Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsf1ocnv Structured version   Unicode version

Theorem bitsf1ocnv 12987
 Description: The bits function restricted to nonnegative integers is a bijection from the integers to the finite sets of integers. It is in fact the inverse of the Ackermann bijection ackbijnn 12638. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsf1ocnv bits bits
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem bitsf1ocnv
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2442 . . . . . 6 bits bits
2 bitsss 12969 . . . . . . . . 9 bits
32a1i 11 . . . . . . . 8 bits
4 bitsfi 12980 . . . . . . . 8 bits
5 elfpw 7437 . . . . . . . 8 bits bits bits
63, 4, 5sylanbrc 647 . . . . . . 7 bits
76adantl 454 . . . . . 6 bits
8 elfpw 7437 . . . . . . . . 9
98simprbi 452 . . . . . . . 8
10 2nn0 10269 . . . . . . . . . 10
1110a1i 11 . . . . . . . . 9
128simplbi 448 . . . . . . . . . 10
1312sselda 3334 . . . . . . . . 9
1411, 13nn0expcld 11576 . . . . . . . 8
159, 14fsumnn0cl 12561 . . . . . . 7
1615adantl 454 . . . . . 6
17 bitsinv2 12986 . . . . . . . . . 10 bits
1817eqcomd 2447 . . . . . . . . 9 bits
1918ad2antll 711 . . . . . . . 8 bits
20 fveq2 5757 . . . . . . . . 9 bits bits
2120eqeq2d 2453 . . . . . . . 8 bits bits
2219, 21syl5ibrcom 215 . . . . . . 7 bits
23 bitsinv1 12985 . . . . . . . . . 10 bits
2423eqcomd 2447 . . . . . . . . 9 bits
2524ad2antrl 710 . . . . . . . 8 bits
26 sumeq1 12514 . . . . . . . . 9 bits bits
2726eqeq2d 2453 . . . . . . . 8 bits bits
2825, 27syl5ibrcom 215 . . . . . . 7 bits
2922, 28impbid 185 . . . . . 6 bits
301, 7, 16, 29f1ocnv2d 6324 . . . . 5 bits bits
3130simpld 447 . . . 4 bits
32 bitsf 12970 . . . . . . . . 9 bits
3332a1i 11 . . . . . . . 8 bits
3433feqmptd 5808 . . . . . . 7 bits bits
3534reseq1d 5174 . . . . . 6 bits bits
36 nn0ssz 10333 . . . . . . 7
37 resmpt 5220 . . . . . . 7 bits bits
3836, 37ax-mp 5 . . . . . 6 bits bits
3935, 38syl6eq 2490 . . . . 5 bits bits
40 f1oeq1 5694 . . . . 5 bits bits bits bits
4139, 40syl 16 . . . 4 bits bits
4231, 41mpbird 225 . . 3 bits
4339cnveqd 5077 . . . 4 bits bits
4430simprd 451 . . . 4 bits
4543, 44eqtrd 2474 . . 3 bits
4642, 45jca 520 . 2 bits bits
4746trud 1333 1 bits bits
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wa 360   wtru 1326   wceq 1653   wcel 1727   cin 3305   wss 3306  cpw 3823   cmpt 4291  ccnv 4906   cres 4909  wf 5479  wf1o 5482  cfv 5483  (class class class)co 6110  cfn 7138  c2 10080  cn0 10252  cz 10313  cexp 11413  csu 12510  bitscbits 12962 This theorem is referenced by:  bitsf1o  12988  bitsinv  12991 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-disj 4208  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-mod 11282  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-clim 12313  df-sum 12511  df-dvds 12884  df-bits 12965
 Copyright terms: Public domain W3C validator