MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsfval Unicode version

Theorem bitsfval 12864
Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsfval  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (bits `  N )  =  {
m  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) } )
Distinct variable group:    m, N

Proof of Theorem bitsfval
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6029 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
n  /  ( 2 ^ m ) )  =  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )
21fveq2d 5674 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( |_ `  ( n  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
32breq2d 4167 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
2  ||  ( |_ `  ( n  /  (
2 ^ m ) ) )  <->  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
43notbid 286 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  ( -.  2  ||  ( |_
`  ( n  / 
( 2 ^ m
) ) )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
54rabbidv 2893 . 2  |-  ( n  =  N  ->  { m  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_ `  (
n  /  ( 2 ^ m ) ) ) }  =  {
m  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) } )
6 df-bits 12863 . 2  |- bits  =  ( n  e.  ZZ  |->  { m  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_
`  ( n  / 
( 2 ^ m
) ) ) } )
7 nn0ex 10161 . . 3  |-  NN0  e.  _V
87rabex 4297 . 2  |-  { m  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) }  e.  _V
95, 6, 8fvmpt 5747 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (bits `  N )  =  {
m  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2655   class class class wbr 4155   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    / cdiv 9611   2c2 9983   NN0cn0 10155   ZZcz 10216   |_cfl 11130   ^cexp 11311    || cdivides 12781  bitscbits 12860
This theorem is referenced by:  bitsval  12865
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-nn 9935  df-n0 10156  df-bits 12863
  Copyright terms: Public domain W3C validator