 79syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
819rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8281ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8382, 59remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8456, 57jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8512ralrimivva 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8685ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
87 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8887oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
89 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9089oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9188, 90breq12d 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
92 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9392oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
94 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9594oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9693, 95breq12d 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9791, 96rspc2v 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9884, 86, 97sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16
99 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10099a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
101 metge0 17926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10252, 56, 57, 101syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
103 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10481, 99, 103sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10510, 104mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106105ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10782, 100, 59, 102, 106lemul1ad 9712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10859recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109108mulid2d 8869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110107, 109breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11176, 83, 59, 98, 110letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . 15
11276, 59, 64, 111leadd1dd 9402 . . . . . . . . . . . . . 14
11373, 77, 78, 80, 112letrd 8989 . . . . . . . . . . . . 13
114 lelttr 8928 . . . . . . . . . . . . . 14
11573, 78, 66, 114syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
116113, 115mpand 656 . . . . . . . . . . . 12
11751, 68, 1163syld 51 . . . . . . . . . . 11
11829, 117syl5 28 . . . . . . . . . 10
119118rexlimdva 2680 . . . . . . . . 9
12027, 119mpd 14 . . . . . . . 8
121 ltle 8926 . . . . . . . . 9
12272, 65, 121syl2an 463 . . . . . . . 8
123120, 122mpd 14 . . . . . . 7
12465adantl 452 . . . . . . . . 9
125124recnd 8877 . . . . . . . 8
126125addid2d 9029 . . . . . . 7
127123, 126breqtrrd 4065 . . . . . 6
128127ralrimiva 2639 . . . . 5
129 0re 8854 . . . . . 6
130 alrple 10549 . . . . . 6
13172, 129, 130sylancl 643 . . . . 5
132128, 131mpbird 223 . . . 4
133 metge0 17926 . . . . 5
1343, 70, 17, 133syl3anc 1182 . . . 4
135 letri3 8923 . . . . 5
13672, 129, 135sylancl 643 . . . 4
137132, 134, 136mpbir2and 888 . . 3
138 meteq0 17920 . . . 4
1393, 70, 17, 138syl3anc 1182 . . 3
140137, 139mpbid 201 . 2
141 fveq2 5541 . . . 4
142 id 19 . . . 4
143141, 142eqeq12d 2310 . . 3
144143rspcev 2897 . 2
14517, 140, 144syl2anc 642 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  c0 3468  csn 3653   class class class wbr 4039   cxp 4703   ccom 4709  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  c1st 6136  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   clt 8883   cle 8884   cdiv 9439  cn 9762  c2 9811  cz 10040  cuz 10246  crp 10370   cseq 11062  cxmt 16385  cme 16386  cmopn 16388  TopOnctopon 16648  clm 16972  cms 18696 This theorem is referenced by:  bfp  26651 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-lm 16975  df-haus 17059  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-cfil 18697  df-cau 18698  df-cmet 18699
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