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Theorem binom4 20162
Description: Work out a quartic binomial. (You would think that by this point it would be faster to use binom 12304, but it turns out to be just as much work to put it into this form after clearing all the sums and calculating binomial coefficients.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
binom4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 4 )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 6  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )

Proof of Theorem binom4
StepHypRef Expression
1 df-4 9822 . . . 4  |-  4  =  ( 3  +  1 )
21oveq2i 5885 . . 3  |-  ( ( A  +  B ) ^ 4 )  =  ( ( A  +  B ) ^ (
3  +  1 ) )
3 addcl 8835 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
4 3nn0 9999 . . . 4  |-  3  e.  NN0
5 expp1 11126 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( ( A  +  B ) ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 3 )  x.  ( A  +  B ) ) )
63, 4, 5sylancl 643 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 3 )  x.  ( A  +  B ) ) )
72, 6syl5eq 2340 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 4 )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 3 )  x.  ( A  +  B ) ) )
8 binom3 11238 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
98oveq1d 5889 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
3 )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( B ^
3 ) ) )  x.  ( A  +  B ) ) )
10 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
11 expcl 11137 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
1210, 4, 11sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
13 3cn 9834 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
1410sqcld 11259 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
15 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
1614, 15mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )
17 mulcl 8837 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  e.  CC )
1813, 16, 17sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  e.  CC )
1912, 18addcld 8870 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  e.  CC )
2015sqcld 11259 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
2110, 20mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
22 mulcl 8837 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
2313, 21, 22sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
24 expcl 11137 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( B ^ 3 )  e.  CC )
2515, 4, 24sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 3 )  e.  CC )
2623, 25addcld 8870 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
2719, 26addcld 8870 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  e.  CC )
2827, 10, 15adddid 8875 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  ( A  +  B ) )  =  ( ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( B ^
3 ) ) )  x.  A )  +  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  B ) ) )
2919, 26, 10adddird 8876 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  A )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  A )  +  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  A ) ) )
3012, 18, 10adddird 8876 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  A
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  A )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  x.  A ) ) )
311oveq2i 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( A ^ 4 )  =  ( A ^ (
3  +  1 ) )
32 expp1 11126 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  x.  A ) )
3310, 4, 32sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  x.  A ) )
3431, 33syl5req 2341 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  x.  A
)  =  ( A ^ 4 ) )
3513a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  3  e.  CC )
3635, 16, 10mulassd 8874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  x.  A
)  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  A ) ) )
3714, 15, 10mul32d 9038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  A
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  A )  x.  B ) )
38 df-3 9821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  =  ( 2  +  1 )
3938oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A ^ 3 )  =  ( A ^ (
2  +  1 ) )
40 2nn0 9998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
41 expp1 11126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
4210, 40, 41sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
4339, 42syl5req 2341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  A
)  =  ( A ^ 3 ) )
4443oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  A )  x.  B
)  =  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )
4537, 44eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  A
)  =  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )
4645oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  x.  A ) )  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )
4736, 46eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  x.  A
)  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )
4834, 47oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  x.  A )  +  ( ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  x.  A ) )  =  ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
4930, 48eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  A
)  =  ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
5023, 25, 10adddird 8876 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  A )  =  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  x.  A )  +  ( ( B ^
3 )  x.  A
) ) )
5135, 21, 10mulassd 8874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  A )  =  ( 3  x.  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  A ) ) )
5210, 20, 10mul32d 9038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  A )  =  ( ( A  x.  A )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
5310sqvald 11258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
5453oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  A )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
5552, 54eqtr4d 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  A )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
5655oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  A ) )  =  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
5751, 56eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  A )  =  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
5825, 10mulcomd 8872 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B ^
3 )  x.  A
)  =  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )
5957, 58oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  A
)  +  ( ( B ^ 3 )  x.  A ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )
6050, 59eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  A )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )
6149, 60oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  x.  A )  +  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  A ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) ) ) )
6229, 61eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  A )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) ) ) )
6319, 26, 15adddird 8876 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  B )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  B )  +  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  B ) ) )
6412, 18, 15adddird 8876 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  B
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  x.  B ) ) )
6535, 16, 15mulassd 8874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  x.  B
)  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  B ) ) )
6614, 15, 15mulassd 8874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  B
)  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B  x.  B ) ) )
6715sqvald 11258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( B  x.  B ) )
6867oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B  x.  B
) ) )
6966, 68eqtr4d 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  B
)  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
7069oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  x.  B ) )  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
7165, 70eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  x.  B
)  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
7271oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  x.  B ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
7364, 72eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  B
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
7423, 25, 15adddird 8876 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  B )  =  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  x.  B )  +  ( ( B ^
