MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsfi Unicode version

Theorem bitsfi 12877
Description: Every number is associated to a finite set of bits. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsfi  |-  ( N  e.  NN0  ->  (bits `  N )  e.  Fin )

Proof of Theorem bitsfi
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 10163 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
2 2re 10002 . . . 4  |-  2  e.  RR
32a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
4 1lt2 10075 . . . 4  |-  1  <  2
54a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  <  2 )
6 expnbnd 11436 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  1  <  2 )  ->  E. m  e.  NN  N  <  (
2 ^ m ) )
71, 3, 5, 6syl3anc 1184 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  E. m  e.  NN  N  <  (
2 ^ m ) )
8 fzofi 11241 . . 3  |-  ( 0..^ m )  e.  Fin
9 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
10 nn0uz 10453 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
119, 10syl6eleq 2478 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
12 2nn 10066 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  2  e.  NN )
14 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  m  e.  NN )
1514nnnn0d 10207 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
1613, 15nnexpcld 11472 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
1716nnzd 10307 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  ( 2 ^ m )  e.  ZZ )
18 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  N  <  ( 2 ^ m ) )
19 elfzo2 11074 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ m ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  ( 2 ^ m
)  e.  ZZ  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )
2011, 17, 18, 19syl3anbrc 1138 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) )
219nn0zd 10306 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
22 bitsfzo 12875 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ m ) )  <->  (bits `  N
)  C_  ( 0..^ m ) ) )
2321, 15, 22syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  ( N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ m ) )  <-> 
(bits `  N )  C_  ( 0..^ m ) ) )
2420, 23mpbid 202 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  (bits `  N
)  C_  ( 0..^ m ) )
25 ssfi 7266 . . 3  |-  ( ( ( 0..^ m )  e.  Fin  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ m ) )  ->  (bits `  N
)  e.  Fin )
268, 24, 25sylancr 645 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  (bits `  N
)  e.  Fin )
277, 26rexlimddv 2778 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  (bits `  N )  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717   E.wrex 2651    C_ wss 3264   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Fincfn 7046   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    < clt 9054   NNcn 9933   2c2 9982   NN0cn0 10154   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421  ..^cfzo 11066   ^cexp 11310  bitscbits 12859
This theorem is referenced by:  bitsinv2  12883  bitsf1ocnv  12884  bitsf1  12886
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-dvds 12781  df-bits 12862
  Copyright terms: Public domain W3C validator