MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsp1o Unicode version

Theorem bitsp1o 12624
Description: The  M  +  1-th bit of  2 N  +  1 is the  M-th bit of  N. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsp1o  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  e.  (bits `  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <->  M  e.  (bits `  N ) ) )

Proof of Theorem bitsp1o
StepHypRef Expression
1 2z 10054 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
21a1i 10 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  ZZ )
3 id 19 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ZZ )
42, 3zmulcld 10123 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  ZZ )
54peano2zd 10120 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  ZZ )
6 bitsp1 12622 . . 3  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  e.  (bits `  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <->  M  e.  (bits `  ( |_ `  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
) ) ) ) )
75, 6sylan 457 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  e.  (bits `  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <->  M  e.  (bits `  ( |_ `  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
) ) ) ) )
8 2re 9815 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
98a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
10 zre 10028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
119, 10remulcld 8863 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
1211recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
13 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
1413a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
15 2cn 9816 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
1615a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
17 2ne0 9829 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
1817a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  =/=  0 )
1912, 14, 16, 18divdird 9574 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )
20 zcn 10029 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2120, 16, 18divcan3d 9541 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  N
)  /  2 )  =  N )
2221oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  N )  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )
2319, 22eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  =  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )
2423fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
2 ) )  =  ( |_ `  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
25 0re 8838 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
268, 17rereccli 9525 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
27 halfgt0 9932 . . . . . . . . 9  |-  0  <  ( 1  /  2
)
2825, 26, 27ltleii 8941 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
29 halflt1 9933 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  <  1
3028, 29pm3.2i 441 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( 1  / 
2 )  /\  (
1  /  2 )  <  1 )
31 flbi2 10947 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )  =  N  <->  ( 0  <_ 
( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <  1 ) ) )
3226, 31mpan2 652 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( |_ `  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  N  <->  ( 0  <_  ( 1  / 
2 )  /\  (
1  /  2 )  <  1 ) ) )
3330, 32mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )  =  N )
3424, 33eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
2 ) )  =  N )
3534adantr 451 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 ) )  =  N )
3635fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
(bits `  ( |_ `  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
) ) )  =  (bits `  N )
)
3736eleq2d 2350 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  (bits `  ( |_ `  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 ) ) )  <->  M  e.  (bits `  N ) ) )
387, 37bitrd 244 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  e.  (bits `  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <->  M  e.  (bits `  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   |_cfl 10924  bitscbits 12610
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-bits 12613
  Copyright terms: Public domain W3C validator