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Theorem birthdaylem3 20659
Description: For general  N and  K, upper-bound the fraction of injective functions from  1 ... K to  1 ... N. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s  |-  S  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
birthday.t  |-  T  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
Assertion
Ref Expression
birthdaylem3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( # `  T
)  /  ( # `  S ) )  <_ 
( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) ) )
Distinct variable groups:    f, K    f, N
Allowed substitution hints:    S( f)    T( f)

Proof of Theorem birthdaylem3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 birthday.t . . . . . . . 8  |-  T  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
2 abn0 3589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { f  |  f : ( 1 ... K
) -1-1-> ( 1 ... N ) }  =/=  (/)  <->  E. f  f : ( 1 ... K )
-1-1-> ( 1 ... N
) )
3 ovex 6045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
43brdom 7056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... K )  ~<_  ( 1 ... N
)  <->  E. f  f : ( 1 ... K
) -1-1-> ( 1 ... N ) )
52, 4bitr4i 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { f  |  f : ( 1 ... K
) -1-1-> ( 1 ... N ) }  =/=  (/)  <->  ( 1 ... K )  ~<_  ( 1 ... N
) )
6 hashfz1 11557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... K
) )  =  K )
7 nnnn0 10160 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
8 hashfz1 11557 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
97, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... N ) )  =  N )
106, 9breqan12d 4168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( # `  (
1 ... K ) )  <_  ( # `  (
1 ... N ) )  <-> 
K  <_  N )
)
11 fzfid 11239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1 ... K
)  e.  Fin )
12 fzfid 11239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
13 hashdom 11580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... K
)  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  e.  Fin )  ->  ( ( # `  (
1 ... K ) )  <_  ( # `  (
1 ... N ) )  <-> 
( 1 ... K
)  ~<_  ( 1 ... N ) ) )
1411, 12, 13syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( # `  (
1 ... K ) )  <_  ( # `  (
1 ... N ) )  <-> 
( 1 ... K
)  ~<_  ( 1 ... N ) ) )
15 nn0re 10162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
16 nnre 9939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
17 lenlt 9087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( K  <_  N  <->  -.  N  <  K ) )
1815, 16, 17syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  <_  N  <->  -.  N  <  K ) )
1910, 14, 183bitr3d 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 1 ... K )  ~<_  ( 1 ... N )  <->  -.  N  <  K ) )
205, 19syl5bb 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }  =/=  (/)  <->  -.  N  <  K ) )
2120necon4abid 2614 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }  =  (/)  <->  N  <  K ) )
2221biimpar 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  { f  |  f : ( 1 ... K )
-1-1-> ( 1 ... N
) }  =  (/) )
231, 22syl5eq 2431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  T  =  (/) )
2423fveq2d 5672 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  ( # `  T
)  =  ( # `  (/) ) )
25 hash0 11573 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
2624, 25syl6eq 2435 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  ( # `  T
)  =  0 )
2726oveq1d 6035 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  ( ( # `
 T )  / 
( # `  S ) )  =  ( 0  /  ( # `  S
) ) )
28 birthday.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
2928, 1birthdaylem1 20657 . . . . . . . . 9  |-  ( T 
C_  S  /\  S  e.  Fin  /\  ( N  e.  NN  ->  S  =/=  (/) ) )
3029simp3i 968 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  S  =/=  (/) )
3130ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  S  =/=  (/) )
3229simp2i 967 . . . . . . . 8  |-  S  e. 
