MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsf Unicode version

Theorem bitsf 12715
Description: The bits function is a function from integers to subsets of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsf  |- bits : ZZ --> ~P NN0

Proof of Theorem bitsf
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-bits 12710 . 2  |- bits  =  ( n  e.  ZZ  |->  { k  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_
`  ( n  / 
( 2 ^ k
) ) ) } )
2 ssrab2 3334 . . . 4  |-  { k  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_ `  ( n  /  (
2 ^ k ) ) ) }  C_  NN0
3 nn0ex 10063 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
43elpw2 4256 . . . 4  |-  ( { k  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_
`  ( n  / 
( 2 ^ k
) ) ) }  e.  ~P NN0  <->  { k  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_ `  (
n  /  ( 2 ^ k ) ) ) }  C_  NN0 )
52, 4mpbir 200 . . 3  |-  { k  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_ `  ( n  /  (
2 ^ k ) ) ) }  e.  ~P NN0
65a1i 10 . 2  |-  ( n  e.  ZZ  ->  { k  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_ `  ( n  /  (
2 ^ k ) ) ) }  e.  ~P NN0 )
71, 6fmpti 5766 1  |- bits : ZZ --> ~P NN0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1710   {crab 2623    C_ wss 3228   ~Pcpw 3701   class class class wbr 4104   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    / cdiv 9513   2c2 9885   NN0cn0 10057   ZZcz 10116   |_cfl 11016   ^cexp 11197    || cdivides 12628  bitscbits 12707
This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  12732  bitsf1  12734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-nn 9837  df-n0 10058  df-bits 12710
  Copyright terms: Public domain W3C validator