MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  birthdaylem1 Unicode version

Theorem birthdaylem1 20751
Description: Lemma for birthday 20754. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s  |-  S  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
birthday.t  |-  T  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
Assertion
Ref Expression
birthdaylem1  |-  ( T 
C_  S  /\  S  e.  Fin  /\  ( N  e.  NN  ->  S  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    f, K    f, N
Allowed substitution hints:    S( f)    T( f)

Proof of Theorem birthdaylem1
StepHypRef Expression
1 f1f 5606 . . . 4  |-  ( f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N )  -> 
f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) )
21ss2abi 3383 . . 3  |-  { f  |  f : ( 1 ... K )
-1-1-> ( 1 ... N
) }  C_  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N
) }
3 birthday.t . . 3  |-  T  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
4 birthday.s . . 3  |-  S  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
52, 3, 43sstr4i 3355 . 2  |-  T  C_  S
6 fzfi 11274 . . . . 5  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
7 fzfi 11274 . . . . 5  |-  ( 1 ... K )  e. 
Fin
8 mapvalg 6995 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  ( 1 ... K
)  e.  Fin )  ->  ( ( 1 ... N )  ^m  (
1 ... K ) )  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) } )
96, 7, 8mp2an 654 . . . 4  |-  ( ( 1 ... N )  ^m  ( 1 ... K ) )  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
104, 9eqtr4i 2435 . . 3  |-  S  =  ( ( 1 ... N )  ^m  (
1 ... K ) )
11 mapfi 7369 . . . 4  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  ( 1 ... K
)  e.  Fin )  ->  ( ( 1 ... N )  ^m  (
1 ... K ) )  e.  Fin )
126, 7, 11mp2an 654 . . 3  |-  ( ( 1 ... N )  ^m  ( 1 ... K ) )  e. 
Fin
1310, 12eqeltri 2482 . 2  |-  S  e. 
Fin
14 elfz1end 11045 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( 1 ... N
) )
15 ne0i 3602 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 1 ... N )  ->  (
1 ... N )  =/=  (/) )
1614, 15sylbi 188 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  =/=  (/) )
1710eqeq1i 2419 . . . . 5  |-  ( S  =  (/)  <->  ( ( 1 ... N )  ^m  ( 1 ... K
) )  =  (/) )
18 ovex 6073 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
19 ovex 6073 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... K )  e. 
_V
2018, 19map0 7021 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... N
)  ^m  ( 1 ... K ) )  =  (/)  <->  ( ( 1 ... N )  =  (/)  /\  ( 1 ... K )  =/=  (/) ) )
2120simplbi 447 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... N
)  ^m  ( 1 ... K ) )  =  (/)  ->  ( 1 ... N )  =  (/) )
2217, 21sylbi 188 . . . 4  |-  ( S  =  (/)  ->  ( 1 ... N )  =  (/) )
2322necon3i 2614 . . 3  |-  ( ( 1 ... N )  =/=  (/)  ->  S  =/=  (/) )
2416, 23syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  S  =/=  (/) )
255, 13, 243pm3.2i 1132 1  |-  ( T 
C_  S  /\  S  e.  Fin  /\  ( N  e.  NN  ->  S  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2398    =/= wne 2575    C_ wss 3288   (/)c0 3596   -->wf 5417   -1-1->wf1 5418  (class class class)co 6048    ^m cmap 6985   Fincfn 7076   1c1 8955   NNcn 9964   ...cfz 11007
This theorem is referenced by:  birthdaylem3  20753  birthday  20754
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008
  Copyright terms: Public domain W3C validator