Fin
33 hashnncl 11572 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  Fin  ->  (
( # `  S )  e.  NN  <->  S  =/=  (/) ) )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  S )  e.  NN  <->  S  =/=  (/) )
3531, 34sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  ( # `  S
)  e.  NN )
3635nncnd 9948 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  ( # `  S
)  e.  CC )
3735nnne0d 9976 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  ( # `  S
)  =/=  0 )
3836, 37div0d 9721 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  ( 0  /  ( # `  S
) )  =  0 )
3927, 38eqtrd 2419 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  ( ( # `
 T )  / 
( # `  S ) )  =  0 )
4015adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  RR )
4140resqcld 11476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( K ^ 2 )  e.  RR )
4241, 40resubcld 9397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( K ^
2 )  -  K
)  e.  RR )
4342rehalfcld 10146 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  e.  RR )
44 nndivre 9967 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)  e.  RR )
4543, 44sylancom 649 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)  e.  RR )
4645renegcld 9396 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  -> 
-u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N )  e.  RR )
4746adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  -u ( ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 )  /  N )  e.  RR )
4847rpefcld 12633 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
) )  e.  RR+ )
4948rpge0d 10584 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  0  <_  ( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) ) )
5039, 49eqbrtrd 4173 . 2  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  ( ( # `
 T )  / 
( # `  S ) )  <_  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
) ) )
51 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  N  e.  NN )
52 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  K  <_  N )
53 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  K  e.  NN0 )
54 nn0uz 10452 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
5553, 54syl6eleq 2477 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
56 nnz 10235 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
5756ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  N  e.  ZZ )
58 elfz5 10983 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  K  <_  N ) )
5955, 57, 58syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( K  e.  ( 0 ... N
)  <->  K  <_  N ) )
6052, 59mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  K  e.  ( 0 ... N
) )
6128, 1birthdaylem2 20658 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( # `  T )  /  ( # `
 S ) )  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( log `  ( 1  -  ( k  /  N ) ) ) ) )
6251, 60, 61syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( ( # `
 T )  / 
( # `  S ) )  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) ) )
63 fzfid 11239 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( 0 ... ( K  - 
1 ) )  e. 
Fin )
64 elfznn0 11015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
6564adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
6665nn0red 10207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  e.  RR )
6753nn0red 10207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  K  e.  RR )
68 peano2rem 9299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
7069adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
7151adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
7271nnred 9947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
73 elfzle2 10993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  ->  k  <_  ( K  -  1 ) )
7473adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  <_  ( K  -  1 ) )
7551nnred 9947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  N  e.  RR )
7667ltm1d 9875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( K  -  1 )  < 
K )
7769, 67, 75, 76, 52ltletrd 9162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( K  -  1 )  < 
N )
7877adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( K  -  1 )  <  N )
7966, 70, 72, 74, 78lelttrd 9160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  <  N )
8071nncnd 9948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
8180mulid1d 9038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
8279, 81breqtrrd 4179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  <  ( N  x.  1 ) )
83 1re 9023 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
8483a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
8571nngt0d 9975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  0  <  N )
86 ltdivmul 9814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( k  /  N )  <  1  <->  k  <  ( N  x.  1 ) ) )
8766, 84, 72, 85, 86syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( k  /  N
)  <  1  <->  k  <  ( N  x.  1 ) ) )
8882, 87mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
k  /  N )  <  1 )
8966, 71nndivred 9980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
k  /  N )  e.  RR )
90 difrp 10577 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  /  N
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( k  /  N )  <  1  <->  ( 1  -  ( k  /  N ) )  e.  RR+ ) )
9189, 83, 90sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( k  /  N
)  <  1  <->  ( 1  -  ( k  /  N ) )  e.  RR+ ) )
9288, 91mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
1  -  ( k  /  N ) )  e.  RR+ )
9392relogcld 20385 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( log `  ( 1  -  ( k  /  N
) ) )  e.  RR )
9489renegcld 9396 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  -u (
k  /  N )  e.  RR )
95 elfzle1 10992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  ->  0  <_  k )
9695adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  0  <_  k )
97 divge0 9811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <_  k )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  0  <_  ( k  /  N ) )
9866, 96, 72, 85, 97syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  0  <_  ( k  /  N
) )
9989, 98, 88eflegeo 12649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( exp `  ( k  /  N ) )  <_ 
( 1  /  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) )
10089reefcld 12617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( exp `  ( k  /  N ) )  e.  RR )
101 efgt0 12631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  /  N )  e.  RR  ->  0  <  ( exp `  (
k  /  N ) ) )
10289, 101syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  0  <  ( exp `  (
k  /  N ) ) )
