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Theorem bitsfzo 12874
Description: The bits of a number are all less than  M iff the number is nonnegative and less than  2 ^ M. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsfzo  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ M ) )  <->  (bits `  N
)  C_  ( 0..^ M ) ) )

Proof of Theorem bitsfzo
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsval 12863 . . . 4  |-  ( m  e.  (bits `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  m  e. 
NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
2 simp32 994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
3 nn0uz 10452 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
42, 3syl6eleq 2477 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
5 simp1r 982 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
65nn0zd 10305 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
7 2re 10001 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
87a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  2  e.  RR )
98, 2reexpcld 11467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  ( 2 ^ m )  e.  RR )
10 simp1l 981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
1110zred 10307 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  N  e.  RR )
128, 5reexpcld 11467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  ( 2 ^ M )  e.  RR )
139recnd 9047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  ( 2 ^ m )  e.  CC )
1413mulid2d 9039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  ( 1  x.  ( 2 ^ m ) )  =  ( 2 ^ m
) )
15 simp33 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
16 2rp 10549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR+
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  2  e.  RR+ )
182nn0zd 10305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
1917, 18rpexpcld 11473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  ( 2 ^ m )  e.  RR+ )
2011, 19rerpdivcld 10607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  ( N  /  ( 2 ^ m ) )  e.  RR )
21 1re 9023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  1  e.  RR )
2320, 22ltnled 9152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  ( ( N  /  ( 2 ^ m ) )  <  1  <->  -.  1  <_  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
24 0p1e1 10025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  +  1 )  =  1
2524breq2i 4161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  /  ( 2 ^ m ) )  <  ( 0  +  1 )  <->  ( N  /  ( 2 ^ m ) )  <  1 )
26 elfzole1 11077 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ M ) )  ->  0  <_  N )
27263ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  0  <_  N )
2811, 19, 27divge0d 10616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  0  <_  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )
29 0z 10225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ZZ
30 flbi 11150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  /  (
2 ^ m ) )  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  =  0  <-> 
( 0  <_  ( N  /  ( 2 ^ m ) )  /\  ( N  /  (
2 ^ m ) )  <  ( 0  +  1 ) ) ) )
3120, 29, 30sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( N  /  (
2 ^ m ) )  /\  ( N  /  ( 2 ^ m ) )  < 
( 0  +  1 ) ) ) )
32 2z 10244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
33 dvds0 12792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  ||  0
35 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  =  0  ->  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  0 )
3634, 35syl5breqr 4189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )  =  0  ->  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
3731, 36syl6bir 221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  ( (
0  <_  ( N  /  ( 2 ^ m ) )  /\  ( N  /  (
2 ^ m ) )  <  ( 0  +  1 ) )  ->  2  ||  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )
3828, 37mpand 657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  ( ( N  /  ( 2 ^ m ) )  < 
( 0  +  1 )  ->  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
3925, 38syl5bir 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  ( ( N  /  ( 2 ^ m ) )  <  1  ->  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
4023, 39sylbird 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  ( -.  1  <_  ( N  / 
( 2 ^ m
) )  ->  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
4115, 40mt3d 119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  1  <_  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) )
4222, 11, 19lemuldivd 10625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  ( (
1  x.  ( 2 ^ m ) )  <_  N  <->  1  <_  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
4341, 42mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  ( 1  x.  ( 2 ^ m ) )  <_  N )
4414, 43eqbrtrrd 4175 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  ( 2 ^ m )  <_  N )
45 elfzolt2 11078 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ M ) )  ->  N  <  ( 2 ^ M ) )
46453ad2ant2 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  N  <  ( 2 ^ M ) )
479, 11, 12, 44, 46lelttrd 9160 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  ( 2 ^ m )  < 
( 2 ^ M
) )
48 1lt2 10074 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
4948a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  1  <  2 )
508, 18, 6, 49ltexp2d 11479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  ( m  <  M  <->  ( 2 ^ m )  <  (
2 ^ M ) ) )
5147, 50mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  m  <  M )
52 elfzo2 11073 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( 0..^ M )  <->  ( m  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  M  e.  ZZ  /\  m  <  M ) )
534, 6, 51, 52syl3anbrc 1138 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) )  ->  m  e.  ( 0..^ M ) )
