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Theorem bisig0 26165
Description: Definition of a geometry that can build on the axioms of incidence. Definition of an Incidence-Betweenness Geometry in [AitkenIBG] p. 1-2. (For my private use only. Don't use.) (Contributed by FL, 1-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
bisig0.1  |-  P  =  (PPoints `  I )
bisig0.2  |-  L  =  (PLines `  I )
Assertion
Ref Expression
bisig0  |-  ( I  e. Ig 
<->  ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, l,
y, z, L    P, l, x, y, z
Allowed substitution hints:    I( x, y, z, l)

Proof of Theorem bisig0
Dummy variables  f 
g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ig2 26164 . . 3  |- Ig  =  {
f  |  [. (PPoints `  f )  /  g ]. [. (PLines `  f
)  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g 
( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) }
21eleq2i 2360 . 2  |-  ( I  e. Ig 
<->  I  e.  { f  |  [. (PPoints `  f
)  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) } )
3 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( f  =  I  ->  (PPoints `  f )  =  (PPoints `  I ) )
4 dfsbcq 3006 . . . . 5  |-  ( (PPoints `  f )  =  (PPoints `  I )  ->  ( [. (PPoints `  f )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( f  =  I  ->  ( [. (PPoints `  f )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
6 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( f  =  I  ->  (PLines `  f )  =  (PLines `  I ) )
7 dfsbcq 3006 . . . . . 6  |-  ( (PLines `  f )  =  (PLines `  I )  ->  ( [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
87sbcbidv 3058 . . . . 5  |-  ( (PLines `  f )  =  (PLines `  I )  ->  ( [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
96, 8syl 15 . . . 4  |-  ( f  =  I  ->  ( [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
105, 9bitrd 244 . . 3  |-  ( f  =  I  ->  ( [. (PPoints `  f )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
11 eqid 2296 . . 3  |-  { f  |  [. (PPoints `  f
)  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) }  =  { f  |  [. (PPoints `  f
)  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) }
1210, 11elab4g 2931 . 2  |-  ( I  e.  { f  | 
[. (PPoints `  f )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) }  <->  ( I  e. 
_V  /\  [. (PPoints `  I
)  /  g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
13 bisig0.1 . . . . . . 7  |-  P  =  (PPoints `  I )
1413eqcomi 2300 . . . . . 6  |-  (PPoints `  I
)  =  P
15 dfsbcq 3006 . . . . . . 7  |-  ( (PPoints `  I )  =  P  ->  ( [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  I
)  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g 
( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. P  /  g ]. [. (PLines `  I
)  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g 
( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
16 bisig0.2 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  (PLines `  I )
1716eqcomi 2300 . . . . . . . . 9  |-  (PLines `  I )  =  L
18 dfsbcq 3006 . . . . . . . . 9  |-  ( (PLines `  I )  =  L  ->  ( [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. L  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. L  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )
2019sbcbii 3059 . . . . . . 7  |-  ( [. P  /  g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. P  /  g ]. [. L  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )
2115, 20syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( (PPoints `  I )  =  P  ->  ( [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  I
)  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g 
( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. P  /  g ]. [. L  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
2214, 21ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( [. (PPoints `  I )  / 
g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. P  /  g ]. [. L  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )
23 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  (PPoints `  I
)  e.  _V
2413, 23eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  P  e. 
_V
25 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  (PLines `  I )  e.  _V
2616, 25eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  L  e. 
_V
27 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  h  =  L )
28 sseq2 3213 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  P  ->  (
l  C_  g  <->  l  C_  P ) )
2928adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( l  C_  g  <->  l 
C_  P ) )
3027, 29raleqbidv 2761 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( A. l  e.  h  l  C_  g  <->  A. l  e.  L  l 
C_  P ) )
31 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  g  =  P )
32 biidd 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( ( x  e.  l  /\  y  e.  l )  <->  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) )
3332, 27reubidvag 25038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l )  <->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) )
3433imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  <->  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) ) )
3531, 34raleqbidv 2761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  <->  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) ) )
3631, 35raleqbidv 2761 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  <->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) ) )
3731rexeqdv 2756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( E. y  e.  g  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  <->  E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) )
3831, 37rexeqbidv 2762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( E. x  e.  g  E. y  e.  g  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) )
3927, 38raleqbidv 2761 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  <->  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) )
4027raleqdv 2755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l )  <->  A. l  e.  L  -.  (
x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l )
) )
4140anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) )  <->  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
4231, 41rexeqbidv 2762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) )  <->  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
4331, 42rexeqbidv 2762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) )  <->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
4431, 43rexeqbidv 2762 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
4536, 39, 443anbi123d 1252 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  <->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )
4630, 45anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <-> 
( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
4724, 26, 46sbc2ie 3071 . . . . 5  |-  ( [. P  /  g ]. [. L  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <-> 
( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )
4822, 47bitri 240 . . . 4  |-  ( [. (PPoints `  I )  / 
g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <-> 
( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )
4948anbi2i 675 . . 3  |-  ( ( I  e.  _V  /\  [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  <->  ( I  e. 
_V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
50 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  ->  I  e.  _V )
51 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  ->  A. l  e.  L  l  C_  P )
52 simprr1 1003 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) )
53 simprr2 1004 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  ->  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l ) )
5451, 52, 533jca 1132 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  ->  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
) )
55 simprr3 1005 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )
5650, 54, 553jca 1132 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  ->  ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
57 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  ->  I  e.  _V )
58 simp21 988 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  ->  A. l  e.  L  l  C_  P )
59 simp22 989 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) ) )
60 simp23 990 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  ->  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l
) )
61 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )
6259, 60, 613jca 1132 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  -> 
( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
6357, 58, 62jca32 521 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  -> 
( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
6456, 63impbii 180 . . 3  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  <->  ( I  e. 
_V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
6549, 64bitri 240 . 2  |-  ( ( I  e.  _V  /\  [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  <->  ( I  e. 
_V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
662, 12, 653bitri 262 1  |-  ( I  e. Ig 
<->  ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   E!wreu 2558   _Vcvv 2801   [.wsbc 3004    C_ wss 3165   ` cfv 5271  PPointscpoints 26159  PLinescplines 26161  Igcig 26163
This theorem is referenced by:  isig1a2  26166  isig22  26168  elhaltdp  26170  tethpnc  26173
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ig2 26164
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