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Theorem bitscmp 12629
Description: The bit complement of  N is  -u N  -  1. (Thus, by bitsfi 12628, all negative numbers have cofinite bits representations.) (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitscmp  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( NN0  \  (bits `  N
) )  =  (bits `  ( -u N  - 
1 ) ) )

Proof of Theorem bitscmp
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsval2 12616 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( m  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
2 2z 10054 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
32a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
2  e.  ZZ )
4 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
54zred 10117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
6 2nn 9877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
76a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
2  e.  NN )
8 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
97, 8nnexpcld 11266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
105, 9nndivred 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( N  /  (
2 ^ m ) )  e.  RR )
1110flcld 10930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  e.  ZZ )
12 dvdsnegb 12546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  <->  2  ||  -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
133, 11, 12syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2  ||  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  <->  2  ||  -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
1413notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  <->  -.  2  ||  -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )
1511znegcld 10119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  e.  ZZ )
16 oddm1even 12588 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  <->  2  ||  ( -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  -  1 ) ) )
1715, 16syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -.  2  ||  -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  <->  2  ||  ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 ) ) )
1811zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  e.  RR )
1918recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  e.  CC )
20 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
2120a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
1  e.  RR )
2221recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
2319, 22negdi2d 9171 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u ( ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  +  1 )  =  ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 ) )
24 flltp1 10932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  /  ( 2 ^ m ) )  e.  RR  ->  ( N  /  ( 2 ^ m ) )  < 
( ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  +  1 ) )
2510, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( N  /  (
2 ^ m ) )  <  ( ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  +  1 ) )
2618, 21readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  +  1 )  e.  RR )
2710, 26ltnegd 9350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( N  / 
( 2 ^ m
) )  <  (
( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  +  1 )  <->  -u ( ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  +  1 )  <  -u ( N  /  (
2 ^ m ) ) ) )
2825, 27mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u ( ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  +  1 )  <  -u ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )
2923, 28eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  -  1 )  <  -u ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )
305recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
319nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  CC )
329nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  =/=  0 )
3330, 31, 32divnegd 9549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u ( N  /  (
2 ^ m ) )  =  ( -u N  /  ( 2 ^ m ) ) )
3429, 33breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  -  1 )  <  ( -u N  /  ( 2 ^ m ) ) )
35 1z 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ZZ
3635a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
1  e.  ZZ )
3715, 36zsubcld 10122 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  -  1 )  e.  ZZ )
3837zred 10117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  -  1 )  e.  RR )
395renegcld 9210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u N  e.  RR )
409nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  RR+ )
4138, 39, 40ltmuldivd 10433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 )  x.  ( 2 ^ m
) )  <  -u N  <->  (
-u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  -  1 )  <  ( -u N  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
4234, 41mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  - 
1 )  x.  (
2 ^ m ) )  <  -u N
)
439nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  ZZ )
4437, 43zmulcld 10123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  - 
1 )  x.  (
2 ^ m ) )  e.  ZZ )
45 znegcl 10055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
464, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u N  e.  ZZ )
47 zltlem1 10070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  - 
1 )  x.  (
2 ^ m ) )  e.  ZZ  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  ( ( (
-u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  -  1 )  x.  ( 2 ^ m ) )  <  -u N  <->  ( ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 )  x.  ( 2 ^ m
) )  <_  ( -u N  -  1 ) ) )
4844, 46, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 )  x.  ( 2 ^ m
) )  <  -u N  <->  ( ( -u ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  - 
1 )  x.  (
2 ^ m ) )  <_  ( -u N  -  1 ) ) )
4942, 48mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  - 
1 )  x.  (
2 ^ m ) )  <_  ( -u N  -  1 ) )
5039, 21resubcld 9211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -u N  -  1 )  e.  RR )
5138, 50, 40lemuldivd 10435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 )  x.  ( 2 ^ m
) )  <_  ( -u N  -  1 )  <-> 
( -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  -  1 )  <_  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
5249, 51mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  -  1 )  <_  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) )
53 flle 10931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  /  ( 2 ^ m ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  <_ 
( N  /  (
2 ^ m ) ) )
5410, 53syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  <_  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )
