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Theorem bitsmod 12940
Description: Truncating the bit sequence after some  M is equivalent to reducing the argument  mod  2 ^ M. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsmod  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
(bits `  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  =  ( (bits `  N
)  i^i  ( 0..^ M ) ) )

Proof of Theorem bitsmod
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
2 2nn 10125 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
32a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
2  e.  NN )
4 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
53, 4nnexpcld 11536 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ M
)  e.  NN )
61, 5zmodcld 11259 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  NN0 )
76nn0zd 10365 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  ZZ )
87biantrurd 495 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( x  e. 
NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )  <->  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ  /\  ( x  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) ) ) )
91ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  N  e.  ZZ )
10 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  x  e.  NN0 )
11 bitsval2 12929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) )
129, 10, 11syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
x  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) )
13 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  x  <  M )
1413biantrud 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
x  e.  (bits `  N )  <->  ( x  e.  (bits `  N )  /\  x  <  M ) ) )
15 2z 10304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  ZZ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  2  e.  ZZ )
179zred 10367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  N  e.  RR )
182a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  2  e.  NN )
1918, 10nnexpcld 11536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ x )  e.  NN )
2017, 19nndivred 10040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( N  /  ( 2 ^ x ) )  e.  RR )
2120flcld 11199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ x
) ) )  e.  ZZ )
227ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ )
2322zred 10367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  e.  RR )
2423, 19nndivred 10040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) )  e.  RR )
2524flcld 11199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) )  e.  ZZ )
26 2cn 10062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  CC
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  2  e.  CC )
2827, 10expp1d 11516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ x )  x.  2 ) )
29 1nn0 10229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  NN0
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  1  e.  NN0 )
3110, 30nn0addcld 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
x  +  1 )  e.  NN0 )
3231nn0zd 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
x  +  1 )  e.  ZZ )
33 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
3433adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  M  e.  NN0 )
3534nn0zd 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  M  e.  ZZ )
36 nn0ltp1le 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( x  <  M  <->  ( x  +  1 )  <_  M ) )
3710, 34, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
x  <  M  <->  ( x  +  1 )  <_  M ) )
3813, 37mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
x  +  1 )  <_  M )
39 eluz2 10486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  (
x  +  1 ) )  <->  ( ( x  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( x  +  1 )  <_  M ) )
4032, 35, 38, 39syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1 ) ) )
41 dvdsexp 12897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( x  +  1
)  e.  NN0  /\  M  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1
) ) )  -> 
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  ||  ( 2 ^ M ) )
4216, 31, 40, 41syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) ) 
||  ( 2 ^ M ) )
4328, 42eqbrtrrd 4226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( 2 ^ x
)  x.  2 ) 
||  ( 2 ^ M ) )
445ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ M )  e.  NN )
4544nnrpd 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ M )  e.  RR+ )
46 moddifz 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2 ^ M
)  e.  RR+ )  ->  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ )
4717, 45, 46syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ )
4844nnzd 10366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ M )  e.  ZZ )
49 2ne0 10075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  2  =/=  0 )
5127, 50, 35expne0d 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ M )  =/=  0 )
529, 22zsubcld 10372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  e.  ZZ )
53 dvdsval2 12847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2 ^ M
)  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ M
)  =/=  0  /\  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2 ^ M )  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  <->  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  e.  ZZ ) )
5448, 51, 52, 53syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( 2 ^ M
)  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  <->  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  e.  ZZ ) )
5547, 54mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ M ) 
||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )
5619nnzd 10366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ x )  e.  ZZ )
5756, 16zmulcld 10373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( 2 ^ x
)  x.  2 )  e.  ZZ )
58 dvdstr 12875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( 2 ^ x )  x.  2 )  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ M
)  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( ( 2 ^ x )  x.  2 )  ||  ( 2 ^ M
)  /\  ( 2 ^ M )  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )  ->  ( (
2 ^ x )  x.  2 )  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) ) )
5957, 48, 52, 58syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( ( ( 2 ^ x )  x.  2 )  ||  (
2 ^ M )  /\  ( 2 ^ M )  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) ) )  ->  ( ( 2 ^ x )  x.  2 )  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) ) ) )
6043, 55, 59mp2and 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( 2 ^ x
)  x.  2 ) 
||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )
6152zcnd 10368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  e.  CC )
6219nncnd 10008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ x )  e.  CC )
