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Theorem birthdaylem3 20784
Description: For general  N and  K, upper-bound the fraction of injective functions from  1 ... K to  1 ... N. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s  |-  S  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
birthday.t  |-  T  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
Assertion
Ref Expression
birthdaylem3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( # `  T
)  /  ( # `  S ) )  <_ 
( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) ) )
Distinct variable groups:    f, K    f, N
Allowed substitution hints:    S( f)    T( f)

Proof of Theorem birthdaylem3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 birthday.t . . . . . . . 8  |-  T  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
2 abn0 3638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { f  |  f : ( 1 ... K
) -1-1-> ( 1 ... N ) }  =/=  (/)  <->  E. f  f : ( 1 ... K )
-1-1-> ( 1 ... N
) )
3 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
43brdom 7112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... K )  ~<_  ( 1 ... N
)  <->  E. f  f : ( 1 ... K
) -1-1-> ( 1 ... N ) )
52, 4bitr4i 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { f  |  f : ( 1 ... K
) -1-1-> ( 1 ... N ) }  =/=  (/)  <->  ( 1 ... K )  ~<_  ( 1 ... N
) )
6 hashfz1 11622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... K
) )  =  K )
7 nnnn0 10220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
8 hashfz1 11622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
97, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... N ) )  =  N )
106, 9breqan12d 4219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( # `  (
1 ... K ) )  <_  ( # `  (
1 ... N ) )  <-> 
K  <_  N )
)
11 fzfid 11304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1 ... K
)  e.  Fin )
12 fzfid 11304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
13 hashdom 11645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... K
)  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  e.  Fin )  ->  ( ( # `  (
1 ... K ) )  <_  ( # `  (
1 ... N ) )  <-> 
( 1 ... K
)  ~<_  ( 1 ... N ) ) )
1411, 12, 13syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( # `  (
1 ... K ) )  <_  ( # `  (
1 ... N ) )  <-> 
( 1 ... K
)  ~<_  ( 1 ... N ) ) )
15 nn0re 10222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
16 nnre 9999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
17 lenlt 9146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( K  <_  N  <->  -.  N  <  K ) )
1815, 16, 17syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  <_  N  <->  -.  N  <  K ) )
1910, 14, 183bitr3d 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 1 ... K )  ~<_  ( 1 ... N )  <->  -.  N  <  K ) )
205, 19syl5bb 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }  =/=  (/)  <->  -.  N  <  K ) )
2120necon4abid 2662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }  =  (/)  <->  N  <  K ) )
2221biimpar 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  { f  |  f : ( 1 ... K )
-1-1-> ( 1 ... N
) }  =  (/) )
231, 22syl5eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  T  =  (/) )
2423fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  ( # `  T
)  =  ( # `  (/) ) )
25 hash0 11638 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
2624, 25syl6eq 2483 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  ( # `  T
)  =  0 )
2726oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  ( ( # `
 T )  / 
( # `  S ) )  =  ( 0  /  ( # `  S
) ) )
28 birthday.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
2928, 1birthdaylem1 20782 . . . . . . . . 9  |-  ( T 
C_  S  /\  S  e.  Fin  /\  ( N  e.  NN  ->  S  =/=  (/) ) )
3029simp3i 968 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  S  =/=  (/) )
3130ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  S  =/=  (/) )
3229simp2i 967 . . . . . . . 8  |-  S  e. 
