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Theorem bitsfzolem 12938
Description: Lemma for bitsfzo 12939. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
bitsfzo.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
bitsfzo.2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
bitsfzo.3  |-  ( ph  ->  (bits `  N )  C_  ( 0..^ M ) )
bitsfzo.4  |-  S  =  sup ( { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) } ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
bitsfzolem  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ M
) ) )
Distinct variable group:    n, N
Allowed substitution hints:    ph( n)    S( n)    M( n)

Proof of Theorem bitsfzolem
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsfzo.1 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 nn0uz 10512 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2syl6eleq 2525 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
4 2nn 10125 . . . . 5  |-  2  e.  NN
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
6 bitsfzo.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
75, 6nnexpcld 11536 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ M
)  e.  NN )
87nnzd 10366 . 2  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ M
)  e.  ZZ )
9 bitsfzo.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (bits `  N )  C_  ( 0..^ M ) )
109adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )
11 1lt2 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <  2
12 1re 9082 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
13 2re 10061 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
1412, 13ltnlei 9186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  <  2  <->  -.  2  <_  1 )
1511, 14mpbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  -.  2  <_  1
16 2z 10304 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
17 1nn 10003 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
18 dvdsle 12887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  1  e.  NN )  ->  ( 2  ||  1  ->  2  <_  1 ) )
1916, 17, 18mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 
||  1  ->  2  <_  1 )
2015, 19mto 169 . . . . . . . . 9  |-  -.  2  ||  1
214a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  2  e.  NN )
22 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  C_  NN0
23 bitsfzo.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  S  =  sup ( { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) } ,  RR ,  `'  <  )
2422, 2sseqtri 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  C_  ( ZZ>=
`  0 )
25 nnssnn0 10216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  NN  C_  NN0
261nn0red 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
2713a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
2811a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  1  <  2 )
29 expnbnd 11500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  1  <  2 )  ->  E. n  e.  NN  N  <  (
2 ^ n ) )
3026, 27, 28, 29syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  N  <  ( 2 ^ n ) )
31 ssrexv 3400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( NN  C_  NN0  ->  ( E. n  e.  NN  N  <  ( 2 ^ n
)  ->  E. n  e.  NN0  N  <  (
2 ^ n ) ) )
3225, 30, 31mpsyl 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  N  <  ( 2 ^ n ) )
33 rabn0 3639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  NN0  N  <  ( 2 ^ n
) )
3432, 33sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  =/=  (/) )
35 infmssuzcl 10551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } 
C_  ( ZZ>= `  0
)  /\  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  =/=  (/) )  ->  sup ( { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } )
3624, 34, 35sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  sup ( { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } )
3723, 36syl5eqel 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  S  e.  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) } )
3822, 37sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  S  e.  NN0 )
3938nn0zd 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  S  e.  ZZ )
4039adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  e.  ZZ )
41 0z 10285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  ZZ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  0  e.  ZZ )
4342zred 10367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  0  e.  RR )
446nn0zd 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4544adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
4645zred 10367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  M  e.  RR )
4740zred 10367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  e.  RR )
486adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  M  e.  NN0 )
4948nn0ge0d 10269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  0  <_  M )
5013a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  2  e.  RR )
5150, 48reexpcld 11532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ M )  e.  RR )
5226adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  N  e.  RR )
535, 38nnexpcld 11536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ S
)  e.  NN )
5453adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ S )  e.  NN )
5554nnred 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ S )  e.  RR )
56 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ M )  <_  N )
5737adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  e.  { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } )
58 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  =  S  ->  (
2 ^ m )  =  ( 2 ^ S ) )
5958breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  S  ->  ( N  <  ( 2 ^ m )  <->  N  <  ( 2 ^ S ) ) )
60 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  m  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ m ) )
6160breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  m  ->  ( N  <  ( 2 ^ n )  <->  N  <  ( 2 ^ m ) ) )
6261cbvrabv 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  =  {
m  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ m ) }
6359, 62elrab2 3086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( S  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  <->  ( S  e. 
NN0  /\  N  <  ( 2 ^ S ) ) )
6463simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  ->  N  <  ( 2 ^ S ) )
6557, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  N  <  ( 2 ^ S
) )
6651, 52, 55, 56, 65lelttrd 9220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ M )  <  ( 2 ^ S ) )
6711a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  1  <  2 )
6850, 45, 40, 67ltexp2d 11544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( M  <  S  <->  ( 2 ^ M )  < 
( 2 ^ S
) ) )
6966, 68mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  M  <  S )
7043, 46, 47, 49, 69lelttrd 9220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  0  <  S )
71 elnnz 10284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S  e.  NN  <->  ( S  e.  ZZ  /\  0  < 
S ) )
7240, 70, 71sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  e.  NN )
73 nnm1nn0 10253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  NN  ->  ( S  -  1 )  e.  NN0 )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  NN0 )
7521, 74nnexpcld 11536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  e.  NN )
7675nncnd 10008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  e.  CC )
7776mulid2d 9098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
1  x.  ( 2 ^ ( S  - 
1 ) ) )  =  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )
7847ltm1d 9935 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  <  S )
7974nn0red 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  RR )
8079, 47ltnled 9212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( S  -  1 )  <  S  <->  -.  S  <_  ( S  -  1 ) ) )
8178, 80mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  -.  S  <_  ( S  - 
1 ) )
82 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  ( S  - 
1 )  ->  (
2 ^ m )  =  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )
8382breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  ( S  - 
1 )  ->  ( N  <  ( 2 ^ m )  <->  N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )
8483, 62elrab2 3086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  -  1 )  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  <->  ( ( S  -  1 )  e. 