6310nn0zd 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  x  e.  ZZ )
6427, 50, 63expne0d 11521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ x )  =/=  0 )
6561, 62, 64divcan2d 9784 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( 2 ^ x
)  x.  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )  =  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )
6660, 65breqtrrd 4230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( 2 ^ x
)  x.  2 ) 
||  ( ( 2 ^ x )  x.  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )
6710nn0red 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  x  e.  RR )
6834nn0red 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  M  e.  RR )
6967, 68, 13ltled 9213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  x  <_  M )
70 eluz2 10486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  x
)  <->  ( x  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  x  <_  M ) )
7163, 35, 69, 70syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  x )
)
72 dvdsexp 12897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  x  e.  NN0  /\  M  e.  ( ZZ>= `  x )
)  ->  ( 2 ^ x )  ||  ( 2 ^ M
) )
7316, 10, 71, 72syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ x ) 
||  ( 2 ^ M ) )
74 dvdstr 12875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2 ^ x
)  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ M
)  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( 2 ^ x )  ||  ( 2 ^ M
)  /\  ( 2 ^ M )  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )  ->  ( 2 ^ x )  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) ) )
7556, 48, 52, 74syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( ( 2 ^ x )  ||  (
2 ^ M )  /\  ( 2 ^ M )  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) ) )  ->  ( 2 ^ x )  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) ) ) )
7673, 55, 75mp2and 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ x ) 
||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )
77 dvdsval2 12847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2 ^ x
)  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ x
)  =/=  0  /\  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2 ^ x )  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  <->  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ x
) )  e.  ZZ ) )
7856, 64, 52, 77syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( 2 ^ x
)  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  <->  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ x
) )  e.  ZZ ) )
7976, 78mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) )  e.  ZZ )
80 dvdscmulr 12870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) )  e.  ZZ  /\  (
( 2 ^ x
)  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ x
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( 2 ^ x
)  x.  2 ) 
||  ( ( 2 ^ x )  x.  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )  <->  2  ||  (
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )
8116, 79, 56, 64, 80syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( ( 2 ^ x )  x.  2 )  ||  ( ( 2 ^ x )  x.  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ x
) ) )  <->  2  ||  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )
8266, 81mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  2  ||  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )
8322zcnd 10368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  e.  CC )
849zcnd 10368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  N  e.  CC )
8583, 84pncan3d 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  +  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) ) )  =  N )
8685oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  +  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )  /  ( 2 ^ x ) )  =  ( N  / 
( 2 ^ x
) ) )
8783, 61, 62, 64divdird 9820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  +  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )  /  ( 2 ^ x ) )  =  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) )  +  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )
8886, 87eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( N  /  ( 2 ^ x ) )  =  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) )  +  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )
8988fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ x
) ) )  =  ( |_ `  (
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) )  +  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) )
90 fladdz 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) )  e.  RR  /\  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) )  e.  ZZ )  -> 
( |_ `  (
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) )  +  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )  =  ( ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )  +  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ x
) ) ) )
9124, 79, 90syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( |_ `  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) )  +  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )  =  ( ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )  +  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )
9289, 91eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ x
) ) )  =  ( ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) ) )  +  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )
9392oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ x ) ) )  -  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) ) ) )  =  ( ( ( |_
`  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) )  +  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )  -  ( |_
`  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) ) ) )
9425zcnd 10368 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) )  e.  CC )
9579zcnd 10368 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) )  e.  CC )
9694, 95pncan2d 9405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) ) )  +  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )  -  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) ) ) )  =  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )
9793, 96eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ x ) ) )  -  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) ) ) )  =  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )
9882, 97breqtrrd 4230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  2  ||  ( ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ x ) ) )  -  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) ) ) )
99 dvdssub2 12879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ x ) ) )  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) )  e.  ZZ )  /\  2  ||  ( ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ x ) ) )  -  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) ) ) )  ->  ( 2 
