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Theorem bitsshft 12914
Description: Shifting a bit sequence to the left (toward the more significant bits) causes the number to be multiplied by a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsshft  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  { n  e.  NN0  |  ( n  -  N
)  e.  (bits `  A ) }  =  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, N

Proof of Theorem bitsshft
StepHypRef Expression
1 bitsss 12865 . . 3  |-  (bits `  ( A  x.  (
2 ^ N ) ) )  C_  NN0
2 dfss1 3488 . . 3  |-  ( (bits `  ( A  x.  (
2 ^ N ) ) )  C_  NN0  <->  ( NN0  i^i  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) ) )  =  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N ) ) ) )
31, 2mpbi 200 . 2  |-  ( NN0 
i^i  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) ) )  =  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N ) ) )
4 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  A  e.  ZZ )
5 2nn 10065 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
65a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  2  e.  NN )
7 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
86, 7nnexpcld 11471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ N )  e.  NN )
98nnzd 10306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ N )  e.  ZZ )
10 dvdsmul2 12799 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ N
)  e.  ZZ )  ->  ( 2 ^ N )  ||  ( A  x.  ( 2 ^ N ) ) )
114, 9, 10syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ N )  ||  ( A  x.  ( 2 ^ N ) ) )
124, 9zmulcld 10313 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  e.  ZZ )
13 bitsuz 12913 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  x.  (
2 ^ N ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 2 ^ N )  ||  ( A  x.  ( 2 ^ N ) )  <-> 
(bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  C_  ( ZZ>= `  N )
) )
1412, 7, 13syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( 2 ^ N )  ||  ( A  x.  (
2 ^ N ) )  <->  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  C_  ( ZZ>= `  N )
) )
1511, 14mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N ) ) )  C_  ( ZZ>= `  N ) )
1615sseld 3290 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
17 uznn0sub 10449 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
1816, 17syl6 31 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  -> 
( n  -  N
)  e.  NN0 )
)
19 bitsss 12865 . . . . . 6  |-  (bits `  A )  C_  NN0
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (bits `  A
)  C_  NN0 )
2120sseld 3290 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( n  -  N )  e.  (bits `  A )  ->  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)
22 2cn 10002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  2  e.  CC )
245a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  2  e.  NN )
2524nnne0d 9976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  2  =/=  0 )
26 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  N  e.  NN0 )
2726nn0zd 10305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  N  e.  ZZ )
28 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  n  e.  NN0 )
2928nn0zd 10305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  n  e.  ZZ )
3023, 25, 27, 29expsubd 11461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ ( n  -  N ) )  =  ( ( 2 ^ n )  /  (
2 ^ N ) ) )
3130oveq2d 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) )  =  ( A  /  (
( 2 ^ n
)  /  ( 2 ^ N ) ) ) )
32 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  e.  ZZ )
3332zcnd 10308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
3433adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  A  e.  CC )
3524, 28nnexpcld 11471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
3635nncnd 9948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ n )  e.  CC )
3724, 26nnexpcld 11471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ N )  e.  NN )
3837nncnd 9948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ N )  e.  CC )
3935nnne0d 9976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ n )  =/=  0 )
4037nnne0d 9976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ N )  =/=  0 )
4134, 36, 38, 39, 40divdiv2d 9754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( A  /  ( ( 2 ^ n )  / 
( 2 ^ N
) ) )  =  ( ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  /  (
2 ^ n ) ) )
4231, 41eqtr2d 2420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( ( A  x.  ( 2 ^ N ) )  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( A  /  (
2 ^ ( n  -  N ) ) ) )
4342fveq2d 5672 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( |_ `  ( ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  /  (
2 ^ n ) ) )  =  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) ) ) )
4443breq2d 4165 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 
||  ( |_ `  ( ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  /  (
2 ^ n ) ) )  <->  2  ||  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) ) ) ) )
4544notbid 286 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( -.  2  ||  ( |_ `  ( ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  /  (
2 ^ n ) ) )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) ) ) ) )
4612adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  e.  ZZ )
47 bitsval2 12864 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  x.  (
2 ^ N ) )  e.  ZZ  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( n  e.  (bits `  ( A  x.  (
2 ^ N ) ) )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  (
( A  x.  (
2 ^ N ) )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
4846, 28, 47syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  (
( A  x.  (
2 ^ N ) )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
49 bitsval2 12864 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )  ->  ( ( n  -  N )  e.  (bits `  A )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) ) ) ) )
5049ad2ant2rl 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( (
n  -  N )  e.  (bits `  A
)  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) ) ) ) )
5145, 48, 503bitr4d 277 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  <->  ( n  -  N )  e.  (bits `  A ) ) )
5251expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( n  -  N )  e. 
NN0  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  <->  ( n  -  N )  e.  (bits `  A ) ) ) )
5318, 21, 52pm5.21ndd 344 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  <->  ( n  -  N )  e.  (bits `  A ) ) )
5453rabbi2dva 3492 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( NN0  i^i  (bits `  ( A  x.  (
2 ^ N ) ) ) )  =  { n  e.  NN0  |  ( n  -  N
)  e.  (bits `  A ) } )
553, 54syl5reqr 2434 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  { n  e.  NN0  |  ( n  -  N
)  e.  (bits `  A ) }  =  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2653    i^i cin 3262    C_ wss 3263   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921    x. cmul 8928    - cmin 9223    / cdiv 9609   NNcn 9932   2c2 9981   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   |_cfl 11128   ^cexp 11309    || cdivides 12779  bitscbits 12858
This theorem is referenced by:  smumullem  12931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-xor 1311  df-tru 1325  df-had 1386  df-cad 1387  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-disj 4124  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-sum 12407  df-dvds 12780  df-bits 12861  df-sad 12890
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