MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsfi Structured version   Unicode version

Theorem bitsfi 12941
Description: Every number is associated to a finite set of bits. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsfi  |-  ( N  e.  NN0  ->  (bits `  N )  e.  Fin )

Proof of Theorem bitsfi
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 10222 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
2 2re 10061 . . . 4  |-  2  e.  RR
32a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
4 1lt2 10134 . . . 4  |-  1  <  2
54a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  <  2 )
6 expnbnd 11500 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  1  <  2 )  ->  E. m  e.  NN  N  <  (
2 ^ m ) )
71, 3, 5, 6syl3anc 1184 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  E. m  e.  NN  N  <  (
2 ^ m ) )
8 fzofi 11305 . . 3  |-  ( 0..^ m )  e.  Fin
9 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
10 nn0uz 10512 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
119, 10syl6eleq 2525 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
12 2nn 10125 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  2  e.  NN )
14 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  m  e.  NN )
1514nnnn0d 10266 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
1613, 15nnexpcld 11536 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
1716nnzd 10366 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  ( 2 ^ m )  e.  ZZ )
18 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  N  <  ( 2 ^ m ) )
19 elfzo2 11135 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ m ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  ( 2 ^ m
)  e.  ZZ  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )
2011, 17, 18, 19syl3anbrc 1138 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) )
219nn0zd 10365 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
22 bitsfzo 12939 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ m ) )  <->  (bits `  N
)  C_  ( 0..^ m ) ) )
2321, 15, 22syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  ( N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ m ) )  <-> 
(bits `  N )  C_  ( 0..^ m ) ) )
2420, 23mpbid 202 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  (bits `  N
)  C_  ( 0..^ m ) )
25 ssfi 7321 . . 3  |-  ( ( ( 0..^ m )  e.  Fin  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ m ) )  ->  (bits `  N
)  e.  Fin )
268, 24, 25sylancr 645 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  (bits `  N
)  e.  Fin )
277, 26rexlimddv 2826 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  (bits `  N )  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   E.wrex 2698    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    < clt 9112   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480  ..^cfzo 11127   ^cexp 11374  bitscbits 12923
This theorem is referenced by:  bitsinv2  12947  bitsf1ocnv  12948  bitsf1  12950
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-dvds 12845  df-bits 12926
  Copyright terms: Public domain W3C validator