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Theorem bitsf1 12653
Description: The bits function is an injection from  ZZ to  ~P NN0. It is obviously not a bijection (by Cantor's theorem canth2 7030), and in fact its range is the set of finite and cofinite subsets of  NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsf1  |- bits : ZZ -1-1-> ~P
NN0

Proof of Theorem bitsf1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsf 12634 . 2  |- bits : ZZ --> ~P NN0
2 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  e.  ZZ )
32zcnd 10134 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  e.  CC )
43adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  x  e.  CC )
5 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  ZZ )
65zcnd 10134 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  CC )
76adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  y  e.  CC )
84negcld 9160 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -u x  e.  CC )
97negcld 9160 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -u y  e.  CC )
10 ax-1cn 8811 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1110a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  1  e.  CC )
12 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) )
1312difeq2d 3307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( NN0  \  (bits `  x ) )  =  ( NN0  \  (bits `  y ) ) )
14 bitscmp 12645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( NN0  \  (bits `  x
) )  =  (bits `  ( -u x  - 
1 ) ) )
1514ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( NN0  \  (bits `  x ) )  =  (bits `  ( -u x  -  1 ) ) )
16 bitscmp 12645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( NN0  \  (bits `  y
) )  =  (bits `  ( -u y  - 
1 ) ) )
1716ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( NN0  \  (bits `  y ) )  =  (bits `  ( -u y  -  1 ) ) )
1813, 15, 173eqtr3d 2336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  ( -u x  -  1 ) )  =  (bits `  ( -u y  -  1 ) ) )
19 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u x  e.  NN  ->  (
-u x  -  1 )  e.  NN0 )
2019ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -u x  -  1 )  e. 
NN0 )
21 fvres 5558 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u x  -  1 )  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  -  1 ) )  =  (bits `  ( -u x  - 
1 ) ) )
2220, 21syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  - 
1 ) )  =  (bits `  ( -u x  -  1 ) ) )
23 ominf 7091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  om  e.  Fin
24 nn0ennn 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  ~~  NN
25 nnenom 11058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN  ~~  om
2624, 25entr2i 6932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  om  ~~  NN0
27 enfii 7096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( NN0  e.  Fin  /\  om 
~~  NN0 )  ->  om  e.  Fin )
2826, 27mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( NN0 
e.  Fin  ->  om  e.  Fin )
2923, 28mto 167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  NN0  e.  Fin
30 difinf 7143 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  NN0  e.  Fin  /\  (bits `  x )  e.  Fin )  ->  -.  ( NN0  \  (bits `  x ) )  e. 
Fin )
3129, 30mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (bits `  x )  e.  Fin  ->  -.  ( NN0  \  (bits `  x ) )  e. 
Fin )
32 bitsfi 12644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u x  -  1 )  e.  NN0  ->  (bits `  ( -u x  - 
1 ) )  e. 
Fin )
3320, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  ( -u x  -  1 ) )  e.  Fin )
3415, 33eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( NN0  \  (bits `  x ) )  e. 
Fin )
3531, 34nsyl3 111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  (bits `  x
)  e.  Fin )
3612eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits `  x )  e.  Fin  <->  (bits `  y )  e.  Fin ) )
3735, 36mtbid 291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  (bits `  y
)  e.  Fin )
38 bitsfi 12644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN0  ->  (bits `  y )  e.  Fin )
3937, 38nsyl 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  y  e.  NN0 )
405znegcld 10135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  -> 
-u y  e.  ZZ )
41 elznn 10055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u y  e.  ZZ  <->  ( -u y  e.  RR  /\  ( -u y  e.  NN  \/  -u -u y  e.  NN0 ) ) )
4241simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u y  e.  ZZ  ->  (
-u y  e.  NN  \/  -u -u y  e.  NN0 ) )
4340, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u y  e.  NN  \/  -u -u y  e.  NN0 ) )
446negnegd 9164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  -> 
-u -u y  =  y )
4544eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u -u y  e.  NN0  <->  y  e.  NN0 ) )
4645orbi2d 682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( -u y  e.  NN  \/  -u -u y  e.  NN0 )  <->  ( -u y  e.  NN  \/  y  e. 
NN0 ) ) )
4743, 46mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u y  e.  NN  \/  y  e. 
NN0 ) )
4847adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -u y  e.  NN  \/  y  e. 
NN0 ) )
4948ord 366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -.  -u y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 ) )
5039, 49mt3d 117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -u y  e.  NN )
51 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u y  e.  NN  ->  (
-u y  -  1 )  e.  NN0 )
5250, 51syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -u y  -  1 )  e. 
