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Theorem bitsf1 12958
Description: The bits function is an injection from  ZZ to  ~P NN0. It is obviously not a bijection (by Cantor's theorem canth2 7260), and in fact its range is the set of finite and cofinite subsets of  NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsf1  |- bits : ZZ -1-1-> ~P
NN0

Proof of Theorem bitsf1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsf 12939 . 2  |- bits : ZZ --> ~P NN0
2 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  e.  ZZ )
32zcnd 10376 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  e.  CC )
43adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  x  e.  CC )
5 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  ZZ )
65zcnd 10376 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  CC )
76adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  y  e.  CC )
84negcld 9398 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -u x  e.  CC )
97negcld 9398 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -u y  e.  CC )
10 ax-1cn 9048 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  1  e.  CC )
12 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) )
1312difeq2d 3465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( NN0  \  (bits `  x ) )  =  ( NN0  \  (bits `  y ) ) )
14 bitscmp 12950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( NN0  \  (bits `  x
) )  =  (bits `  ( -u x  - 
1 ) ) )
1514ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( NN0  \  (bits `  x ) )  =  (bits `  ( -u x  -  1 ) ) )
16 bitscmp 12950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( NN0  \  (bits `  y
) )  =  (bits `  ( -u y  - 
1 ) ) )
1716ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( NN0  \  (bits `  y ) )  =  (bits `  ( -u y  -  1 ) ) )
1813, 15, 173eqtr3d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  ( -u x  -  1 ) )  =  (bits `  ( -u y  -  1 ) ) )
19 nnm1nn0 10261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u x  e.  NN  ->  (
-u x  -  1 )  e.  NN0 )
2019ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -u x  -  1 )  e. 
NN0 )
21 fvres 5745 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u x  -  1 )  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  -  1 ) )  =  (bits `  ( -u x  - 
1 ) ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  - 
1 ) )  =  (bits `  ( -u x  -  1 ) ) )
23 ominf 7321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  om  e.  Fin
24 nn0ennn 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  ~~  NN
25 nnenom 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN  ~~  om
2624, 25entr2i 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  om  ~~  NN0
27 enfii 7326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( NN0  e.  Fin  /\  om 
~~  NN0 )  ->  om  e.  Fin )
2826, 27mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( NN0 
e.  Fin  ->  om  e.  Fin )
2923, 28mto 169 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  NN0  e.  Fin
30 difinf 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  NN0  e.  Fin  /\  (bits `  x )  e.  Fin )  ->  -.  ( NN0  \  (bits `  x ) )  e. 
Fin )
3129, 30mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (bits `  x )  e.  Fin  ->  -.  ( NN0  \  (bits `  x ) )  e. 
Fin )
32 bitsfi 12949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u x  -  1 )  e.  NN0  ->  (bits `  ( -u x  - 
1 ) )  e. 
Fin )
3320, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  ( -u x  -  1 ) )  e.  Fin )
3415, 33eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( NN0  \  (bits `  x ) )  e. 
Fin )
3531, 34nsyl3 113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  (bits `  x
)  e.  Fin )
3612, 35eqneltrrd 2530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  (bits `  y
)  e.  Fin )
37 bitsfi 12949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN0  ->  (bits `  y )  e.  Fin )
3836, 37nsyl 115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  y  e.  NN0 )
395znegcld 10377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  -> 
-u y  e.  ZZ )
40 elznn 10297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u y  e.  ZZ  <->  ( -u y  e.  RR  /\  ( -u y  e.  NN  \/  -u -u y  e.  NN0 ) ) )
4140simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u y  e.  ZZ  ->  (
-u y  e.  NN  \/  -u -u y  e.  NN0 ) )
4239, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u y  e.  NN  \/  -u -u y  e.  NN0 ) )
436negnegd 9402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  -> 
-u -u y  =  y )
4443eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u -u y  e.  NN0  <->  y  e.  NN0 ) )
4544orbi2d 683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( -u y  e.  NN  \/  -u -u y  e.  NN0 )  <->  ( -u y  e.  NN  \/  y  e. 
NN0 ) ) )
4642, 45mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u y  e.  NN  \/  y  e. 
NN0 ) )
4746adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -u y  e.  NN  \/  y  e. 
NN0 ) )
4847ord 367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -.  -u y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 ) )
4938, 48mt3d 119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -u y  e.  NN )
50 nnm1nn0 10261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u y  e.  NN  ->  (
-u y  -  1 )  e.  NN0 )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -u y  -  1 )  e. 
