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Theorem binom3 11222
Description: The cube of a binomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
binom3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )

Proof of Theorem binom3
StepHypRef Expression
1 df-3 9805 . . . 4  |-  3  =  ( 2  +  1 )
21oveq2i 5869 . . 3  |-  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( A  +  B ) ^ (
2  +  1 ) )
3 addcl 8819 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
4 2nn0 9982 . . . 4  |-  2  e.  NN0
5 expp1 11110 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( ( A  +  B ) ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 2 )  x.  ( A  +  B ) ) )
63, 4, 5sylancl 643 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 2 )  x.  ( A  +  B ) ) )
72, 6syl5eq 2327 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 2 )  x.  ( A  +  B ) ) )
8 sqcl 11166 . . . . 5  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  (
( A  +  B
) ^ 2 )  e.  CC )
93, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  e.  CC )
10 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
11 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
129, 10, 11adddid 8859 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  x.  B ) ) )
13 binom2 11218 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^
2 ) ) )
1413oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  A
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  A ) )
15 sqcl 11166 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
1610, 15syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
17 2cn 9816 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
18 mulcl 8821 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
19 mulcl 8821 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  e.  CC )
2017, 18, 19sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  B )
)  e.  CC )
2116, 20addcld 8854 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  e.  CC )
22 sqcl 11166 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
2311, 22syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
2421, 23, 10adddird 8860 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  A
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  x.  A )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  A ) ) )
2516, 20, 10adddird 8860 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  x.  A
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  A )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  A ) ) )
261oveq2i 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( A ^ 3 )  =  ( A ^ (
2  +  1 ) )
27 expp1 11110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
2810, 4, 27sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
2926, 28syl5eq 2327 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 3 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
30 sqval 11163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A
) )
3110, 30syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
3231oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  A )  x.  B ) )
3310, 10, 11mul32d 9022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  A )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  B )  x.  A ) )
3432, 33eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  B )  x.  A ) )
3534oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  x.  A ) ) )
3617a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  2  e.  CC )
3736, 18, 10mulassd 8858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  x.  A
)  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  x.  A ) ) )
3835, 37eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  A ) )
3929, 38oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  A )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  A ) ) )
4025, 39eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  x.  A
)  =  ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
4123, 10mulcomd 8856 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B ^
2 )  x.  A
)  =  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )
4240, 41oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  x.  A )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  A ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
4314, 24, 423eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  A
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
4413oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  B ) )
4521, 23, 11adddird 8860 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  B
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  x.  B )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) ) )
46 sqval 11163 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B ^ 2 )  =  ( B  x.  B
) )
4711, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( B  x.  B ) )
4847oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( A  x.  ( B  x.  B
) ) )
4910, 11, 11mulassd 8858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  B )  x.  B
)  =  ( A  x.  ( B  x.  B ) ) )
5048, 49eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  B )  x.  B ) )
5150oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  x.  B ) ) )
5236, 18, 11mulassd 8858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  x.  B
)  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  x.  B ) ) )
5351, 52eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  B ) )
5453oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  B ) ) )
5516, 20, 11adddird 8860 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  x.  B
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  B ) ) )
5654, 55eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  x.  B ) )
571oveq2i 5869 . . . . . . . 8  |-  ( B ^ 3 )  =  ( B ^ (
2  +  1 ) )
58 expp1 11110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
5911, 4, 58sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
6057, 59syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 3 )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
6156, 60oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  x.  B )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) ) )
6216, 11mulcld 8855 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )
6310, 23mulcld 8855 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
64 mulcl 8821 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
6517, 63, 64sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
66 3nn0 9983 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN0
67 expcl 11121 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( B ^ 3 )  e.  CC )
6811, 66, 67sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 3 )  e.  CC )
6962, 65, 68addassd 8857 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
7061, 69eqtr3d 2317 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  x.  B )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
7144, 45, 703eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
7243, 71oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
73 expcl 11121 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
7410, 66, 73sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
75 mulcl 8821 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  e.  CC )
7617, 62, 75sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  e.  CC )
7774, 76addcld 8854 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  e.  CC )
7865, 68addcld 8854 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
7977, 63, 62, 78add4d 9035 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  +  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
8012, 72, 793eqtrd 2319 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A  x.  ( B ^
2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
8174, 76, 62addassd 8857 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
821oveq1i 5868 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  +  1 )  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )
83 ax-1cn 8795 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
8483a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
8536, 84, 62adddird 8860 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  +  1 )  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
8682, 85syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
8762mulid2d 8853 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )
8887oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )
8986, 88eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )
9089oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  =  ( ( A ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
9181, 90eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
92 2p1e3 9847 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  +  1 )  =  3
9317, 83, 92addcomli 9004 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  2 )  =  3
9493oveq1i 5868 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  2 )  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )
9584, 36, 63adddird 8860 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  2 )  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9694, 95syl5eqr 2329 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9763mulid2d 8853 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )
9897oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9996, 98eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
10099oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )
10163, 65, 68addassd 8857 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  x.  ( B ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
102100, 101eqtr2d 2316 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( B ^
3 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )
10391, 102oveq12d 5876 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  +  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
1047, 80, 1033eqtrd 2319 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   2c2 9795   3c3 9796   NN0cn0 9965   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  dcubic1lem  20139  mcubic  20143  binom4  20146
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105
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