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Theorem bitsf1 12637
Description: The bits function is an injection from  ZZ to  ~P NN0. It is obviously not a bijection (by Cantor's theorem canth2 7014), and in fact its range is the set of finite and cofinite subsets of  NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsf1  |- bits : ZZ -1-1-> ~P
NN0

Proof of Theorem bitsf1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsf 12618 . 2  |- bits : ZZ --> ~P NN0
2 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  e.  ZZ )
32zcnd 10118 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  e.  CC )
43adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  x  e.  CC )
5 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  ZZ )
65zcnd 10118 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  CC )
76adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  y  e.  CC )
84negcld 9144 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -u x  e.  CC )
97negcld 9144 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -u y  e.  CC )
10 ax-1cn 8795 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1110a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  1  e.  CC )
12 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) )
1312difeq2d 3294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( NN0  \  (bits `  x ) )  =  ( NN0  \  (bits `  y ) ) )
14 bitscmp 12629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( NN0  \  (bits `  x
) )  =  (bits `  ( -u x  - 
1 ) ) )
1514ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( NN0  \  (bits `  x ) )  =  (bits `  ( -u x  -  1 ) ) )
16 bitscmp 12629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( NN0  \  (bits `  y
) )  =  (bits `  ( -u y  - 
1 ) ) )
1716ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( NN0  \  (bits `  y ) )  =  (bits `  ( -u y  -  1 ) ) )
1813, 15, 173eqtr3d 2323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  ( -u x  -  1 ) )  =  (bits `  ( -u y  -  1 ) ) )
19 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u x  e.  NN  ->  (
-u x  -  1 )  e.  NN0 )
2019ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -u x  -  1 )  e. 
NN0 )
21 fvres 5542 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u x  -  1 )  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  -  1 ) )  =  (bits `  ( -u x  - 
1 ) ) )
2220, 21syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  - 
1 ) )  =  (bits `  ( -u x  -  1 ) ) )
23 ominf 7075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  om  e.  Fin
24 nn0ennn 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  ~~  NN
25 nnenom 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN  ~~  om
2624, 25entr2i 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  om  ~~  NN0
27 enfii 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( NN0  e.  Fin  /\  om 
~~  NN0 )  ->  om  e.  Fin )
2826, 27mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( NN0 
e.  Fin  ->  om  e.  Fin )
2923, 28mto 167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  NN0  e.  Fin
30 difinf 7127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  NN0  e.  Fin  /\  (bits `  x )  e.  Fin )  ->  -.  ( NN0  \  (bits `  x ) )  e. 
Fin )
3129, 30mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (bits `  x )  e.  Fin  ->  -.  ( NN0  \  (bits `  x ) )  e. 
Fin )
32 bitsfi 12628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u x  -  1 )  e.  NN0  ->  (bits `  ( -u x  - 
1 ) )  e. 
Fin )
3320, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  ( -u x  -  1 ) )  e.  Fin )
3415, 33eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( NN0  \  (bits `  x ) )  e. 
Fin )
3531, 34nsyl3 111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  (bits `  x
)  e.  Fin )
3612eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits `  x )  e.  Fin  <->  (bits `  y )  e.  Fin ) )
3735, 36mtbid 291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  (bits `  y
)  e.  Fin )
38 bitsfi 12628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN0  ->  (bits `  y )  e.  Fin )
3937, 38nsyl 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  y  e.  NN0 )
405znegcld 10119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  -> 
-u y  e.  ZZ )
41 elznn 10039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u y  e.  ZZ  <->  ( -u y  e.  RR  /\  ( -u y  e.  NN  \/  -u -u y  e.  NN0 ) ) )
4241simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u y  e.  ZZ  ->  (
-u y  e.  NN  \/  -u -u y  e.  NN0 ) )
4340, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u y  e.  NN  \/  -u -u y  e.  NN0 ) )
446negnegd 9148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  -> 
-u -u y  =  y )
4544eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u -u y  e.  NN0  <->  y  e.  NN0 ) )
4645orbi2d 682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( -u y  e.  NN  \/  -u -u y  e.  NN0 )  <->  ( -u y  e.  NN  \/  y  e. 
NN0 ) ) )
4743, 46mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u y  e.  NN  \/  y  e. 
NN0 ) )
4847adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -u y  e.  NN  \/  y  e. 
NN0 ) )
4948ord 366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -.  -u y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 ) )
5039, 49mt3d 117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -u y  e.  NN )
51 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u y  e.  NN  ->  (
-u y  -  1 )  e.  NN0 )
5250, 51syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -u y  -  1 )  e. 