Fin
33 hashnncl 11637 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  Fin  ->  (
( # `  S )  e.  NN  <->  S  =/=  (/) ) )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  S )  e.  NN  <->  S  =/=  (/) )
3531, 34sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  ( # `  S
)  e.  NN )
3635nncnd 10008 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  ( # `  S
)  e.  CC )
3735nnne0d 10036 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  ( # `  S
)  =/=  0 )
3836, 37div0d 9781 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  ( 0  /  ( # `  S
) )  =  0 )
3927, 38eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  ( ( # `
 T )  / 
( # `  S ) )  =  0 )
4015adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  RR )
4140resqcld 11541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( K ^ 2 )  e.  RR )
4241, 40resubcld 9457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( K ^
2 )  -  K
)  e.  RR )
4342rehalfcld 10206 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  e.  RR )
44 nndivre 10027 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)  e.  RR )
4543, 44sylancom 649 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)  e.  RR )
4645renegcld 9456 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  -> 
-u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N )  e.  RR )
4746adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  -u ( ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 )  /  N )  e.  RR )
4847rpefcld 12698 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
) )  e.  RR+ )
4948rpge0d 10644 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  0  <_  ( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) ) )
5039, 49eqbrtrd 4224 . 2  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <  K
)  ->  ( ( # `
 T )  / 
( # `  S ) )  <_  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
) ) )
51 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  N  e.  NN )
52 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  K  <_  N )
53 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  K  e.  NN0 )
54 nn0uz 10512 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
5553, 54syl6eleq 2525 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
56 nnz 10295 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
5756ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  N  e.  ZZ )
58 elfz5 11043 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  K  <_  N ) )
5955, 57, 58syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( K  e.  ( 0 ... N
)  <->  K  <_  N ) )
6052, 59mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  K  e.  ( 0 ... N
) )
6128, 1birthdaylem2 20783 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( # `  T )  /  ( # `
 S ) )  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( log `  ( 1  -  ( k  /  N ) ) ) ) )
6251, 60, 61syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( ( # `
 T )  / 
( # `  S ) )  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) ) )
63 fzfid 11304 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( 0 ... ( K  - 
1 ) )  e. 
Fin )
64 elfznn0 11075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
6564adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
6665nn0red 10267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  e.  RR )
6753nn0red 10267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  K  e.  RR )
68 peano2rem 9359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
7069adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
7151adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
7271nnred 10007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
73 elfzle2 11053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  ->  k  <_  ( K  -  1 ) )
7473adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  <_  ( K  -  1 ) )
7551nnred 10007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  N  e.  RR )
7667ltm1d 9935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( K  -  1 )  < 
K )
7769, 67, 75, 76, 52ltletrd 9222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( K  -  1 )  < 
N )
7877adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( K  -  1 )  <  N )
7966, 70, 72, 74, 78lelttrd 9220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  <  N )
8071nncnd 10008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
8180mulid1d 9097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
8279, 81breqtrrd 4230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  <  ( N  x.  1 ) )
83 1re 9082 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
8483a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
8571nngt0d 10035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  0  <  N )
86 ltdivmul 9874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( k  /  N )  <  1  <->  k  <  ( N  x.  1 ) ) )
8766, 84, 72, 85, 86syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( k  /  N
)  <  1  <->  k  <  ( N  x.  1 ) ) )
8882, 87mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
k  /  N )  <  1 )
8966, 71nndivred 10040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
k  /  N )  e.  RR )
90 difrp 10637 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  /  N
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( k  /  N )  <  1  <->  ( 1  -  ( k  /  N ) )  e.  RR+ ) )
9189, 83, 90sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( k  /  N
)  <  1  <->  ( 1  -  ( k  /  N ) )  e.  RR+ ) )
9288, 91mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
1  -  ( k  /  N ) )  e.  RR+ )
9392relogcld 20510 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( log `  ( 1  -  ( k  /  N
) ) )  e.  RR )
9489renegcld 9456 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  -u (
k  /  N )  e.  RR )
95 elfzle1 11052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  ->  0  <_  k )
9695adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  0  <_  k )
97 divge0 9871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <_  k )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  0  <_  ( k  /  N ) )
9866, 96, 72, 85, 97syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  0  <_  ( k  /  N
) )
9989, 98, 88eflegeo 12714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( exp `  ( k  /  N ) )  <_ 
( 1  /  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) )
