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Theorem binom4 20690
Description: Work out a quartic binomial. (You would think that by this point it would be faster to use binom 12609, but it turns out to be just as much work to put it into this form after clearing all the sums and calculating binomial coefficients.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
binom4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 4 )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 6  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )

Proof of Theorem binom4
StepHypRef Expression
1 df-4 10060 . . . 4  |-  4  =  ( 3  +  1 )
21oveq2i 6092 . . 3  |-  ( ( A  +  B ) ^ 4 )  =  ( ( A  +  B ) ^ (
3  +  1 ) )
3 addcl 9072 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
4 3nn0 10239 . . . 4  |-  3  e.  NN0
5 expp1 11388 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( ( A  +  B ) ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 3 )  x.  ( A  +  B ) ) )
63, 4, 5sylancl 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 3 )  x.  ( A  +  B ) ) )
72, 6syl5eq 2480 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 4 )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 3 )  x.  ( A  +  B ) ) )
8 binom3 11500 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
98oveq1d 6096 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
3 )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( B ^
3 ) ) )  x.  ( A  +  B ) ) )
10 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
11 expcl 11399 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
1210, 4, 11sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
13 3cn 10072 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
1410sqcld 11521 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
15 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
1614, 15mulcld 9108 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )
17 mulcl 9074 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  e.  CC )
1813, 16, 17sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  e.  CC )
1912, 18addcld 9107 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  e.  CC )
2015sqcld 11521 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
2110, 20mulcld 9108 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
22 mulcl 9074 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
2313, 21, 22sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
24 expcl 11399 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( B ^ 3 )  e.  CC )
2515, 4, 24sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 3 )  e.  CC )
2623, 25addcld 9107 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
2719, 26addcld 9107 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  e.  CC )
2827, 10, 15adddid 9112 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  ( A  +  B ) )  =  ( ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( B ^
3 ) ) )  x.  A )  +  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  B ) ) )
2919, 26, 10adddird 9113 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  A )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  A )  +  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  A ) ) )
3012, 18, 10adddird 9113 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  A
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  A )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  x.  A ) ) )
311oveq2i 6092 . . . . . . . . 9  |-  ( A ^ 4 )  =  ( A ^ (
3  +  1 ) )
32 expp1 11388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  x.  A ) )
3310, 4, 32sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  x.  A ) )
3431, 33syl5req 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  x.  A
)  =  ( A ^ 4 ) )
3513a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  3  e.  CC )
3635, 16, 10mulassd 9111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  x.  A
)  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  A ) ) )
3714, 15, 10mul32d 9276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  A
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  A )  x.  B ) )
38 df-3 10059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  =  ( 2  +  1 )
3938oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A ^ 3 )  =  ( A ^ (
2  +  1 ) )
40 2nn0 10238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
41 expp1 11388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
4210, 40, 41sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
4339, 42syl5req 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  A
)  =  ( A ^ 3 ) )
4443oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  A )  x.  B
)  =  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )
4537, 44eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  A
)  =  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )
4645oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  x.  A ) )  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )
4736, 46eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  x.  A
)  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )
4834, 47oveq12d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  x.  A )  +  ( ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  x.  A ) )  =  ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
4930, 48eqtrd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  A
)  =  ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
5023, 25, 10adddird 9113 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  A )  =  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  x.  A )  +  ( ( B ^
3 )  x.  A
) ) )
5135, 21, 10mulassd 9111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  A )  =  ( 3  x.  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  A ) ) )
5210, 20, 10mul32d 9276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  A )  =  ( ( A  x.  A )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
5310sqvald 11520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
5453oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  A )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
5552, 54eqtr4d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  A )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
5655oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  A ) )  =  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
5751, 56eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  A )  =  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
5825, 10mulcomd 9109 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B ^
3 )  x.  A
)  =  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )
5957, 58oveq12d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  A
)  +  ( ( B ^ 3 )  x.  A ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )
6050, 59eqtrd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  A )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )
6149, 60oveq12d 6099 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  x.  A )  +  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  A ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) ) ) )
6229, 61eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  A )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) ) ) )
6319, 26, 15adddird 9113 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  B )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  B )  +  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  B ) ) )
6412, 18, 15adddird 9113 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  B
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  x.  B ) ) )
6535, 16, 15mulassd 9111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  x.  B
)  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  B ) ) )
6614, 15, 15mulassd 9111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  B
)  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B  x.  B ) ) )
6715sqvald 11520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( B  x.  B ) )
6867oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B  x.  B
) ) )
6966, 68eqtr4d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  B
)  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
7069oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  x.  B ) )  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
7165, 70eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  x.  B
)  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
7271oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  x.  B ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
7364, 72eqtrd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  B
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
7423, 25, 15adddird 9113 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  B )  =  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  x.  B )  +  ( ( B ^
3 )  x.  B
) ) )
