MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsfzolem Unicode version

Theorem bitsfzolem 12625
Description: Lemma for bitsfzo 12626. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
bitsfzo.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
bitsfzo.2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
bitsfzo.3  |-  ( ph  ->  (bits `  N )  C_  ( 0..^ M ) )
bitsfzo.4  |-  S  =  sup ( { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) } ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
bitsfzolem  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ M
) ) )
Distinct variable group:    n, N
Allowed substitution hints:    ph( n)    S( n)    M( n)

Proof of Theorem bitsfzolem
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsfzo.1 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 nn0uz 10262 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2syl6eleq 2373 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
4 2nn 9877 . . . . 5  |-  2  e.  NN
54a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
6 bitsfzo.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
75, 6nnexpcld 11266 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ M
)  e.  NN )
87nnzd 10116 . 2  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ M
)  e.  ZZ )
9 bitsfzo.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (bits `  N )  C_  ( 0..^ M ) )
109adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )
11 1lt2 9886 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <  2
12 1re 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
13 2re 9815 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
1412, 13ltnlei 8939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  <  2  <->  -.  2  <_  1 )
1511, 14mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  -.  2  <_  1
16 2z 10054 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
17 1nn 9757 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
18 dvdsle 12574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  1  e.  NN )  ->  ( 2  ||  1  ->  2  <_  1 ) )
1916, 17, 18mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 
||  1  ->  2  <_  1 )
2015, 19mto 167 . . . . . . . . 9  |-  -.  2  ||  1
214a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  2  e.  NN )
22 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  C_  NN0
23 bitsfzo.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  S  =  sup ( { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) } ,  RR ,  `'  <  )
2422, 2sseqtri 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  C_  ( ZZ>=
`  0 )
2524a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } 
C_  ( ZZ>= `  0
) )
26 nnssnn0 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  NN  C_  NN0
271nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
2813a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
2911a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  1  <  2 )
30 expnbnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  1  <  2 )  ->  E. n  e.  NN  N  <  (
2 ^ n ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  N  <  ( 2 ^ n ) )
32 ssrexv 3238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( NN  C_  NN0  ->  ( E. n  e.  NN  N  <  ( 2 ^ n
)  ->  E. n  e.  NN0  N  <  (
2 ^ n ) ) )
3326, 31, 32mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  N  <  ( 2 ^ n ) )
34 rabn0 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  NN0  N  <  ( 2 ^ n
) )
3533, 34sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  =/=  (/) )
36 infmssuzcl 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } 
C_  ( ZZ>= `  0
)  /\  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  =/=  (/) )  ->  sup ( { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } )
3725, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  sup ( { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } )
3823, 37syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  S  e.  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) } )
3922, 38sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  S  e.  NN0 )
4039nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  S  e.  ZZ )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  e.  ZZ )
42 0z 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  ZZ
4342a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  0  e.  ZZ )
4443zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  0  e.  RR )
456nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4645adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
4746zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  M  e.  RR )
4841zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  e.  RR )
496adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  M  e.  NN0 )
5049nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  0  <_  M )
5113a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  2  e.  RR )
5251, 49reexpcld 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ M )  e.  RR )
5327adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  N  e.  RR )
545, 39nnexpcld 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ S
)  e.  NN )
5554adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ S )  e.  NN )
5655nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ S )  e.  RR )
57 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ M )  <_  N )
5838adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  e.  { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } )
59 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  =  S  ->  (
2 ^ m )  =  ( 2 ^ S ) )
6059breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  S  ->  ( N  <  ( 2 ^ m )  <->  N  <  ( 2 ^ S ) ) )
61 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  m  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ m ) )
6261breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  m  ->  ( N  <  ( 2 ^ n )  <->  N  <  ( 2 ^ m ) ) )
6362cbvrabv 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  =  {
m  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ m ) }
6460, 63elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( S  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  <->  ( S  e. 
NN0  /\  N  <  ( 2 ^ S ) ) )
6564simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  ->  N  <  ( 2 ^ S ) )
6658, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  N  <  ( 2 ^ S
) )
6752, 53, 56, 57, 66lelttrd 8974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ M )  <  ( 2 ^ S ) )
6811a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  1  <  2 )
6951, 46, 41, 68ltexp2d 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( M  <  S  <->  ( 2 ^ M )  < 
( 2 ^ S
) ) )
7067, 69mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  M  <  S )
7144, 47, 48, 50, 70lelttrd 8974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  0  <  S )
72 elnnz 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S  e.  NN  <->  ( S  e.  ZZ  /\  0  < 
S ) )
7341, 71, 72sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  e.  NN )
74 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  NN  ->  ( S  -  1 )  e.  NN0 )
7573, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  NN0 )
7621, 75nnexpcld 11266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  e.  NN )
7776nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  e.  CC )
7877mulid2d 8853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
1  x.  ( 2 ^ ( S  - 
1 ) ) )  =  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )
7948ltm1d 9689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  <  S )
8075nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  RR )
8180, 48ltnled 8966 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( S  -  1 )  <  S  <->  -.  S  <_  ( S  -  1 ) ) )
8279, 81mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  -.  S  <_  ( S  - 
1 ) )
83 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  ( S  - 
1 )  ->  (
2 ^ m )  =  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )
8483breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  ( S  - 
1 )  ->  ( N  <  ( 2 ^ m )  <->  N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )
8584, 63elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  -  1 )  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  <->  ( ( S  -  1 )  e. 
