Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsf1 Structured version   Unicode version

Theorem bitsf1 12958
 Description: The bits function is an injection from to . It is obviously not a bijection (by Cantor's theorem canth2 7260), and in fact its range is the set of finite and cofinite subsets of . (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsf1 bits

Proof of Theorem bitsf1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsf 12939 . 2 bits
2 simpl 444 . . . . . . . 8
32zcnd 10376 . . . . . . 7
43adantr 452 . . . . . 6 bits bits
5 simpr 448 . . . . . . . 8
65zcnd 10376 . . . . . . 7
76adantr 452 . . . . . 6 bits bits
84negcld 9398 . . . . . . 7 bits bits
97negcld 9398 . . . . . . 7 bits bits
10 ax-1cn 9048 . . . . . . . 8
1110a1i 11 . . . . . . 7 bits bits
12 simprr 734 . . . . . . . . . . 11 bits bits bits bits
1312difeq2d 3465 . . . . . . . . . 10 bits bits bits bits
14 bitscmp 12950 . . . . . . . . . . 11 bits bits
1514ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10 bits bits bits bits
16 bitscmp 12950 . . . . . . . . . . 11 bits bits
1716ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10 bits bits bits bits
1813, 15, 173eqtr3d 2476 . . . . . . . . 9 bits bits bits bits
19 nnm1nn0 10261 . . . . . . . . . . 11
2019ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10 bits bits
21 fvres 5745 . . . . . . . . . 10 bits bits
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9 bits bits bits bits
23 ominf 7321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
24 nn0ennn 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25 nnenom 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2624, 25entr2i 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27 enfii 7326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2826, 27mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2923, 28mto 169 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 difinf 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 bits bits
3129, 30mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . 15 bits bits
32 bitsfi 12949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 bits
3320, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 bits bits bits
3415, 33eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15 bits bits bits
3531, 34nsyl3 113 . . . . . . . . . . . . . 14 bits bits bits
3612, 35eqneltrrd 2530 . . . . . . . . . . . . 13 bits bits bits
37 bitsfi 12949 . . . . . . . . . . . . 13 bits
3836, 37nsyl 115 . . . . . . . . . . . 12 bits bits
395znegcld 10377 . . . . . . . . . . . . . . . 16
40 elznn 10297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4140simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4239, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
436negnegd 9402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4443eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544orbi2d 683 . . . . . . . . . . . . . . 15
4642, 45mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14
4746adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 bits bits
4847ord 367 . . . . . . . . . . . 12 bits bits
4938, 48mt3d 119 . . . . . . . . . . 11 bits bits
50 nnm1nn0 10261 . . . . . . . . . . 11
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . 10 bits bits
52 fvres 5745 . . . . . . . . . 10 bits bits
5351, 52syl 16 . . . . . . . . 9 bits bits bits bits
5418, 22, 533eqtr4d 2478 . . . . . . . 8 bits bits bits bits
55 bitsf1o 12957 . . . . . . . . . . 11 bits
56 f1of1 5673 . . . . . . . . . . 11 bits bits
5755, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . 10 bits
58 f1fveq 6008 . . . . . . . . . 10 bits bits bits
5957, 58mpan 652 . . . . . . . . 9 bits bits
6020, 51, 59syl2anc 643 . . . . . . . 8 bits bits bits bits
6154, 60mpbid 202 . . . . . . 7 bits bits
628, 9, 11, 61subcan2d 9453 . . . . . 6 bits bits
634, 7, 62neg11d 9423 . . . . 5 bits bits
6463expr 599 . . . 4 bits bits
653negnegd 9402 . . . . . . 7
6665eleq1d 2502 . . . . . 6
6766biimpa 471 . . . . 5
68 simprr 734 . . . . . . . 8 bits bits bits bits
69 fvres 5745 . . . . . . . . 9 bits bits
7069ad2antrl 709 . . . . . . . 8 bits bits bits bits
7116ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13 bits bits bits bits
72 bitsfi 12949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 bits
7372ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15 bits bits bits
7468, 73eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . 14 bits bits bits
75 difinf 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 bits bits
7629, 74, 75sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13 bits bits bits
7771, 76eqneltrrd 2530 . . . . . . . . . . . 12 bits bits bits
78 bitsfi 12949 . . . . . . . . . . . 12 bits
7977, 78nsyl 115 . . . . . . . . . . 11 bits bits
8079, 50nsyl 115 . . . . . . . . . 10 bits bits
8146adantr 452 . . . . . . . . . . 11 bits bits
8281ord 367 . . . . . . . . . 10 bits bits
8380, 82mpd 15 . . . . . . . . 9 bits bits
84 fvres 5745 . . . . . . . . 9 bits bits
8583, 84syl 16 . . . . . . . 8 bits bits bits bits
8668, 70, 853eqtr4d 2478 . . . . . . 7 bits bits bits bits
87 simprl 733 . . . . . . . 8 bits bits
88 f1fveq 6008 . . . . . . . . 9 bits bits bits
8957, 88mpan 652 . . . . . . . 8 bits bits
9087, 83, 89syl2anc 643 . . . . . . 7 bits bits bits bits
9186, 90mpbid 202 . . . . . 6 bits bits
9291expr 599 . . . . 5 bits bits
9367, 92syldan 457 . . . 4 bits bits
942znegcld 10377 . . . . 5
95 elznn 10297 . . . . . 6
9695simprbi 451 . . . . 5
9794, 96syl 16 . . . 4
9864, 93, 97mpjaodan 762 . . 3 bits bits
9998rgen2a 2772 . 2 bits bits
100 dff13 6004 . 2 bits bits bits bits
1011, 99, 100mpbir2an 887 1 bits
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705   cdif 3317   cin 3319  cpw 3799   class class class wbr 4212  com 4845   cres 4880  wf 5450  wf1 5451  wf1o 5453  cfv 5454  (class class class)co 6081   cen 7106  cfn 7109  cc 8988  cr 8989  c1 8991   cmin 9291  cneg 9292  cn 10000  cn0 10221  cz 10282  bitscbits 12931 This theorem is referenced by:  bitsuz  12986 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-dvds 12853  df-bits 12934
 Copyright terms: Public domain W3C validator