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Theorem bitscmp 12913
Description: The bit complement of  N is  -u N  -  1. (Thus, by bitsfi 12912, all negative numbers have cofinite bits representations.) (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitscmp  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( NN0  \  (bits `  N
) )  =  (bits `  ( -u N  - 
1 ) ) )

Proof of Theorem bitscmp
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsval2 12900 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( m  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
2 2z 10276 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
2  e.  ZZ )
4 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
54zred 10339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
6 2nn 10097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
76a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
2  e.  NN )
8 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
97, 8nnexpcld 11507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
105, 9nndivred 10012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( N  /  (
2 ^ m ) )  e.  RR )
1110flcld 11170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  e.  ZZ )
12 dvdsnegb 12830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  <->  2  ||  -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
133, 11, 12syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2  ||  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  <->  2  ||  -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
1413notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  <->  -.  2  ||  -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )
1511znegcld 10341 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  e.  ZZ )
16 oddm1even 12872 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  <->  2  ||  ( -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  -  1 ) ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -.  2  ||  -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  <->  2  ||  ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 ) ) )
18 flltp1 11172 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  /  ( 2 ^ m ) )  e.  RR  ->  ( N  /  ( 2 ^ m ) )  < 
( ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  +  1 ) )
1910, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( N  /  (
2 ^ m ) )  <  ( ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  +  1 ) )
2011zred 10339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  e.  RR )
21 1re 9054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
1  e.  RR )
2320, 22readdcld 9079 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  +  1 )  e.  RR )
2410, 23ltnegd 9568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( N  / 
( 2 ^ m
) )  <  (
( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  +  1 )  <->  -u ( ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  +  1 )  <  -u ( N  /  (
2 ^ m ) ) ) )
2519, 24mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u ( ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  +  1 )  <  -u ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )
2620recnd 9078 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  e.  CC )
2722recnd 9078 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
2826, 27negdi2d 9389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u ( ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  +  1 )  =  ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 ) )
295recnd 9078 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
309nncnd 9980 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  CC )
319nnne0d 10008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  =/=  0 )
3229, 30, 31divnegd 9767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u ( N  /  (
2 ^ m ) )  =  ( -u N  /  ( 2 ^ m ) ) )
3325, 28, 323brtr3d 4209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  -  1 )  <  ( -u N  /  ( 2 ^ m ) ) )
34 1z 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ZZ
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
1  e.  ZZ )
3615, 35zsubcld 10344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  -  1 )  e.  ZZ )
3736zred 10339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  -  1 )  e.  RR )
385renegcld 9428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u N  e.  RR )
399nnrpd 10611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  RR+ )
4037, 38, 39ltmuldivd 10655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 )  x.  ( 2 ^ m
) )  <  -u N  <->  (
-u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  -  1 )  <  ( -u N  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
4133, 40mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  - 
1 )  x.  (
2 ^ m ) )  <  -u N
)
429nnzd 10338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  ZZ )
4336, 42zmulcld 10345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  - 
1 )  x.  (
2 ^ m ) )  e.  ZZ )
444znegcld 10341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u N  e.  ZZ )
45 zltlem1 10292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  - 
1 )  x.  (
2 ^ m ) )  e.  ZZ  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  ( ( (
-u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  -  1 )  x.  ( 2 ^ m ) )  <  -u N  <->  ( ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 )  x.  ( 2 ^ m
) )  <_  ( -u N  -  1 ) ) )
4643, 44, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 )  x.  ( 2 ^ m
) )  <  -u N  <->  ( ( -u ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  - 
1 )  x.  (
2 ^ m ) )  <_  ( -u N  -  1 ) ) )
4741, 46mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  - 
1 )  x.  (
2 ^ m ) )  <_  ( -u N  -  1 ) )
4838, 22resubcld 9429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -u N  -  1 )  e.  RR )
4937, 48, 39lemuldivd 10657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 )  x.  ( 2 ^ m
) )  <_  ( -u N  -  1 )  <-> 
( -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  -  1 )  <_  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
5047, 49mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  -  1 )  <_  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) )
51 flle 11171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  /  ( 2 ^ m ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  <_ 
( N  /  (
2 ^ m ) ) )
5210, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  <_  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )
5320, 10lenegd 9569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  <_  ( N  /  ( 2 ^ m ) )  <->  -u ( N  /  ( 2 ^ m ) )  <_  -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
5452, 53mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u ( N  /  (
2 ^ m ) )  <_  -u ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) )
5532, 54eqbrtrrd 4202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -u N  /  (