7535, 21, 15mulassd 9111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  B )  =  ( 3  x.  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  B ) ) )
7610, 20, 15mulassd 9111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  B )  =  ( A  x.  ( ( B ^
2 )  x.  B
) ) )
7738oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B ^ 3 )  =  ( B ^ (
2  +  1 ) )
78 expp1 11388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
7915, 40, 78sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
8077, 79syl5req 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B ^
2 )  x.  B
)  =  ( B ^ 3 ) )
8180oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
( B ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )
8276, 81eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  B )  =  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )
8382oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  B ) )  =  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )
8475, 83eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  B )  =  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )
851oveq2i 6092 . . . . . . . . 9  |-  ( B ^ 4 )  =  ( B ^ (
3  +  1 ) )
86 expp1 11388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 3 )  x.  B ) )
8715, 4, 86sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 3 )  x.  B ) )
8885, 87syl5req 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B ^
3 )  x.  B
)  =  ( B ^ 4 ) )
8984, 88oveq12d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  B
)  +  ( ( B ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) )
9074, 89eqtrd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  B )  =  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) )
9173, 90oveq12d 6099 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  x.  B )  +  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  B ) )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) )
9212, 15mulcld 9108 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  x.  B
)  e.  CC )
9314, 20mulcld 9108 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
94 mulcl 9074 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
9513, 93, 94sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
9610, 25mulcld 9108 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
97 mulcl 9074 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )  -> 
( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  e.  CC )
9813, 96, 97sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  e.  CC )
99 4nn0 10240 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
100 expcl 11399 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( B ^ 4 )  e.  CC )
10115, 99, 100sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 4 )  e.  CC )
10298, 101addcld 9107 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) )  e.  CC )
10392, 95, 102addassd 9110 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )
10463, 91, 1033eqtrd 2472 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  B )  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) ) ) )
10562, 104oveq12d 6099 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  A
)  +  ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( B ^
3 ) ) )  x.  B ) )  =  ( ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( ( A ^
3 )  x.  B
)  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) ) )
106 expcl 11399 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  CC )
10710, 99, 106sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 4 )  e.  CC )
108 mulcl 9074 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( A ^
3 )  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) )  e.  CC )
10913, 92, 108sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )  e.  CC )
110107, 109addcld 9107 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  e.  CC )
11195, 96addcld 9107 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  e.  CC )
11295, 102addcld 9107 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) )  e.  CC )
113110, 111, 92, 112add4d 9289 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) ) )  +  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( A ^
3 )  x.  B
) )  +  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) ) )
114107, 109, 92addassd 9110 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 4 )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
1151oveq1i 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( 3  +  1 )  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )
116 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
117116a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
11835, 117, 92adddird 9113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  1 )  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
119115, 118syl5eq 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 4  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
12092mulid2d 9106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )
121120oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )
122119, 121eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 4  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )
123122oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
4 )  +  ( 4  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  =  ( ( A ^ 4 )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
124114, 123eqtr4d 2471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
12595, 96, 95, 102add4d 9289 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) )  =  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )
126 3p3e6 10112 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  +  3 )  =  6
127126oveq1i 6091 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  +  3 )  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( 6  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
12835, 35, 93adddird 9113 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  3 )  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
129127, 128syl5eqr 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 6  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
130 3p1e4 10104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  +  1 )  =  4
13113, 116, 130addcomli 9258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  +  3 )  =  4
132131oveq1i 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  +  3 )  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  =  ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )
133117, 35, 96adddird 9113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  3 )  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
134132, 133syl5eqr 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
13596mulid2d 9106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  =  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )
136135oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
137134, 136eqtrd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
138137oveq1d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) )  =  ( ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) )
13996, 98, 101addassd 9110 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  x.  ( B ^
3 ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )  +  ( B ^ 4 ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) )
140138, 139eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^
3 ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) )
141129, 140oveq12d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 6  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) )  =  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )
142125, 141eqtr4d 2471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) )  =  ( ( 6  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) ) )
143124, 142oveq12d 6099 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( A ^
3 )  x.  B
) )  +  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 6  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) ) ) )
144113, 143eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) ) )  +  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 6  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) ) ) )
14528, 105, 1443eqtrd 2472 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  ( A  +  B ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 6  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) ) ) )
1467, 9, 1453eqtrd 2472 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 4 )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 6  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725  (class class class)co 6081   CCcc 8988   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995   2c2 10049   3c3 10050   4c4 10051   6c6 10053   NN0cn0 10221   ^cexp 11382
This theorem is referenced by:  quart1  20696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-seq 11324  df-exp 11383
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