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Theorem bitsfzolem 12641
Description: Lemma for bitsfzo 12642. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
bitsfzo.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
bitsfzo.2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
bitsfzo.3  |-  ( ph  ->  (bits `  N )  C_  ( 0..^ M ) )
bitsfzo.4  |-  S  =  sup ( { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) } ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
bitsfzolem  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ M
) ) )
Distinct variable group:    n, N
Allowed substitution hints:    ph( n)    S( n)    M( n)

Proof of Theorem bitsfzolem
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsfzo.1 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 nn0uz 10278 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2syl6eleq 2386 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
4 2nn 9893 . . . . 5  |-  2  e.  NN
54a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
6 bitsfzo.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
75, 6nnexpcld 11282 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ M
)  e.  NN )
87nnzd 10132 . 2  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ M
)  e.  ZZ )
9 bitsfzo.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (bits `  N )  C_  ( 0..^ M ) )
109adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )
11 1lt2 9902 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <  2
12 1re 8853 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
13 2re 9831 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
1412, 13ltnlei 8955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  <  2  <->  -.  2  <_  1 )
1511, 14mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  -.  2  <_  1
16 2z 10070 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
17 1nn 9773 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
18 dvdsle 12590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  1  e.  NN )  ->  ( 2  ||  1  ->  2  <_  1 ) )
1916, 17, 18mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 
||  1  ->  2  <_  1 )
2015, 19mto 167 . . . . . . . . 9  |-  -.  2  ||  1
214a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  2  e.  NN )
22 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  C_  NN0
23 bitsfzo.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  S  =  sup ( { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) } ,  RR ,  `'  <  )
2422, 2sseqtri 3223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  C_  ( ZZ>=
`  0 )
2524a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } 
C_  ( ZZ>= `  0
) )
26 nnssnn0 9984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  NN  C_  NN0
271nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
2813a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
2911a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  1  <  2 )
30 expnbnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  1  <  2 )  ->  E. n  e.  NN  N  <  (
2 ^ n ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  N  <  ( 2 ^ n ) )
32 ssrexv 3251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( NN  C_  NN0  ->  ( E. n  e.  NN  N  <  ( 2 ^ n
)  ->  E. n  e.  NN0  N  <  (
2 ^ n ) ) )
3326, 31, 32mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  N  <  ( 2 ^ n ) )
34 rabn0 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  NN0  N  <  ( 2 ^ n
) )
3533, 34sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  =/=  (/) )
36 infmssuzcl 10317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } 
C_  ( ZZ>= `  0
)  /\  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  =/=  (/) )  ->  sup ( { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } )
3725, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  sup ( { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } )
3823, 37syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  S  e.  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) } )
3922, 38sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  S  e.  NN0 )
4039nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  S  e.  ZZ )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  e.  ZZ )
42 0z 10051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  ZZ
4342a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  0  e.  ZZ )
4443zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  0  e.  RR )
456nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4645adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
4746zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  M  e.  RR )
4841zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  e.  RR )
496adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  M  e.  NN0 )
5049nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  0  <_  M )
5113a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  2  e.  RR )
5251, 49reexpcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ M )  e.  RR )
5327adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  N  e.  RR )
545, 39nnexpcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ S
)  e.  NN )
5554adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ S )  e.  NN )
5655nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ S )  e.  RR )
57 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ M )  <_  N )
5838adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  e.  { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } )
59 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  =  S  ->  (
2 ^ m )  =  ( 2 ^ S ) )
6059breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  S  ->  ( N  <  ( 2 ^ m )  <->  N  <  ( 2 ^ S ) ) )
61 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  m  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ m ) )
6261breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  m  ->  ( N  <  ( 2 ^ n )  <->  N  <  ( 2 ^ m ) ) )
6362cbvrabv 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  =  {
m  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ m ) }
6460, 63elrab2 2938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( S  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  <->  ( S  e. 
NN0  /\  N  <  ( 2 ^ S ) ) )
6564simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  ->  N  <  ( 2 ^ S ) )
6658, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  N  <  ( 2 ^ S
) )
6752, 53, 56, 57, 66lelttrd 8990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ M )  <  ( 2 ^ S ) )
6811a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  1  <  2 )
6951, 46, 41, 68ltexp2d 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( M  <  S  <->  ( 2 ^ M )  < 
( 2 ^ S
) ) )
7067, 69mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  M  <  S )
7144, 47, 48, 50, 70lelttrd 8990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  0  <  S )
72 elnnz 10050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S  e.  NN  <->  ( S  e.  ZZ  /\  0  < 
S ) )
7341, 71, 72sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  e.  NN )
74 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  NN  ->  ( S  -  1 )  e.  NN0 )
7573, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  NN0 )
7621, 75nnexpcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  e.  NN )
7776nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  e.  CC )
7877mulid2d 8869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
1  x.  ( 2 ^ ( S  - 
1 ) ) )  =  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )
7948ltm1d 9705 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  <  S )
8075nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  RR )
8180, 48ltnled 8982 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( S  -  1 )  <  S  <->  -.  S  <_  ( S  -  1 ) ) )
8279, 81mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  -.  S  <_  ( S  - 
1 ) )
83 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  ( S  - 
1 )  ->  (
2 ^ m )  =  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )
8483breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  ( S  - 
1 )  ->  ( N  <  ( 2 ^ m )  <->  N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )
8584, 63elrab2 2938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  -  1 )  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  <->  ( ( S  -  1 )  e. 