||  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ x ) ) )  <->  2  ||  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) )
10016, 21, 25, 98, 99syl31anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2  ||  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ x ) ) )  <->  2  ||  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) )
101100notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ x
) ) )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) )
10212, 14, 1013bitr3d 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( x  e.  (bits `  N )  /\  x  <  M )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) )
103 dvds0 12857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
10415, 103ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  ||  0
1051ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  N  e.  ZZ )
106105zred 10367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  N  e.  RR )
107 2rp 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR+
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
2  e.  RR+ )
10933nn0zd 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
110109adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  M  e.  ZZ )
111108, 110rpexpcld 11538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( 2 ^ M
)  e.  RR+ )
112106, 111modcld 11246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  RR )
113 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  x  e.  NN0 )
114113nn0zd 10365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  x  e.  ZZ )
115108, 114rpexpcld 11538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( 2 ^ x
)  e.  RR+ )
1166ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  NN0 )
117116nn0ge0d 10269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
0  <_  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )
118112, 115, 117divge0d 10676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
0  <_  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) )
119111rpred 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( 2 ^ M
)  e.  RR )
120115rpred 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( 2 ^ x
)  e.  RR )
121 modlt 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2 ^ M
)  e.  RR+ )  ->  ( N  mod  (
2 ^ M ) )  <  ( 2 ^ M ) )
122106, 111, 121syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  <  ( 2 ^ M ) )
123108rpred 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
2  e.  RR )
124 1re 9082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  RR
125 2re 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR
126 1lt2 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  <  2
127124, 125, 126ltleii 9188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  <_  2
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
1  <_  2 )
129 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  -.  x  <  M )
130110zred 10367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  M  e.  RR )
131113nn0red 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  x  e.  RR )
132130, 131lenltd 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( M  <_  x  <->  -.  x  <  M ) )
133129, 132mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  M  <_  x )
134 eluz2 10486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) )
135110, 114, 133, 134syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )
136123, 128, 135leexp2ad 11547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( 2 ^ M
)  <_  ( 2 ^ x ) )
137112, 119, 120, 122, 136ltletrd 9222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  <  ( 2 ^ x ) )
138115rpcnd 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( 2 ^ x
)  e.  CC )
139138mulid1d 9097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( ( 2 ^ x )  x.  1 )  =  ( 2 ^ x ) )
140137, 139breqtrrd 4230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  <  ( ( 2 ^ x )  x.  1 ) )
141124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
1  e.  RR )
142112, 141, 115ltdivmuld 10687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) )  <  1  <->  ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  <  ( ( 2 ^ x )  x.  1 ) ) )
143140, 142mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) )  <  1 )
144 1e0p1 10402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =  ( 0  +  1 )
145143, 144syl6breq 4243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) )  <  ( 0  +  1 ) )
146112, 115rerpdivcld 10667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) )  e.  RR )
147 0z 10285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
148 flbi 11215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) )  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) ) )  =  0  <-> 
( 0  <_  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) )  /\  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
149146, 147, 148sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) ) )  =  0  <-> 
( 0  <_  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) )  /\  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
150118, 145, 149mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )  =  0 )
151104, 150syl5breqr 4240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
2  ||  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) ) ) )
152129intnand 883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  -.  ( x  e.  (bits `  N )  /\  x  <  M ) )
153151, 1522thd 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( 2  ||  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) )  <->  -.  (
x  e.  (bits `  N )  /\  x  <  M ) ) )
154153con2bid 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( ( x  e.  (bits `  N )  /\  x  <  M )  <->  -.  2  ||  ( |_
`  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) ) ) )
155102, 154pm2.61dan 767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( x  e.  (bits `  N
)  /\  x  <  M )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) )
156109biantrurd 495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( x  e.  (bits `  N
)  /\  x  <  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( x  e.  (bits `  N
)  /\  x  <  M ) ) ) )
157155, 156bitr3d 247 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( -.  2  ||  ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( x  e.  (bits `  N
)  /\  x  <  M ) ) ) )
158 an12 773 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( x  e.  (bits `  N )  /\  x  <  M ) )  <->  ( x  e.  (bits `  N )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  x  <  M ) ) )
159157, 158syl6bb 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( -.  2  ||  ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )  <->  ( x  e.  (bits `  N )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  x  <  M ) ) ) )
160159pm5.32da 623 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( x  e. 
NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )  <->  ( x  e.  NN0  /\  ( x  e.  (bits `  N
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  x  < 
M ) ) ) ) )
1618, 160bitr3d 247 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ  /\  ( x  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) )  <->  ( x  e.  NN0  /\  ( x  e.  (bits `  N
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  x  < 
M ) ) ) ) )
162 3anass 940 . . . 4  |-  ( ( ( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  ZZ  /\  x  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) ) ) )  <->  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ  /\  ( x  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) ) )
163 elfzo2 11135 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0..^ M )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  M  e.  ZZ  /\  x  <  M ) )
164 elnn0uz 10515 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  NN0  <->  x  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
1651643anbi1i 1144 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ  /\  x  <  M )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  M  e.  ZZ  /\  x  <  M ) )
166 3anass 940 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ  /\  x  <  M )  <->  ( x  e.  NN0  /\  ( M  e.  ZZ  /\  x  <  M ) ) )
167163, 165, 1663bitr2i 265 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0..^ M )  <->  ( x  e. 
NN0  /\  ( M  e.  ZZ  /\  x  < 
M ) ) )
168167anbi2i 676 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  (bits `  N )  /\  x  e.  ( 0..^ M ) )  <->  ( x  e.  (bits `  N )  /\  ( x  e.  NN0  /\  ( M  e.  ZZ  /\  x  <  M ) ) ) )
169 an12 773 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  (bits `  N )  /\  (
x  e.  NN0  /\  ( M  e.  ZZ  /\  x  <  M ) ) )  <->  ( x  e.  NN0  /\  ( x  e.  (bits `  N
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  x  < 
M ) ) ) )
170168, 169bitri 241 . . . 4  |-  ( ( x  e.  (bits `  N )  /\  x  e.  ( 0..^ M ) )  <->  ( x  e. 
NN0  /\  ( x  e.  (bits `  N )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  x  <  M ) ) ) )
171161, 162, 1703bitr4g 280 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ  /\  x  e. 
NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )  <->  ( x  e.  (bits `  N )  /\  x  e.  (
0..^ M ) ) ) )
172 bitsval 12928 . . 3  |-  ( x  e.  (bits `  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  <-> 
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  e.  ZZ  /\  x  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) ) ) )
173 elin 3522 . . 3  |-  ( x  e.  ( (bits `  N )  i^i  (
0..^ M ) )  <-> 
( x  e.  (bits `  N )  /\  x  e.  ( 0..^ M ) ) )
174171, 172, 1733bitr4g 280 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  (bits `  ( N  mod  (
2 ^ M ) ) )  <->  x  e.  ( (bits `  N )  i^i  ( 0..^ M ) ) ) )
175174eqrdv 2433 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
(bits `  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  =  ( (bits `  N
)  i^i  ( 0..^ M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    i^i cin 3311   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   RR+crp 10604  ..^cfzo 11127   |_cfl 11193    mod cmo 11242   ^cexp 11374    || cdivides 12844  bitscbits 12923
This theorem is referenced by:  sadaddlem  12970  sadadd  12971  bitsres  12977  smumul  12997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-dvds 12845  df-bits 12926
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