NN0  /\  N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )
85 infmssuzle 10550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } 
C_  ( ZZ>= `  0
)  /\  ( S  -  1 )  e. 
{ n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } )  ->  sup ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( S  -  1 ) )
8624, 85mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  -  1 )  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  ->  sup ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( S  -  1 ) )
8723, 86syl5eqbr 4237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  -  1 )  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  ->  S  <_  ( S  -  1 ) )
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( S  -  1 )  e.  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  ->  S  <_  ( S  -  1 ) ) )
8984, 88syl5bir 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( ( S  - 
1 )  e.  NN0  /\  N  <  ( 2 ^ ( S  - 
1 ) ) )  ->  S  <_  ( S  -  1 ) ) )
9074, 89mpand 657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) )  ->  S  <_  ( S  -  1 ) ) )
9181, 90mtod 170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  -.  N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )
9275nnred 10007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  e.  RR )
9392, 52lenltd 9211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( 2 ^ ( S  -  1 ) )  <_  N  <->  -.  N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )
9491, 93mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  <_  N )
9577, 94eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
1  x.  ( 2 ^ ( S  - 
1 ) ) )  <_  N )
9612a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  1  e.  RR )
97 2rp 10609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR+
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  2  e.  RR+ )
99 1z 10303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  ZZ
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  1  e.  ZZ )
10140, 100zsubcld 10372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  ZZ )
10298, 101rpexpcld 11538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  e.  RR+ )
10396, 52, 102lemuldivd 10685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( 1  x.  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) )  <_  N  <->  1  <_  ( N  /  ( 2 ^ ( S  - 
1 ) ) ) ) )
10495, 103mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  1  <_  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )
105 2cn 10062 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
106 expm1t 11400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  NN )  ->  ( 2 ^ S
)  =  ( ( 2 ^ ( S  -  1 ) )  x.  2 ) )
107105, 72, 106sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ S )  =  ( ( 2 ^ ( S  - 
1 ) )  x.  2 ) )
10865, 107breqtrd 4228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  N  <  ( ( 2 ^ ( S  -  1 ) )  x.  2 ) )
10952, 50, 102ltdivmuld 10687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) )  <  2  <->  N  <  ( ( 2 ^ ( S  -  1 ) )  x.  2 ) ) )
110108, 109mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  <  2 )
111 df-2 10050 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
112110, 111syl6breq 4243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  < 
( 1  +  1 ) )
11352, 102rerpdivcld 10667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  e.  RR )
114 flbi 11215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) )  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )  =  1  <-> 
( 1  <_  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  /\  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) )  <  ( 1  +  1 ) ) ) )
115113, 99, 114sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )  =  1  <->  ( 1  <_  ( N  / 
( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  /\  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  < 
( 1  +  1 ) ) ) )
116104, 112, 115mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )  =  1 )
117116breq2d 4216 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2  ||  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )  <->  2  ||  1 ) )
11820, 117mtbiri 295 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) ) ) )
1191nn0zd 10365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
120119adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
121 bitsval2 12929 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( S  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( ( S  - 
1 )  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) ) ) )
122120, 74, 121syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( S  -  1 )  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) ) ) )
123118, 122mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  (bits `  N
) )
12410, 123sseldd 3341 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  ( 0..^ M ) )
125 elfzolt2 11140 . . . . . 6  |-  ( ( S  -  1 )  e.  ( 0..^ M )  ->  ( S  -  1 )  < 
M )
126124, 125syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  <  M )
127 zlem1lt 10319 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( S  <_  M  <->  ( S  -  1 )  <  M ) )
12840, 45, 127syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  <_  M  <->  ( S  -  1 )  < 
M ) )
129126, 128mpbird 224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  <_  M )
13046, 47ltnled 9212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( M  <  S  <->  -.  S  <_  M ) )
13169, 130mpbid 202 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  -.  S  <_  M )
132129, 131pm2.65da 560 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( 2 ^ M )  <_  N
)
1337nnred 10007 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ M
)  e.  RR )
13426, 133ltnled 9212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  <  (
2 ^ M )  <->  -.  ( 2 ^ M
)  <_  N )
)
135132, 134mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  N  <  ( 2 ^ M ) )
136 elfzo2 11135 . 2  |-  ( N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ M ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  ( 2 ^ M
)  e.  ZZ  /\  N  <  ( 2 ^ M ) ) )
1373, 8, 135, 136syl3anbrc 1138 1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ M
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698   {crab 2701    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204   `'ccnv 4869   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   supcsup 7437   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   RR+crp 10604  ..^cfzo 11127   |_cfl 11193   ^cexp 11374    || cdivides 12844  bitscbits 12923
This theorem is referenced by:  bitsfzo  12939
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-dvds 12845  df-bits 12926
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