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Theorem bitsshft 12666
Description: Shifting a bit sequence to the left (toward the more significant bits) causes the number to be multiplied by a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsshft  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  { n  e.  NN0  |  ( n  -  N
)  e.  (bits `  A ) }  =  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, N

Proof of Theorem bitsshft
StepHypRef Expression
1 bitsss 12617 . . 3  |-  (bits `  ( A  x.  (
2 ^ N ) ) )  C_  NN0
2 dfss1 3373 . . 3  |-  ( (bits `  ( A  x.  (
2 ^ N ) ) )  C_  NN0  <->  ( NN0  i^i  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) ) )  =  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N ) ) ) )
31, 2mpbi 199 . 2  |-  ( NN0 
i^i  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) ) )  =  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N ) ) )
4 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  A  e.  ZZ )
5 2nn 9877 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
65a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  2  e.  NN )
7 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
86, 7nnexpcld 11266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ N )  e.  NN )
98nnzd 10116 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ N )  e.  ZZ )
10 dvdsmul2 12551 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ N
)  e.  ZZ )  ->  ( 2 ^ N )  ||  ( A  x.  ( 2 ^ N ) ) )
114, 9, 10syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ N )  ||  ( A  x.  ( 2 ^ N ) ) )
124, 9zmulcld 10123 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  e.  ZZ )
13 bitsuz 12665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  x.  (
2 ^ N ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 2 ^ N )  ||  ( A  x.  ( 2 ^ N ) )  <-> 
(bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  C_  ( ZZ>= `  N )
) )
1412, 7, 13syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( 2 ^ N )  ||  ( A  x.  (
2 ^ N ) )  <->  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  C_  ( ZZ>= `  N )
) )
1511, 14mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N ) ) )  C_  ( ZZ>= `  N ) )
1615sseld 3179 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
17 uznn0sub 10259 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
1816, 17syl6 29 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  -> 
( n  -  N
)  e.  NN0 )
)
19 bitsss 12617 . . . . . 6  |-  (bits `  A )  C_  NN0
2019a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (bits `  A
)  C_  NN0 )
2120sseld 3179 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( n  -  N )  e.  (bits `  A )  ->  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)
22 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
2322a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  2  e.  CC )
245a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  2  e.  NN )
2524nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  2  =/=  0 )
26 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  N  e.  NN0 )
2726nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  N  e.  ZZ )
28 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  n  e.  NN0 )
2928nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  n  e.  ZZ )
3023, 25, 27, 29expsubd 11256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ ( n  -  N ) )  =  ( ( 2 ^ n )  /  (
2 ^ N ) ) )
3130oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) )  =  ( A  /  (
( 2 ^ n
)  /  ( 2 ^ N ) ) ) )
32 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  e.  ZZ )
3332zcnd 10118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
3433adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  A  e.  CC )
3524, 28nnexpcld 11266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
3635nncnd 9762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ n )  e.  CC )
3724, 26nnexpcld 11266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ N )  e.  NN )
3837nncnd 9762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ N )  e.  CC )
3935nnne0d 9790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ n )  =/=  0 )
4037nnne0d 9790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ N )  =/=  0 )
4134, 36, 38, 39, 40divdiv2d 9568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( A  /  ( ( 2 ^ n )  / 
( 2 ^ N
) ) )  =  ( ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  /  (
2 ^ n ) ) )
4231, 41eqtr2d 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( ( A  x.  ( 2 ^ N ) )  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( A  /  (
2 ^ ( n  -  N ) ) ) )
4342fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( |_ `  ( ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  /  (
2 ^ n ) ) )  =  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) ) ) )
4443breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 
||  ( |_ `  ( ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  /  (
2 ^ n ) ) )  <->  2  ||  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) ) ) ) )
4544notbid 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( -.  2  ||  ( |_ `  ( ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  /  (
2 ^ n ) ) )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) ) ) ) )
4612adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  e.  ZZ )
47 bitsval2 12616 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  x.  (
2 ^ N ) )  e.  ZZ  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( n  e.  (bits `  ( A  x.  (
2 ^ N ) ) )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  (
( A  x.  (
2 ^ N ) )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
4846, 28, 47syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  (
( A  x.  (
2 ^ N ) )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
49 bitsval2 12616 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )  ->  ( ( n  -  N )  e.  (bits `  A )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) ) ) ) )
5049ad2ant2rl 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( (
n  -  N )  e.  (bits `  A
)  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) ) ) ) )
5145, 48, 503bitr4d 276 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  <->  ( n  -  N )  e.  (bits `  A ) ) )
5251expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( n  -  N )  e. 
NN0  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  <->  ( n  -  N )  e.  (bits `  A ) ) ) )
5318, 21, 52pm5.21ndd 343 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  <->  ( n  -  N )  e.  (bits `  A ) ) )
5453rabbi2dva 3377 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( NN0  i^i  (bits `  ( A  x.  (
2 ^ N ) ) ) )  =  { n  e.  NN0  |  ( n  -  N
)  e.  (bits `  A ) } )
553, 54syl5reqr 2330 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  { n  e.  NN0  |  ( n  -  N
)  e.  (bits `  A ) }  =  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547    i^i cin 3151    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735    x. cmul 8742    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   |_cfl 10924   ^cexp 11104    || cdivides 12531  bitscbits 12610
This theorem is referenced by:  smumullem  12683
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-xor 1296  df-tru 1310  df-had 1370  df-cad 1371  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-bits 12613  df-sad 12642
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