5518, 10lenegd 9351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  <_  ( N  /  ( 2 ^ m ) )  <->  -u ( N  /  ( 2 ^ m ) )  <_  -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
5654, 55mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u ( N  /  (
2 ^ m ) )  <_  -u ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) )
5733, 56eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -u N  /  (
2 ^ m ) )  <_  -u ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) )
5818renegcld 9210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  e.  RR )
5939, 58, 40ledivmuld 10439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( -u N  /  ( 2 ^ m ) )  <_  -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  <->  -u N  <_  ( ( 2 ^ m )  x.  -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) ) ) ) )
6057, 59mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u N  <_  ( (
2 ^ m )  x.  -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) ) ) )
6143, 15zmulcld 10123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( 2 ^ m )  x.  -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) )  e.  ZZ )
62 zlem1lt 10069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u N  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ m )  x.  -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( -u N  <_  (
( 2 ^ m
)  x.  -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) )  <-> 
( -u N  -  1 )  <  ( ( 2 ^ m )  x.  -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) ) ) ) )
6346, 61, 62syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -u N  <_  (
( 2 ^ m
)  x.  -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) )  <-> 
( -u N  -  1 )  <  ( ( 2 ^ m )  x.  -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) ) ) ) )
6460, 63mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -u N  -  1 )  <  ( ( 2 ^ m )  x.  -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) ) ) )
6550, 58, 40ltdivmuld 10437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) )  <  -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  <-> 
( -u N  -  1 )  <  ( ( 2 ^ m )  x.  -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) ) ) ) )
6664, 65mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( -u N  -  1 )  / 
( 2 ^ m
) )  <  -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) )
6719negcld 9144 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  e.  CC )
6867, 22npcand 9161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  - 
1 )  +  1 )  =  -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) )
6966, 68breqtrrd 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( -u N  -  1 )  / 
( 2 ^ m
) )  <  (
( -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  -  1 )  +  1 ) )
7050, 9nndivred 9794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( -u N  -  1 )  / 
( 2 ^ m
) )  e.  RR )
71 flbi 10946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( -u N  -  1 )  / 
( 2 ^ m
) )  e.  RR  /\  ( -u ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  - 
1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( |_
`  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  - 
1 )  <->  ( ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 )  <_ 
( ( -u N  -  1 )  / 
( 2 ^ m
) )  /\  (
( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) )  <  ( ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 )  +  1 ) ) ) )
7270, 37, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( ( -u N  -  1 )  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( -u ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  - 
1 )  <->  ( ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 )  <_ 
( ( -u N  -  1 )  / 
( 2 ^ m
) )  /\  (
( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) )  <  ( ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 )  +  1 ) ) ) )
7352, 69, 72mpbir2and 888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 ) )
7473breq2d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2  ||  ( |_ `  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) )  <->  2  ||  ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 ) ) )
7517, 74bitr4d 247 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -.  2  ||  -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  <->  2  ||  ( |_
`  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
761, 14, 753bitrd 270 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( m  e.  (bits `  N )  <->  2  ||  ( |_ `  ( (
-u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
7776notbid 285 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -.  m  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_
`  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
7877pm5.32da 622 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( m  e.  NN0  /\ 
-.  m  e.  (bits `  N ) )  <->  ( m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  (
( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
7935a1i 10 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  ZZ )
8045, 79zsubcld 10122 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -u N  -  1 )  e.  ZZ )
8180biantrurd 494 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( m  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  ( |_ `  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) )  <->  ( ( -u N  -  1 )  e.  ZZ  /\  (
m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) ) ) )
8278, 81bitrd 244 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( m  e.  NN0  /\ 
-.  m  e.  (bits `  N ) )  <->  ( ( -u N  -  1 )  e.  ZZ  /\  (
m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) ) ) )
83 eldif 3162 . . 3  |-  ( m  e.  ( NN0  \  (bits `  N ) )  <->  ( m  e.  NN0  /\  -.  m  e.  (bits `  N )
) )
84 bitsval 12615 . . . 4  |-  ( m  e.  (bits `  ( -u N  -  1 ) )  <->  ( ( -u N  -  1 )  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  (
( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
85 3anass 938 . . . 4  |-  ( ( ( -u N  - 
1 )  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) )  <->  ( ( -u N  -  1 )  e.  ZZ  /\  (
m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
8684, 85bitri 240 . . 3  |-  ( m  e.  (bits `  ( -u N  -  1 ) )  <->  ( ( -u N  -  1 )  e.  ZZ  /\  (
m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
8782, 83, 863bitr4g 279 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
m  e.  ( NN0  \  (bits `  N )
)  <->  m  e.  (bits `  ( -u N  - 
1 ) ) ) )
8887eqrdv 2281 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( NN0  \  (bits `  N
) )  =  (bits `  ( -u N  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   |_cfl 10924   ^cexp 11104    || cdivides 12531  bitscbits 12610
This theorem is referenced by:  m1bits  12631  bitsf1  12637
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-dvds 12532  df-bits 12613
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