54533expia 1155 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) ) )  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) )  ->  m  e.  ( 0..^ M ) ) )
551, 54syl5bi 209 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) ) )  ->  ( m  e.  (bits `  N )  ->  m  e.  ( 0..^ M ) ) )
5655ssrdv 3297 . 2  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  N  e.  (
0..^ ( 2 ^ M ) ) )  ->  (bits `  N
)  C_  ( 0..^ M ) )
57 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  -u N  e.  NN )
5857nnred 9947 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  -u N  e.  RR )
59 simpllr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  M  e.  NN0 )
6059nn0red 10207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
61 max2 10707 . . . . . . 7  |-  ( (
-u N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  M  <_  if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N
) )
6258, 60, 61syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  M  <_  if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N
) )
63 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  (bits `  N
)  C_  ( 0..^ M ) )
6421, 7ltnlei 9125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  <  2  <->  -.  2  <_  1 )
6548, 64mpbi 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  2  <_  1
66 1nn 9943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN
67 dvdsle 12822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  1  e.  NN )  ->  ( 2  ||  1  ->  2  <_  1 ) )
6832, 66, 67mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 
||  1  ->  2  <_  1 )
6965, 68mto 169 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  2  ||  1
70 1z 10243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ZZ
71 dvdsnegb 12794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  1  <->  2 
||  -u 1 ) )
7232, 70, 71mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 
||  1  <->  2  ||  -u 1 )
7369, 72mtbi 290 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  2  ||  -u 1
74 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
7574zred 10307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
76 2nn 10065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  NN
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  2  e.  NN )
7857nnnn0d 10206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  -u N  e.  NN0 )
79 ifcl 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N )  e.  NN0 )
8059, 78, 79syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N )  e. 
NN0 )
8177, 80nnexpcld 11471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N ) )  e.  NN )
8275, 81nndivred 9980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( N  / 
( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N
) ) )  e.  RR )
8321a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
8474zcnd 10308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
8581nncnd 9948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N ) )  e.  CC )
86 2cn 10002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
88 2ne0 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  2  =/=  0
)
9080nn0zd 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N )  e.  ZZ )
9187, 89, 90expne0d 11456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N ) )  =/=  0 )
9284, 85, 91divnegd 9735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  -u ( N  / 
( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N
) ) )  =  ( -u N  / 
( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N
) ) ) )
9380nn0red 10207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N )  e.  RR )
9481nnred 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N ) )  e.  RR )
95 max1 10705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  -u N  <_  if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N
) )
9658, 60, 95syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  -u N  <_  if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N
) )
97 uzid 10432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
9832, 97ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
99 bernneq3 11434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N
)  e.  NN0 )  ->  if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N )  <  (
2 ^ if (
-u N  <_  M ,  M ,  -u N
) ) )
10098, 80, 99sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N )  < 
( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N
) ) )
10193, 94, 100ltled 9153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N )  <_ 
( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N
) ) )
10258, 93, 94, 96, 101letrd 9159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  -u N  <_  (
2 ^ if (
-u N  <_  M ,  M ,  -u N
) ) )
10385mulid1d 9038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N ) )  x.  1 )  =  ( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N
) ) )
104102, 103breqtrrd 4179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  -u N  <_  (
( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N
) )  x.  1 ) )
10581nnrpd 10579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N ) )  e.  RR+ )
10658, 83, 105ledivmuld 10629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( ( -u N  /  ( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N ) ) )  <_  1  <->  -u N  <_ 
( ( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N ) )  x.  1 ) ) )
107104, 106mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( -u N  /  ( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N ) ) )  <_  1 )
10892, 107eqbrtrd 4173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  -u ( N  / 
( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N
) ) )  <_ 
1 )
10982, 83, 108lenegcon1d 9540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  -u 1  <_  ( N  /  ( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N ) ) ) )