NN0 )
52 fvres 5745 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u y  -  1 )  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  -  1 ) )  =  (bits `  ( -u y  - 
1 ) ) )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  - 
1 ) )  =  (bits `  ( -u y  -  1 ) ) )
5418, 22, 533eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  - 
1 ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  - 
1 ) ) )
55 bitsf1o 12957 . . . . . . . . . . 11  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )
56 f1of1 5673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-> ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )
5755, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-> ( ~P NN0  i^i 
Fin )
58 f1fveq 6008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-> ( ~P NN0  i^i 
Fin )  /\  (
( -u x  -  1 )  e.  NN0  /\  ( -u y  -  1 )  e.  NN0 )
)  ->  ( (
(bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  -  1 ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  -  1 ) )  <->  ( -u x  -  1 )  =  ( -u y  - 
1 ) ) )
5957, 58mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -u x  - 
1 )  e.  NN0  /\  ( -u y  - 
1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  -  1 ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  -  1 ) )  <->  ( -u x  -  1 )  =  ( -u y  - 
1 ) ) )
6020, 51, 59syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  -  1 ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  -  1 ) )  <->  ( -u x  -  1 )  =  ( -u y  - 
1 ) ) )
6154, 60mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -u x  -  1 )  =  ( -u y  - 
1 ) )
628, 9, 11, 61subcan2d 9453 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -u x  =  -u y )
634, 7, 62neg11d 9423 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  x  =  y )
6463expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  -u x  e.  NN )  ->  ( (bits `  x )  =  (bits `  y )  ->  x  =  y ) )
653negnegd 9402 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  -> 
-u -u x  =  x )
6665eleq1d 2502 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u -u x  e.  NN0  <->  x  e.  NN0 ) )
6766biimpa 471 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  -u -u x  e.  NN0 )  ->  x  e.  NN0 )
68 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) )
69 fvres 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  x
)  =  (bits `  x ) )
7069ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  x )  =  (bits `  x ) )
7116ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( NN0  \  (bits `  y ) )  =  (bits `  ( -u y  -  1 ) ) )
72 bitsfi 12949 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  NN0  ->  (bits `  x )  e.  Fin )
7372ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  x
)  e.  Fin )
7468, 73eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  y
)  e.  Fin )
75 difinf 7377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  NN0  e.  Fin  /\  (bits `  y )  e.  Fin )  ->  -.  ( NN0  \  (bits `  y ) )  e. 
Fin )
7629, 74, 75sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  ( NN0  \  (bits `  y )
)  e.  Fin )
7771, 76eqneltrrd 2530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  (bits `  ( -u y  -  1 ) )  e.  Fin )
78 bitsfi 12949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u y  -  1 )  e.  NN0  ->  (bits `  ( -u y  - 
1 ) )  e. 
Fin )
7977, 78nsyl 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  ( -u y  -  1 )  e. 
NN0 )
8079, 50nsyl 115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  -u y  e.  NN )
8146adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -u y  e.  NN  \/  y  e. 
NN0 ) )
8281ord 367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -.  -u y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 ) )
8380, 82mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  y  e.  NN0 )
84 fvres 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  y
)  =  (bits `  y ) )
8583, 84syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  y )  =  (bits `  y ) )
8668, 70, 853eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  x )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  y ) )
87 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  x  e.  NN0 )
88 f1fveq 6008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-> ( ~P NN0  i^i 
Fin )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 ) )  ->  ( ( (bits  |`  NN0 ) `  x
)  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  y
)  <->  x  =  y
) )
8957, 88mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( (bits  |`  NN0 ) `  x )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  y )  <->  x  =  y ) )
9087, 83, 89syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( ( (bits  |`  NN0 ) `  x
)  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  y
)  <->  x  =  y
) )
9186, 90mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  x  =  y )
9291expr 599 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( (bits `  x )  =  (bits `  y )  ->  x  =  y ) )
9367, 92syldan 457 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  -u -u x  e.  NN0 )  ->  ( (bits `  x )  =  (bits `  y )  ->  x  =  y ) )
942znegcld 10377 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  -> 
-u x  e.  ZZ )
95 elznn 10297 . . . . . 6  |-  ( -u x  e.  ZZ  <->  ( -u x  e.  RR  /\  ( -u x  e.  NN  \/  -u -u x  e.  NN0 ) ) )
9695simprbi 451 . . . . 5  |-  ( -u x  e.  ZZ  ->  (
-u x  e.  NN  \/  -u -u x  e.  NN0 ) )
9794, 96syl 16 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u x  e.  NN  \/  -u -u x  e.  NN0 ) )
9864, 93, 97mpjaodan 762 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( (bits `  x
)  =  (bits `  y )  ->  x  =  y ) )
9998rgen2a 2772 . 2  |-  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( (bits `  x )  =  (bits `  y )  ->  x  =  y )
100 dff13 6004 . 2  |-  (bits : ZZ
-1-1-> ~P NN0  <->  (bits : ZZ
--> ~P NN0  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( (bits `  x )  =  (bits `  y )  ->  x  =  y ) ) )
1011, 99, 100mpbir2an 887 1  |- bits : ZZ -1-1-> ~P
NN0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705    \ cdif 3317    i^i cin 3319   ~Pcpw 3799   class class class wbr 4212   omcom 4845    |` cres 4880   -->wf 5450   -1-1->wf1 5451   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ~~ cen 7106   Fincfn 7109   CCcc 8988   RRcr 8989   1c1 8991    - cmin 9291   -ucneg 9292   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282  bitscbits 12931
This theorem is referenced by:  bitsuz  12986
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-dvds 12853  df-bits 12934
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