10392rpregt0d 10586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( 1  -  (
k  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  ( k  /  N
) ) ) )
104 lerec2 9830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( exp `  (
k  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <  ( exp `  (
k  /  N ) ) )  /\  (
( 1  -  (
k  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  ( k  /  N
) ) ) )  ->  ( ( exp `  ( k  /  N
) )  <_  (
1  /  ( 1  -  ( k  /  N ) ) )  <-> 
( 1  -  (
k  /  N ) )  <_  ( 1  /  ( exp `  (
k  /  N ) ) ) ) )
105100, 102, 103, 104syl21anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( exp `  (
k  /  N ) )  <_  ( 1  /  ( 1  -  ( k  /  N
) ) )  <->  ( 1  -  ( k  /  N ) )  <_ 
( 1  /  ( exp `  ( k  /  N ) ) ) ) )
10699, 105mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
1  -  ( k  /  N ) )  <_  ( 1  / 
( exp `  (
k  /  N ) ) ) )
10792reeflogd 20386 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( exp `  ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) )  =  ( 1  -  ( k  /  N ) ) )
10889recnd 9047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
k  /  N )  e.  CC )
109 efneg 12626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  /  N )  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( k  /  N ) )  =  ( 1  /  ( exp `  ( k  /  N ) ) ) )
110108, 109syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( exp `  -u ( k  /  N ) )  =  ( 1  /  ( exp `  ( k  /  N ) ) ) )
111106, 107, 1103brtr4d 4183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( exp `  ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) )  <_  ( exp `  -u ( k  /  N ) ) )
112 efle 12646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) )  e.  RR  /\  -u ( k  /  N
)  e.  RR )  ->  ( ( log `  ( 1  -  (
k  /  N ) ) )  <_  -u (
k  /  N )  <-> 
( exp `  ( log `  ( 1  -  ( k  /  N
) ) ) )  <_  ( exp `  -u (
k  /  N ) ) ) )
11393, 94, 112syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) )  <_  -u ( k  /  N )  <->  ( exp `  ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) )  <_  ( exp `  -u ( k  /  N ) ) ) )
114111, 113mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( log `  ( 1  -  ( k  /  N
) ) )  <_  -u ( k  /  N
) )
11563, 93, 94, 114fsumle 12505 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) -u ( k  /  N ) )
11663, 108fsumneg 12497 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) -u ( k  /  N )  = 
-u sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( k  /  N
) )
11751nncnd 9948 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  N  e.  CC )
11866recnd 9047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
119 nnne0 9964 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
120119ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  N  =/=  0 )
12163, 117, 118, 120fsumdivc 12496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) k  /  N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( k  /  N
) )
122 arisum2 12567 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) k  =  ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 ) )
12353, 122syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) k  =  ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 ) )
124123oveq1d 6035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) k  /  N )  =  ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
) )
125121, 124eqtr3d 2421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( k  /  N )  =  ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) )
126125negeqd 9232 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  -u sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( k  /  N )  =  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
) )
127116, 126eqtrd 2419 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) -u ( k  /  N )  = 
-u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )
128115, 127breqtrd 4177 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) )  <_  -u ( ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 )  /  N ) )
12963, 93fsumrecl 12455 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) )  e.  RR )
13046adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  -u ( ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 )  /  N )  e.  RR )
131 efle 12646 . . . . 5  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) )  e.  RR  /\  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) )  <_  -u ( ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 )  /  N )  <->  ( exp ` 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) )  <_  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) ) ) )
132129, 130, 131syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( log `  ( 1  -  ( k  /  N ) ) )  <_  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N )  <->  ( exp ` 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) )  <_  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) ) ) )
133128, 132mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( exp ` 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) )  <_  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) ) )
13462, 133eqbrtrd 4173 . 2  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( ( # `
 T )  / 
( # `  S ) )  <_  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
) ) )
13516adantl 453 . 2  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
13650, 134, 135, 40ltlecasei 9114 1  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( # `  T
)  /  ( # `  S ) )  <_ 
( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2373    =/= wne 2550    C_ wss 3263   (/)c0 3571   class class class wbr 4153   -->wf 5390   -1-1->wf1 5391   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    ~<_ cdom 7043   Fincfn 7045   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223   -ucneg 9224    / cdiv 9609   NNcn 9932   2c2 9981   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   RR+crp 10544   ...cfz 10975   ^cexp 11309   #chash 11545   sum_csu 12406   expce 12591   logclog 20319
This theorem is referenced by:  birthday  20660
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ioc 10853  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310  df-fac 11494  df-bc 11521  df-hash 11546  df-shft 11809  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-limsup 12192  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-ef 12597  df-sin 12599  df-cos 12600  df-pi 12602  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-lp 17123  df-perf 17124  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-haus 17301  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-cncf 18779  df-limc 19620  df-dv 19621  df-log 20321
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