11057nngt0d 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  0  <  -u N
)
11181nngt0d 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  0  <  (
2 ^ if (
-u N  <_  M ,  M ,  -u N
) ) )
11258, 94, 110, 111divgt0d 9878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  0  <  ( -u N  /  ( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N ) ) ) )
113112, 92breqtrrd 4179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  0  <  -u ( N  /  ( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N ) ) ) )
11482lt0neg1d 9528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( ( N  /  ( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N ) ) )  <  0  <->  0  <  -u ( N  /  (
2 ^ if (
-u N  <_  M ,  M ,  -u N
) ) ) ) )
115113, 114mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( N  / 
( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N
) ) )  <  0 )
116 ax-1cn 8981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
117 neg1cn 9999 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  CC
118116negidi 9301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
119116, 117, 118addcomli 9190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  +  1 )  =  0
120115, 119syl6breqr 4193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( N  / 
( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N
) ) )  < 
( -u 1  +  1 ) )
121 1nn0 10169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN0
122121nn0negzi 10248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  e.  ZZ
123 flbi 11150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  /  (
2 ^ if (
-u N  <_  M ,  M ,  -u N
) ) )  e.  RR  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  (
( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N ) ) ) )  =  -u 1  <->  (
-u 1  <_  ( N  /  ( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N ) ) )  /\  ( N  / 
( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N
) ) )  < 
( -u 1  +  1 ) ) ) )
12482, 122, 123sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N
) ) ) )  =  -u 1  <->  ( -u 1  <_  ( N  /  (
2 ^ if (
-u N  <_  M ,  M ,  -u N
) ) )  /\  ( N  /  (
2 ^ if (
-u N  <_  M ,  M ,  -u N
) ) )  < 
( -u 1  +  1 ) ) ) )
125109, 120, 124mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ if (
-u N  <_  M ,  M ,  -u N
) ) ) )  =  -u 1 )
126125breq2d 4165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( 2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N ) ) ) )  <->  2  ||  -u 1
) )
12773, 126mtbiri 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N ) ) ) ) )
128 bitsval2 12864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N )  e.  NN0 )  ->  ( if (
-u N  <_  M ,  M ,  -u N
)  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N ) ) ) ) ) )
12974, 80, 128syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( if (
-u N  <_  M ,  M ,  -u N
)  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N ) ) ) ) ) )
130127, 129mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N )  e.  (bits `  N )
)
13163, 130sseldd 3292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N )  e.  ( 0..^ M ) )
132 elfzolt2 11078 . . . . . . . 8  |-  ( if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N )  e.  ( 0..^ M )  ->  if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N )  <  M
)
133131, 132syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N )  < 
M )
13493, 60ltnled 9152 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( if (
-u N  <_  M ,  M ,  -u N
)  <  M  <->  -.  M  <_  if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N ) ) )
135133, 134mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )  /\  -u N  e.  NN )  ->  -.  M  <_  if ( -u N  <_  M ,  M ,  -u N ) )
13662, 135pm2.65da 560 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  ( 0..^ M ) )  ->  -.  -u N  e.  NN )
137136intnand 883 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  ( 0..^ M ) )  ->  -.  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) )
138 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  ( 0..^ M ) )  ->  N  e.  ZZ )
139 elznn0nn 10227 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) ) )
140138, 139sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) ) )
141140ord 367 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  ( 0..^ M ) )  ->  ( -.  N  e.  NN0  ->  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) ) )
142137, 141mt3d 119 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  ( 0..^ M ) )  ->  N  e.  NN0 )
143 simplr 732 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  ( 0..^ M ) )  ->  M  e.  NN0 )
144 simpr 448 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  ( 0..^ M ) )  ->  (bits `  N
)  C_  ( 0..^ M ) )
145 eqid 2387 . . 3  |-  sup ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } ,  RR ,  `'  <  )
146142, 143, 144, 145bitsfzolem 12873 . 2  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  (bits `  N )  C_  ( 0..^ M ) )  ->  N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ M ) ) )
14756, 146impbida 806 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ M ) )  <->  (bits `  N
)  C_  ( 0..^ M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   {crab 2653    C_ wss 3263   ifcif 3682   class class class wbr 4153   `'ccnv 4817   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   supcsup 7380   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054   -ucneg 9224    / cdiv 9609   NNcn 9932   2c2 9981   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   RR+crp 10544  ..^cfzo 11065   |_cfl 11128   ^cexp 11309    || cdivides 12779  bitscbits 12858
This theorem is referenced by:  bitsfi  12876  0bits  12878  bitsinv1  12881  sadcaddlem  12896  sadaddlem  12905  sadasslem  12909  sadeq  12911
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-dvds 12780  df-bits 12861
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