NN0  /\  N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )
86 infmssuzle 10300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } 
C_  ( ZZ>= `  0
)  /\  ( S  -  1 )  e. 
{ n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } )  ->  sup ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( S  -  1 ) )
8724, 86mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  -  1 )  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  ->  sup ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( S  -  1 ) )
8823, 87syl5eqbr 4056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  -  1 )  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  ->  S  <_  ( S  -  1 ) )
8988a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( S  -  1 )  e.  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  ->  S  <_  ( S  -  1 ) ) )
9085, 89syl5bir 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( ( S  - 
1 )  e.  NN0  /\  N  <  ( 2 ^ ( S  - 
1 ) ) )  ->  S  <_  ( S  -  1 ) ) )
9175, 90mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) )  ->  S  <_  ( S  -  1 ) ) )
9282, 91mtod 168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  -.  N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )
9376nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  e.  RR )
9493, 53lenltd 8965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( 2 ^ ( S  -  1 ) )  <_  N  <->  -.  N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )
9592, 94mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  <_  N )
9678, 95eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
1  x.  ( 2 ^ ( S  - 
1 ) ) )  <_  N )
9712a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  1  e.  RR )
98 2rp 10359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR+
9998a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  2  e.  RR+ )
100 1z 10053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  ZZ
101100a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  1  e.  ZZ )
10241, 101zsubcld 10122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  ZZ )
10399, 102rpexpcld 11268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  e.  RR+ )
10497, 53, 103lemuldivd 10435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( 1  x.  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) )  <_  N  <->  1  <_  ( N  /  ( 2 ^ ( S  - 
1 ) ) ) ) )
10596, 104mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  1  <_  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )
106 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
107106a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  2  e.  CC )
108 expm1t 11130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  NN )  ->  ( 2 ^ S
)  =  ( ( 2 ^ ( S  -  1 ) )  x.  2 ) )
109107, 73, 108syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ S )  =  ( ( 2 ^ ( S  - 
1 ) )  x.  2 ) )
11066, 109breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  N  <  ( ( 2 ^ ( S  -  1 ) )  x.  2 ) )
11153, 51, 103ltdivmuld 10437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) )  <  2  <->  N  <  ( ( 2 ^ ( S  -  1 ) )  x.  2 ) ) )
112110, 111mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  <  2 )
113 df-2 9804 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
114112, 113syl6breq 4062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  < 
( 1  +  1 ) )
11553, 103rerpdivcld 10417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  e.  RR )
116 flbi 10946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) )  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )  =  1  <-> 
( 1  <_  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  /\  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) )  <  ( 1  +  1 ) ) ) )
117115, 100, 116sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )  =  1  <->  ( 1  <_  ( N  / 
( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  /\  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  < 
( 1  +  1 ) ) ) )
118105, 114, 117mpbir2and 888 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )  =  1 )
119118breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2  ||  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )  <->  2  ||  1 ) )
12020, 119mtbiri 294 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) ) ) )
1211nn0zd 10115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
122121adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
123 bitsval2 12616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( S  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( ( S  - 
1 )  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) ) ) )
124122, 75, 123syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( S  -  1 )  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) ) ) )
125120, 124mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  (bits `  N
) )
12610, 125sseldd 3181 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  ( 0..^ M ) )
127 elfzolt2 10883 . . . . . 6  |-  ( ( S  -  1 )  e.  ( 0..^ M )  ->  ( S  -  1 )  < 
M )
128126, 127syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  <  M )
129 zlem1lt 10069 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( S  <_  M  <->  ( S  -  1 )  <  M ) )
13041, 46, 129syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  <_  M  <->  ( S  -  1 )  < 
M ) )
131128, 130mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  <_  M )
13247, 48ltnled 8966 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( M  <  S  <->  -.  S  <_  M ) )
13370, 132mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  -.  S  <_  M )
134131, 133pm2.65da 559 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( 2 ^ M )  <_  N
)
1357nnred 9761 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ M
)  e.  RR )
13627, 135ltnled 8966 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  <  (
2 ^ M )  <->  -.  ( 2 ^ M
)  <_  N )
)
137134, 136mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  N  <  ( 2 ^ M ) )
138 elfzo2 10878 . 2  |-  ( N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ M ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  ( 2 ^ M
)  e.  ZZ  /\  N  <  ( 2 ^ M ) ) )
1393, 8, 137, 138syl3anbrc 1136 1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ M
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354  ..^cfzo 10870   |_cfl 10924   ^cexp 11104    || cdivides 12531  bitscbits 12610
This theorem is referenced by:  bitsfzo  12626
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-dvds 12532  df-bits 12613
  Copyright terms: Public domain W3C validator