NN0  /\  N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )
86 infmssuzle 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } 
C_  ( ZZ>= `  0
)  /\  ( S  -  1 )  e. 
{ n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } )  ->  sup ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( S  -  1 ) )
8724, 86mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  -  1 )  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  ->  sup ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( S  -  1 ) )
8823, 87syl5eqbr 4072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  -  1 )  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  ->  S  <_  ( S  -  1 ) )
8988a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( S  -  1 )  e.  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  ->  S  <_  ( S  -  1 ) ) )
9085, 89syl5bir 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( ( S  - 
1 )  e.  NN0  /\  N  <  ( 2 ^ ( S  - 
1 ) ) )  ->  S  <_  ( S  -  1 ) ) )
9175, 90mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) )  ->  S  <_  ( S  -  1 ) ) )
9282, 91mtod 168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  -.  N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )
9376nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  e.  RR )
9493, 53lenltd 8981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( 2 ^ ( S  -  1 ) )  <_  N  <->  -.  N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )
9592, 94mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  <_  N )
9678, 95eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
1  x.  ( 2 ^ ( S  - 
1 ) ) )  <_  N )
9712a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  1  e.  RR )
98 2rp 10375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR+
9998a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  2  e.  RR+ )
100 1z 10069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  ZZ
101100a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  1  e.  ZZ )
10241, 101zsubcld 10138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  ZZ )
10399, 102rpexpcld 11284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  e.  RR+ )
10497, 53, 103lemuldivd 10451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( 1  x.  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) )  <_  N  <->  1  <_  ( N  /  ( 2 ^ ( S  - 
1 ) ) ) ) )
10596, 104mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  1  <_  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )
106 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
107106a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  2  e.  CC )
108 expm1t 11146 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  NN )  ->  ( 2 ^ S
)  =  ( ( 2 ^ ( S  -  1 ) )  x.  2 ) )
109107, 73, 108syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ S )  =  ( ( 2 ^ ( S  - 
1 ) )  x.  2 ) )
11066, 109breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  N  <  ( ( 2 ^ ( S  -  1 ) )  x.  2 ) )
11153, 51, 103ltdivmuld 10453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) )  <  2  <->  N  <  ( ( 2 ^ ( S  -  1 ) )  x.  2 ) ) )
112110, 111mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  <  2 )
113 df-2 9820 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
114112, 113syl6breq 4078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  < 
( 1  +  1 ) )
11553, 103rerpdivcld 10433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  e.  RR )
116 flbi 10962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) )  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )  =  1  <-> 
( 1  <_  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  /\  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) )  <  ( 1  +  1 ) ) ) )
117115, 100, 116sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )  =  1  <->  ( 1  <_  ( N  / 
( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  /\  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  < 
( 1  +  1 ) ) ) )
118105, 114, 117mpbir2and 888 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )  =  1 )
119118breq2d 4051 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2  ||  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )  <->  2  ||  1 ) )
12020, 119mtbiri 294 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) ) ) )
1211nn0zd 10131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
122121adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
123 bitsval2 12632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( S  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( ( S  - 
1 )  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) ) ) )
124122, 75, 123syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( S  -  1 )  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) ) ) )
125120, 124mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  (bits `  N
) )
12610, 125sseldd 3194 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  ( 0..^ M ) )
127 elfzolt2 10899 . . . . . 6  |-  ( ( S  -  1 )  e.  ( 0..^ M )  ->  ( S  -  1 )  < 
M )
128126, 127syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  <  M )
129 zlem1lt 10085 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( S  <_  M  <->  ( S  -  1 )  <  M ) )
13041, 46, 129syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  <_  M  <->  ( S  -  1 )  < 
M ) )
131128, 130mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  <_  M )
13247, 48ltnled 8982 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( M  <  S  <->  -.  S  <_  M ) )
13370, 132mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  -.  S  <_  M )
134131, 133pm2.65da 559 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( 2 ^ M )  <_  N
)
1357nnred 9777 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ M
)  e.  RR )
13627, 135ltnled 8982 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  <  (
2 ^ M )  <->  -.  ( 2 ^ M
)  <_  N )
)
137134, 136mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  N  <  ( 2 ^ M ) )
138 elfzo2 10894 . 2  |-  ( N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ M ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  ( 2 ^ M
)  e.  ZZ  /\  N  <  ( 2 ^ M ) ) )
1393, 8, 137, 138syl3anbrc 1136 1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ M
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370  ..^cfzo 10886   |_cfl 10940   ^cexp 11120    || cdivides 12547  bitscbits 12626
This theorem is referenced by:  bitsfzo  12642
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-dvds 12548  df-bits 12629
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