MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsfval Structured version   Unicode version

Theorem bitsfval 12925
Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsfval  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (bits `  N )  =  {
m  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) } )
Distinct variable group:    m, N

Proof of Theorem bitsfval
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
n  /  ( 2 ^ m ) )  =  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )
21fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( |_ `  ( n  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
32breq2d 4216 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
2  ||  ( |_ `  ( n  /  (
2 ^ m ) ) )  <->  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
43notbid 286 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  ( -.  2  ||  ( |_
`  ( n  / 
( 2 ^ m
) ) )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
54rabbidv 2940 . 2  |-  ( n  =  N  ->  { m  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_ `  (
n  /  ( 2 ^ m ) ) ) }  =  {
m  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) } )
6 df-bits 12924 . 2  |- bits  =  ( n  e.  ZZ  |->  { m  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_
`  ( n  / 
( 2 ^ m
) ) ) } )
7 nn0ex 10217 . . 3  |-  NN0  e.  _V
87rabex 4346 . 2  |-  { m  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) }  e.  _V
95, 6, 8fvmpt 5798 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (bits `  N )  =  {
m  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    / cdiv 9667   2c2 10039   NN0cn0 10211   ZZcz 10272   |_cfl 11191   ^cexp 11372    || cdivides 12842  bitscbits 12921
This theorem is referenced by:  bitsval  12926
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-nn 9991  df-n0 10212  df-bits 12924
  Copyright terms: Public domain W3C validator