MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsp1o Unicode version

Theorem bitsp1o 12873
Description: The  M  +  1-th bit of  2 N  +  1 is the  M-th bit of  N. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsp1o  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  e.  (bits `  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <->  M  e.  (bits `  N ) ) )

Proof of Theorem bitsp1o
StepHypRef Expression
1 2z 10245 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  ZZ )
3 id 20 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ZZ )
42, 3zmulcld 10314 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  ZZ )
54peano2zd 10311 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  ZZ )
6 bitsp1 12871 . . 3  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  e.  (bits `  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <->  M  e.  (bits `  ( |_ `  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
) ) ) ) )
75, 6sylan 458 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  e.  (bits `  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <->  M  e.  (bits `  ( |_ `  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
) ) ) ) )
8 2re 10002 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
10 zre 10219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
119, 10remulcld 9050 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
1211recnd 9048 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
13 ax-1cn 8982 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
1413a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
15 2cn 10003 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
1615a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
17 2ne0 10016 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
1817a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  =/=  0 )
1912, 14, 16, 18divdird 9761 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )
20 zcn 10220 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2120, 16, 18divcan3d 9728 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  N
)  /  2 )  =  N )
2221oveq1d 6036 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  N )  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )
2319, 22eqtrd 2420 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  =  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )
2423fveq2d 5673 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
2 ) )  =  ( |_ `  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
25 0re 9025 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
268, 17rereccli 9712 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
27 halfgt0 10121 . . . . . . . . 9  |-  0  <  ( 1  /  2
)
2825, 26, 27ltleii 9128 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
29 halflt1 10122 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  <  1
3028, 29pm3.2i 442 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( 1  / 
2 )  /\  (
1  /  2 )  <  1 )
31 flbi2 11152 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )  =  N  <->  ( 0  <_ 
( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <  1 ) ) )
3226, 31mpan2 653 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( |_ `  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  N  <->  ( 0  <_  ( 1  / 
2 )  /\  (
1  /  2 )  <  1 ) ) )
3330, 32mpbiri 225 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )  =  N )
3424, 33eqtrd 2420 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
2 ) )  =  N )
3534adantr 452 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 ) )  =  N )
3635fveq2d 5673 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
(bits `  ( |_ `  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
) ) )  =  (bits `  N )
)
3736eleq2d 2455 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  (bits `  ( |_ `  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 ) ) )  <->  M  e.  (bits `  N ) ) )
387, 37bitrd 245 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  e.  (bits `  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <->  M  e.  (bits `  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    < clt 9054    <_ cle 9055    / cdiv 9610   2c2 9982   NN0cn0 10154   ZZcz 10215   |_cfl 11129  bitscbits 12859
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-bits 12862
  Copyright terms: Public domain W3C validator