3 )  x.  B
) ) )
7535, 21, 15mulassd 8874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  B )  =  ( 3  x.  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  B ) ) )
7610, 20, 15mulassd 8874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  B )  =  ( A  x.  ( ( B ^
2 )  x.  B
) ) )
7738oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B ^ 3 )  =  ( B ^ (
2  +  1 ) )
78 expp1 11126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
7915, 40, 78sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
8077, 79syl5req 2341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B ^
2 )  x.  B
)  =  ( B ^ 3 ) )
8180oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
( B ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )
8276, 81eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  B )  =  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )
8382oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  B ) )  =  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )
8475, 83eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  B )  =  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )
851oveq2i 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( B ^ 4 )  =  ( B ^ (
3  +  1 ) )
86 expp1 11126 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 3 )  x.  B ) )
8715, 4, 86sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 3 )  x.  B ) )
8885, 87syl5req 2341 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B ^
3 )  x.  B
)  =  ( B ^ 4 ) )
8984, 88oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  B
)  +  ( ( B ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) )
9074, 89eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  B )  =  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) )
9173, 90oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  x.  B )  +  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  B ) )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) )
9212, 15mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  x.  B
)  e.  CC )
9314, 20mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
94 mulcl 8837 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
9513, 93, 94sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
9610, 25mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
97 mulcl 8837 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )  -> 
( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  e.  CC )
9813, 96, 97sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  e.  CC )
99 4nn0 10000 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
100 expcl 11137 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( B ^ 4 )  e.  CC )
10115, 99, 100sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 4 )  e.  CC )
10298, 101addcld 8870 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) )  e.  CC )
10392, 95, 102addassd 8873 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )
10463, 91, 1033eqtrd 2332 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  B )  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) ) ) )
10562, 104oveq12d 5892 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  A
)  +  ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( B ^
3 ) ) )  x.  B ) )  =  ( ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( ( A ^
3 )  x.  B
)  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) ) )
106 expcl 11137 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  CC )
10710, 99, 106sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 4 )  e.  CC )
108 mulcl 8837 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( A ^
3 )  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) )  e.  CC )
10913, 92, 108sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )  e.  CC )
110107, 109addcld 8870 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  e.  CC )
11195, 96addcld 8870 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  e.  CC )
11295, 102addcld 8870 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) )  e.  CC )
113110, 111, 92, 112add4d 9051 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) ) )  +  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( A ^
3 )  x.  B
) )  +  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) ) )
114107, 109, 92addassd 8873 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 4 )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
1151oveq1i 5884 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( 3  +  1 )  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )
116 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
117116a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
11835, 117, 92adddird 8876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  1 )  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
119115, 118syl5eq 2340 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 4  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
12092mulid2d 8869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )
121120oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )
122119, 121eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 4  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )
123122oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
4 )  +  ( 4  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  =  ( ( A ^ 4 )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
124114, 123eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
12595, 96, 95, 102add4d 9051 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) )  =  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )
126 3p3e6 9872 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  +  3 )  =  6
127126oveq1i 5884 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  +  3 )  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( 6  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
12835, 35, 93adddird 8876 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  3 )  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
129127, 128syl5eqr 2342 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 6  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
130 3p1e4 9864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  +  1 )  =  4
13113, 116, 130addcomli 9020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  +  3 )  =  4
132131oveq1i 5884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  +  3 )  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  =  ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )
133117, 35, 96adddird 8876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  3 )  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
134132, 133syl5eqr 2342 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
13596mulid2d 8869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  =  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )
136135oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
137134, 136eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
138137oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) )  =  ( ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) )
13996, 98, 101addassd 8873 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  x.  ( B ^
3 ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )  +  ( B ^ 4 ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) )
140138, 139eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^
3 ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) )
141129, 140oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 6  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) )  =  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )
142125, 141eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) )  =  ( ( 6  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) ) )
143124, 142oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( A ^
3 )  x.  B
) )  +  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 6  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) ) ) )
144113, 143eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) ) )  +  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 6  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) ) ) )
14528, 105, 1443eqtrd 2332 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  ( A  +  B ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 6  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) ) ) )
1467, 9, 1453eqtrd 2332 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 4 )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 6  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   CCcc 8751   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   6c6 9815   NN0cn0 9981   ^cexp 11120
This theorem is referenced by:  quart1  20168
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-exp 11121
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