2 ^ m ) )  <_  -u ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) )
5620renegcld 9428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  e.  RR )
5738, 56, 39ledivmuld 10661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( -u N  /  ( 2 ^ m ) )  <_  -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  <->  -u N  <_  ( ( 2 ^ m )  x.  -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) ) ) ) )
5855, 57mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u N  <_  ( (
2 ^ m )  x.  -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) ) ) )
5942, 15zmulcld 10345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( 2 ^ m )  x.  -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) )  e.  ZZ )
60 zlem1lt 10291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u N  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ m )  x.  -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( -u N  <_  (
( 2 ^ m
)  x.  -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) )  <-> 
( -u N  -  1 )  <  ( ( 2 ^ m )  x.  -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) ) ) ) )
6144, 59, 60syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -u N  <_  (
( 2 ^ m
)  x.  -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) )  <-> 
( -u N  -  1 )  <  ( ( 2 ^ m )  x.  -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) ) ) ) )
6258, 61mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -u N  -  1 )  <  ( ( 2 ^ m )  x.  -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) ) ) )
6348, 56, 39ltdivmuld 10659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) )  <  -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  <-> 
( -u N  -  1 )  <  ( ( 2 ^ m )  x.  -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) ) ) ) )
6462, 63mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( -u N  -  1 )  / 
( 2 ^ m
) )  <  -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) )
6526negcld 9362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  e.  CC )
6665, 27npcand 9379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  - 
1 )  +  1 )  =  -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) )
6764, 66breqtrrd 4206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( -u N  -  1 )  / 
( 2 ^ m
) )  <  (
( -u ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  -  1 )  +  1 ) )
6848, 9nndivred 10012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( -u N  -  1 )  / 
( 2 ^ m
) )  e.  RR )
69 flbi 11186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( -u N  -  1 )  / 
( 2 ^ m
) )  e.  RR  /\  ( -u ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  - 
1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( |_
`  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( -u ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  - 
1 )  <->  ( ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 )  <_ 
( ( -u N  -  1 )  / 
( 2 ^ m
) )  /\  (
( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) )  <  ( ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 )  +  1 ) ) ) )
7068, 36, 69syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( ( -u N  -  1 )  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( -u ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  - 
1 )  <->  ( ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 )  <_ 
( ( -u N  -  1 )  / 
( 2 ^ m
) )  /\  (
( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) )  <  ( ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 )  +  1 ) ) ) )
7150, 67, 70mpbir2and 889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 ) )
7271breq2d 4192 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2  ||  ( |_ `  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) )  <->  2  ||  ( -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  -  1 ) ) )
7317, 72bitr4d 248 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -.  2  ||  -u ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  <->  2  ||  ( |_
`  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
741, 14, 733bitrd 271 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( m  e.  (bits `  N )  <->  2  ||  ( |_ `  ( (
-u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
7574notbid 286 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( -.  m  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_
`  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
7675pm5.32da 623 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( m  e.  NN0  /\ 
-.  m  e.  (bits `  N ) )  <->  ( m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  (
( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
77 znegcl 10277 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
7834a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  ZZ )
7977, 78zsubcld 10344 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -u N  -  1 )  e.  ZZ )
8079biantrurd 495 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( m  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  ( |_ `  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) )  <->  ( ( -u N  -  1 )  e.  ZZ  /\  (
m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) ) ) )
8176, 80bitrd 245 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( m  e.  NN0  /\ 
-.  m  e.  (bits `  N ) )  <->  ( ( -u N  -  1 )  e.  ZZ  /\  (
m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) ) ) )
82 eldif 3298 . . 3  |-  ( m  e.  ( NN0  \  (bits `  N ) )  <->  ( m  e.  NN0  /\  -.  m  e.  (bits `  N )
) )
83 bitsval 12899 . . . 4  |-  ( m  e.  (bits `  ( -u N  -  1 ) )  <->  ( ( -u N  -  1 )  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  (
( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
84 3anass 940 . . . 4  |-  ( ( ( -u N  - 
1 )  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) )  <->  ( ( -u N  -  1 )  e.  ZZ  /\  (
m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
8583, 84bitri 241 . . 3  |-  ( m  e.  (bits `  ( -u N  -  1 ) )  <->  ( ( -u N  -  1 )  e.  ZZ  /\  (
m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( ( -u N  -  1 )  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
8681, 82, 853bitr4g 280 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
m  e.  ( NN0  \  (bits `  N )
)  <->  m  e.  (bits `  ( -u N  - 
1 ) ) ) )
8786eqrdv 2410 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( NN0  \  (bits `  N
) )  =  (bits `  ( -u N  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    \ cdif 3285   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   RRcr 8953   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255   -ucneg 9256    / cdiv 9641   NNcn 9964   2c2 10013   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   |_cfl 11164   ^cexp 11345    || cdivides 12815  bitscbits 12894
This theorem is referenced by:  m1bits  12915  bitsf1  12921
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-dvds 12816  df-bits 12897
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