NN0 )
53 fvres 5558 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u y  -  1 )  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  -  1 ) )  =  (bits `  ( -u y  - 
1 ) ) )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  - 
1 ) )  =  (bits `  ( -u y  -  1 ) ) )
5518, 22, 543eqtr4d 2338 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  - 
1 ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  - 
1 ) ) )
56 bitsf1o 12652 . . . . . . . . . . 11  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )
57 f1of1 5487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-> ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )
5856, 57ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-> ( ~P NN0  i^i 
Fin )
59 f1fveq 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-> ( ~P NN0  i^i 
Fin )  /\  (
( -u x  -  1 )  e.  NN0  /\  ( -u y  -  1 )  e.  NN0 )
)  ->  ( (
(bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  -  1 ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  -  1 ) )  <->  ( -u x  -  1 )  =  ( -u y  - 
1 ) ) )
6058, 59mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -u x  - 
1 )  e.  NN0  /\  ( -u y  - 
1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  -  1 ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  -  1 ) )  <->  ( -u x  -  1 )  =  ( -u y  - 
1 ) ) )
6120, 52, 60syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  -  1 ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  -  1 ) )  <->  ( -u x  -  1 )  =  ( -u y  - 
1 ) ) )
6255, 61mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -u x  -  1 )  =  ( -u y  - 
1 ) )
638, 9, 11, 62subcan2d 9215 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -u x  =  -u y )
644, 7, 63neg11d 9185 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  x  =  y )
6564expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  -u x  e.  NN )  ->  ( (bits `  x )  =  (bits `  y )  ->  x  =  y ) )
663negnegd 9164 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  -> 
-u -u x  =  x )
6766eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u -u x  e.  NN0  <->  x  e.  NN0 ) )
6867biimpa 470 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  -u -u x  e.  NN0 )  ->  x  e.  NN0 )
69 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) )
70 fvres 5558 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  x
)  =  (bits `  x ) )
7170ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  x )  =  (bits `  x ) )
72 bitsfi 12644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  NN0  ->  (bits `  x )  e.  Fin )
7372ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  x
)  e.  Fin )
7469, 73eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  y
)  e.  Fin )
75 difinf 7143 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  NN0  e.  Fin  /\  (bits `  y )  e.  Fin )  ->  -.  ( NN0  \  (bits `  y ) )  e. 
Fin )
7629, 74, 75sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  ( NN0  \  (bits `  y )
)  e.  Fin )
7716ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( NN0  \  (bits `  y ) )  =  (bits `  ( -u y  -  1 ) ) )
7877eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( ( NN0  \  (bits `  y )
)  e.  Fin  <->  (bits `  ( -u y  -  1 ) )  e.  Fin )
)
7976, 78mtbid 291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  (bits `  ( -u y  -  1 ) )  e.  Fin )
80 bitsfi 12644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u y  -  1 )  e.  NN0  ->  (bits `  ( -u y  - 
1 ) )  e. 
Fin )
8179, 80nsyl 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  ( -u y  -  1 )  e. 
NN0 )
8281, 51nsyl 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  -u y  e.  NN )
8347adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -u y  e.  NN  \/  y  e. 
NN0 ) )
8483ord 366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -.  -u y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 ) )
8582, 84mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  y  e.  NN0 )
86 fvres 5558 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  y
)  =  (bits `  y ) )
8785, 86syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  y )  =  (bits `  y ) )
8869, 71, 873eqtr4d 2338 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  x )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  y ) )
89 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  x  e.  NN0 )
90 f1fveq 5802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-> ( ~P NN0  i^i 
Fin )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 ) )  ->  ( ( (bits  |`  NN0 ) `  x
)  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  y
)  <->  x  =  y
) )
9158, 90mpan 651 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( (bits  |`  NN0 ) `  x )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  y )  <->  x  =  y ) )
9289, 85, 91syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( ( (bits  |`  NN0 ) `  x
)  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  y
)  <->  x  =  y
) )
9388, 92mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  x  =  y )
9493expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( (bits `  x )  =  (bits `  y )  ->  x  =  y ) )
9568, 94syldan 456 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  -u -u x  e.  NN0 )  ->  ( (bits `  x )  =  (bits `  y )  ->  x  =  y ) )
962znegcld 10135 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  -> 
-u x  e.  ZZ )
97 elznn 10055 . . . . . 6  |-  ( -u x  e.  ZZ  <->  ( -u x  e.  RR  /\  ( -u x  e.  NN  \/  -u -u x  e.  NN0 ) ) )
9897simprbi 450 . . . . 5  |-  ( -u x  e.  ZZ  ->  (
-u x  e.  NN  \/  -u -u x  e.  NN0 ) )
9996, 98syl 15 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u x  e.  NN  \/  -u -u x  e.  NN0 ) )
10065, 95, 99mpjaodan 761 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( (bits `  x
)  =  (bits `  y )  ->  x  =  y ) )
101100rgen2a 2622 . 2  |-  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( (bits `  x )  =  (bits `  y )  ->  x  =  y )
102 dff13 5799 . 2  |-  (bits : ZZ
-1-1-> ~P NN0  <->  (bits : ZZ
--> ~P NN0  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( (bits `  x )  =  (bits `  y )  ->  x  =  y ) ) )
1031, 101, 102mpbir2an 886 1  |- bits : ZZ -1-1-> ~P
NN0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    \ cdif 3162    i^i cin 3164   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039   omcom 4672    |` cres 4707   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ~~ cen 6876   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   1c1 8754    - cmin 9053   -ucneg 9054   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040  bitscbits 12626
This theorem is referenced by:  bitsuz  12681
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-bits 12629
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