Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bhp3 Unicode version

Theorem bhp3 26280
 Description: Every line divides the plane into exactly two half planes . (For my private use only. Don't use.) (Contributed by FL, 16-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abhp.1 Ibg
abhp.2
abhp.3 PPoints
abhp.4 ss
abhp.5 PLines
Assertion
Ref Expression
bhp3 Halfplane

Proof of Theorem bhp3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abhp.3 . . . . . 6 PPoints
2 abhp.5 . . . . . 6 PLines
3 abhp.4 . . . . . 6 ss
4 abhp.1 . . . . . . 7 Ibg
54adantr 451 . . . . . 6 Ibg
6 abhp.2 . . . . . . 7
76adantr 451 . . . . . 6
8 simpr 447 . . . . . 6
91, 2, 3, 5, 7, 8hpd 26272 . . . . 5
10 fvex 5555 . . . . . . . 8 ss
113, 10eqeltri 2366 . . . . . . 7
12 ecexg 6680 . . . . . . 7
1311, 12ax-mp 8 . . . . . 6
14 fvex 5555 . . . . . . . . 9 PPoints
151, 14eqeltri 2366 . . . . . . . 8
16 difexg 4178 . . . . . . . 8
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . 7
18 difexg 4178 . . . . . . 7
1917, 18ax-mp 8 . . . . . 6
20 hashprg 11384 . . . . . 6
2113, 19, 20mp2an 653 . . . . 5
229, 21sylib 188 . . . 4
2322ralrimiva 2639 . . 3
245, 7, 1, 3, 2, 8abhp2 26278 . . . . . . . 8 Halfplane
2524eqcomd 2301 . . . . . . 7 Halfplane
2625fveq2d 5545 . . . . . 6 Halfplane
2726eqeq1d 2304 . . . . 5 Halfplane
2827biimpd 198 . . . 4 Halfplane
2928ralimdva 2634 . . 3 Halfplane
3023, 29mpd 14 . 2 Halfplane
314isibg1a 26214 . . . . 5 Ig
321, 2, 31, 6gltpntl2 26176 . . . 4
33 n0 3477 . . . 4
3432, 33sylibr 203 . . 3
35 r19.3rzv 3560 . . 3 Halfplane Halfplane
3634, 35syl 15 . 2 Halfplane Halfplane
3730, 36mpbird 223 1 Halfplane
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358  wex 1531   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  cvv 2801   cdif 3162  c0 3468  cpr 3654  cfv 5271  cec 6674  c2 9811  chash 11353  PPointscpoints 26159  PLinescplines 26161  Ibgcibg 26210  sscsas 26265  Halfplanechalfp 26273 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354  df-ig2 26164  df-li 26180  df-col 26194  df-ibg2 26212  df-seg2 26234  df-sside 26266  df-halfplane 26274
 Copyright terms: Public domain W3C validator