MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsf Structured version   Unicode version

Theorem bitsf 12944
Description: The bits function is a function from integers to subsets of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsf  |- bits : ZZ --> ~P NN0

Proof of Theorem bitsf
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-bits 12939 . 2  |- bits  =  ( n  e.  ZZ  |->  { k  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_
`  ( n  / 
( 2 ^ k
) ) ) } )
2 ssrab2 3430 . . . 4  |-  { k  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_ `  ( n  /  (
2 ^ k ) ) ) }  C_  NN0
3 nn0ex 10232 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
43elpw2 4367 . . . 4  |-  ( { k  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_
`  ( n  / 
( 2 ^ k
) ) ) }  e.  ~P NN0  <->  { k  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_ `  (
n  /  ( 2 ^ k ) ) ) }  C_  NN0 )
52, 4mpbir 202 . . 3  |-  { k  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_ `  ( n  /  (
2 ^ k ) ) ) }  e.  ~P NN0
65a1i 11 . 2  |-  ( n  e.  ZZ  ->  { k  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_ `  ( n  /  (
2 ^ k ) ) ) }  e.  ~P NN0 )
71, 6fmpti 5895 1  |- bits : ZZ --> ~P NN0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1726   {crab 2711    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   class class class wbr 4215   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    / cdiv 9682   2c2 10054   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   |_cfl 11206   ^cexp 11387    || cdivides 12857  bitscbits 12936
This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  12961  bitsf1  12963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-nn 10006  df-n0 10227  df-bits 12939
  Copyright terms: Public domain W3C validator