10089reefcld 12682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( exp `  ( k  /  N ) )  e.  RR )
101 efgt0 12696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  /  N )  e.  RR  ->  0  <  ( exp `  (
k  /  N ) ) )
10289, 101syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  0  <  ( exp `  (
k  /  N ) ) )
10392rpregt0d 10646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( 1  -  (
k  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  ( k  /  N
) ) ) )
104 lerec2 9890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( exp `  (
k  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <  ( exp `  (
k  /  N ) ) )  /\  (
( 1  -  (
k  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  ( k  /  N
) ) ) )  ->  ( ( exp `  ( k  /  N
) )  <_  (
1  /  ( 1  -  ( k  /  N ) ) )  <-> 
( 1  -  (
k  /  N ) )  <_  ( 1  /  ( exp `  (
k  /  N ) ) ) ) )
105100, 102, 103, 104syl21anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( exp `  (
k  /  N ) )  <_  ( 1  /  ( 1  -  ( k  /  N
) ) )  <->  ( 1  -  ( k  /  N ) )  <_ 
( 1  /  ( exp `  ( k  /  N ) ) ) ) )
10699, 105mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
1  -  ( k  /  N ) )  <_  ( 1  / 
( exp `  (
k  /  N ) ) ) )
10792reeflogd 20511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( exp `  ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) )  =  ( 1  -  ( k  /  N ) ) )
10889recnd 9106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
k  /  N )  e.  CC )
109 efneg 12691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  /  N )  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( k  /  N ) )  =  ( 1  /  ( exp `  ( k  /  N ) ) ) )
110108, 109syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( exp `  -u ( k  /  N ) )  =  ( 1  /  ( exp `  ( k  /  N ) ) ) )
111106, 107, 1103brtr4d 4234 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( exp `  ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) )  <_  ( exp `  -u ( k  /  N ) ) )
112 efle 12711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) )  e.  RR  /\  -u ( k  /  N
)  e.  RR )  ->  ( ( log `  ( 1  -  (
k  /  N ) ) )  <_  -u (
k  /  N )  <-> 
( exp `  ( log `  ( 1  -  ( k  /  N
) ) ) )  <_  ( exp `  -u (
k  /  N ) ) ) )
11393, 94, 112syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) )  <_  -u ( k  /  N )  <->  ( exp `  ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) )  <_  ( exp `  -u ( k  /  N ) ) ) )
114111, 113mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( log `  ( 1  -  ( k  /  N
) ) )  <_  -u ( k  /  N
) )
11563, 93, 94, 114fsumle 12570 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) -u ( k  /  N ) )
11663, 108fsumneg 12562 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) -u ( k  /  N )  = 
-u sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( k  /  N
) )
11751nncnd 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  N  e.  CC )
11866recnd 9106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
119 nnne0 10024 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
120119ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  N  =/=  0 )
12163, 117, 118, 120fsumdivc 12561 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) k  /  N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( k  /  N
) )
122 arisum2 12632 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) k  =  ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 ) )
12353, 122syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) k  =  ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 ) )
124123oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) k  /  N )  =  ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
) )
125121, 124eqtr3d 2469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( k  /  N )  =  ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) )
126125negeqd 9292 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  -u sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( k  /  N )  =  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
) )
127116, 126eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) -u ( k  /  N )  = 
-u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )
128115, 127breqtrd 4228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) )  <_  -u ( ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 )  /  N ) )
12963, 93fsumrecl 12520 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) )  e.  RR )
13046adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  -u ( ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 )  /  N )  e.  RR )
131 efle 12711 . . . . 5  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) )  e.  RR  /\  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) )  <_  -u ( ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 )  /  N )  <->  ( exp ` 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) )  <_  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) ) ) )
132129, 130, 131syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( log `  ( 1  -  ( k  /  N ) ) )  <_  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N )  <->  ( exp ` 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) )  <_  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) ) ) )
133128, 132mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( exp ` 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) )  <_  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) ) )
13462, 133eqbrtrd 4224 . 2  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  K  <_  N
)  ->  ( ( # `
 T )  / 
( # `  S ) )  <_  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
) ) )
13516adantl 453 . 2  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
13650, 134, 135, 40ltlecasei 9173 1  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( # `  T
)  /  ( # `  S ) )  <_ 
( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421    =/= wne 2598    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ~<_ cdom 7099   Fincfn 7101   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   -ucneg 9284    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   RR+crp 10604   ...cfz 11035   ^cexp 11374   #chash 11610   sum_csu 12471   expce 12656   logclog 20444
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446
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