NN0 )
53 fvres 5542 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u y  -  1 )  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  -  1 ) )  =  (bits `  ( -u y  - 
1 ) ) )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  - 
1 ) )  =  (bits `  ( -u y  -  1 ) ) )
5518, 22, 543eqtr4d 2325 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  - 
1 ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  - 
1 ) ) )
56 bitsf1o 12636 . . . . . . . . . . 11  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )
57 f1of1 5471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-> ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )
5856, 57ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-> ( ~P NN0  i^i 
Fin )
59 f1fveq 5786 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-> ( ~P NN0  i^i 
Fin )  /\  (
( -u x  -  1 )  e.  NN0  /\  ( -u y  -  1 )  e.  NN0 )
)  ->  ( (
(bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  -  1 ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  -  1 ) )  <->  ( -u x  -  1 )  =  ( -u y  - 
1 ) ) )
6058, 59mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -u x  - 
1 )  e.  NN0  /\  ( -u y  - 
1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  -  1 ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  -  1 ) )  <->  ( -u x  -  1 )  =  ( -u y  - 
1 ) ) )
6120, 52, 60syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  -  1 ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  -  1 ) )  <->  ( -u x  -  1 )  =  ( -u y  - 
1 ) ) )
6255, 61mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -u x  -  1 )  =  ( -u y  - 
1 ) )
638, 9, 11, 62subcan2d 9199 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -u x  =  -u y )
644, 7, 63neg11d 9169 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  x  =  y )
6564expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  -u x  e.  NN )  ->  ( (bits `  x )  =  (bits `  y )  ->  x  =  y ) )
663negnegd 9148 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  -> 
-u -u x  =  x )
6766eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u -u x  e.  NN0  <->  x  e.  NN0 ) )
6867biimpa 470 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  -u -u x  e.  NN0 )  ->  x  e.  NN0 )
69 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) )
70 fvres 5542 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  x
)  =  (bits `  x ) )
7170ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  x )  =  (bits `  x ) )
72 bitsfi 12628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  NN0  ->  (bits `  x )  e.  Fin )
7372ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  x
)  e.  Fin )
7469, 73eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  y
)  e.  Fin )
75 difinf 7127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  NN0  e.  Fin  /\  (bits `  y )  e.  Fin )  ->  -.  ( NN0  \  (bits `  y ) )  e. 
Fin )
7629, 74, 75sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  ( NN0  \  (bits `  y )
)  e.  Fin )
7716ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( NN0  \  (bits `  y ) )  =  (bits `  ( -u y  -  1 ) ) )
7877eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( ( NN0  \  (bits `  y )
)  e.  Fin  <->  (bits `  ( -u y  -  1 ) )  e.  Fin )
)
7976, 78mtbid 291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  (bits `  ( -u y  -  1 ) )  e.  Fin )
80 bitsfi 12628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u y  -  1 )  e.  NN0  ->  (bits `  ( -u y  - 
1 ) )  e. 
Fin )
8179, 80nsyl 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  ( -u y  -  1 )  e. 
NN0 )
8281, 51nsyl 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  -u y  e.  NN )
8347adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -u y  e.  NN  \/  y  e. 
NN0 ) )
8483ord 366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -.  -u y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 ) )
8582, 84mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  y  e.  NN0 )
86 fvres 5542 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  y
)  =  (bits `  y ) )
8785, 86syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  y )  =  (bits `  y ) )
8869, 71, 873eqtr4d 2325 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  x )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  y ) )
89 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  x  e.  NN0 )
90 f1fveq 5786 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-> ( ~P NN0  i^i 
Fin )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 ) )  ->  ( ( (bits  |`  NN0 ) `  x
)  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  y
)  <->  x  =  y
) )
9158, 90mpan 651 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( (bits  |`  NN0 ) `  x )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  y )  <->  x  =  y ) )
9289, 85, 91syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( ( (bits  |`  NN0 ) `  x
)  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  y
)  <->  x  =  y
) )
9388, 92mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  x  =  y )
9493expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( (bits `  x )  =  (bits `  y )  ->  x  =  y ) )
9568, 94syldan 456 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  -u -u x  e.  NN0 )  ->  ( (bits `  x )  =  (bits `  y )  ->  x  =  y ) )
962znegcld 10119 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  -> 
-u x  e.  ZZ )
97 elznn 10039 . . . . . 6  |-  ( -u x  e.  ZZ  <->  ( -u x  e.  RR  /\  ( -u x  e.  NN  \/  -u -u x  e.  NN0 ) ) )
9897simprbi 450 . . . . 5  |-  ( -u x  e.  ZZ  ->  (
-u x  e.  NN  \/  -u -u x  e.  NN0 ) )
9996, 98syl 15 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u x  e.  NN  \/  -u -u x  e.  NN0 ) )
10065, 95, 99mpjaodan 761 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( (bits `  x
)  =  (bits `  y )  ->  x  =  y ) )
101100rgen2a 2609 . 2  |-  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( (bits `  x )  =  (bits `  y )  ->  x  =  y )
102 dff13 5783 . 2  |-  (bits : ZZ
-1-1-> ~P NN0  <->  (bits : ZZ
--> ~P NN0  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( (bits `  x )  =  (bits `  y )  ->  x  =  y ) ) )
1031, 101, 102mpbir2an 886 1  |- bits : ZZ -1-1-> ~P
NN0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    \ cdif 3149    i^i cin 3151   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023   omcom 4656    |` cres 4691   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ~~ cen 6860   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   1c1 8738    - cmin 9037   -ucneg 9038   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024  bitscbits 12610
This theorem is referenced by:  bitsuz  12665
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-bits 12613
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