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Theorem bitsshft 12979
Description: Shifting a bit sequence to the left (toward the more significant bits) causes the number to be multiplied by a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsshft  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  { n  e.  NN0  |  ( n  -  N
)  e.  (bits `  A ) }  =  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, N

Proof of Theorem bitsshft
StepHypRef Expression
1 bitsss 12930 . . 3  |-  (bits `  ( A  x.  (
2 ^ N ) ) )  C_  NN0
2 dfss1 3537 . . 3  |-  ( (bits `  ( A  x.  (
2 ^ N ) ) )  C_  NN0  <->  ( NN0  i^i  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) ) )  =  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N ) ) ) )
31, 2mpbi 200 . 2  |-  ( NN0 
i^i  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) ) )  =  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N ) ) )
4 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  A  e.  ZZ )
5 2nn 10125 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
65a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  2  e.  NN )
7 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
86, 7nnexpcld 11536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ N )  e.  NN )
98nnzd 10366 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ N )  e.  ZZ )
10 dvdsmul2 12864 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ N
)  e.  ZZ )  ->  ( 2 ^ N )  ||  ( A  x.  ( 2 ^ N ) ) )
114, 9, 10syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ N )  ||  ( A  x.  ( 2 ^ N ) ) )
124, 9zmulcld 10373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  e.  ZZ )
13 bitsuz 12978 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  x.  (
2 ^ N ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 2 ^ N )  ||  ( A  x.  ( 2 ^ N ) )  <-> 
(bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  C_  ( ZZ>= `  N )
) )
1412, 7, 13syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( 2 ^ N )  ||  ( A  x.  (
2 ^ N ) )  <->  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  C_  ( ZZ>= `  N )
) )
1511, 14mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N ) ) )  C_  ( ZZ>= `  N ) )
1615sseld 3339 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
17 uznn0sub 10509 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
1816, 17syl6 31 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  -> 
( n  -  N
)  e.  NN0 )
)
19 bitsss 12930 . . . . . 6  |-  (bits `  A )  C_  NN0
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (bits `  A
)  C_  NN0 )
2120sseld 3339 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( n  -  N )  e.  (bits `  A )  ->  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)
22 2cn 10062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  2  e.  CC )
245a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  2  e.  NN )
2524nnne0d 10036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  2  =/=  0 )
26 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  N  e.  NN0 )
2726nn0zd 10365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  N  e.  ZZ )
28 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  n  e.  NN0 )
2928nn0zd 10365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  n  e.  ZZ )
3023, 25, 27, 29expsubd 11526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ ( n  -  N ) )  =  ( ( 2 ^ n )  /  (
2 ^ N ) ) )
3130oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) )  =  ( A  /  (
( 2 ^ n
)  /  ( 2 ^ N ) ) ) )
32 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  e.  ZZ )
3332zcnd 10368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
3433adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  A  e.  CC )
3524, 28nnexpcld 11536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
3635nncnd 10008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ n )  e.  CC )
3724, 26nnexpcld 11536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ N )  e.  NN )
3837nncnd 10008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ N )  e.  CC )
3935nnne0d 10036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ n )  =/=  0 )
4037nnne0d 10036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 ^ N )  =/=  0 )
4134, 36, 38, 39, 40divdiv2d 9814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( A  /  ( ( 2 ^ n )  / 
( 2 ^ N
) ) )  =  ( ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  /  (
2 ^ n ) ) )
4231, 41eqtr2d 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( ( A  x.  ( 2 ^ N ) )  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( A  /  (
2 ^ ( n  -  N ) ) ) )
4342fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( |_ `  ( ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  /  (
2 ^ n ) ) )  =  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) ) ) )
4443breq2d 4216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( 2 
||  ( |_ `  ( ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  /  (
2 ^ n ) ) )  <->  2  ||  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) ) ) ) )
4544notbid 286 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( -.  2  ||  ( |_ `  ( ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  /  (
2 ^ n ) ) )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) ) ) ) )
4612adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( A  x.  ( 2 ^ N
) )  e.  ZZ )
47 bitsval2 12929 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  x.  (
2 ^ N ) )  e.  ZZ  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( n  e.  (bits `  ( A  x.  (
2 ^ N ) ) )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  (
( A  x.  (
2 ^ N ) )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
4846, 28, 47syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  (
( A  x.  (
2 ^ N ) )  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
49 bitsval2 12929 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )  ->  ( ( n  -  N )  e.  (bits `  A )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) ) ) ) )
5049ad2ant2rl 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( (
n  -  N )  e.  (bits `  A
)  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( A  /  ( 2 ^ ( n  -  N
) ) ) ) ) )
5145, 48, 503bitr4d 277 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( n  -  N
)  e.  NN0 )
)  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  <->  ( n  -  N )  e.  (bits `  A ) ) )
5251expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( n  -  N )  e. 
NN0  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  <->  ( n  -  N )  e.  (bits `  A ) ) ) )
5318, 21, 52pm5.21ndd 344 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( n  e.  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) )  <->  ( n  -  N )  e.  (bits `  A ) ) )
5453rabbi2dva 3541 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( NN0  i^i  (bits `  ( A  x.  (
2 ^ N ) ) ) )  =  { n  e.  NN0  |  ( n  -  N
)  e.  (bits `  A ) } )
553, 54syl5reqr 2482 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  { n  e.  NN0  |  ( n  -  N
)  e.  (bits `  A ) }  =  (bits `  ( A  x.  ( 2 ^ N
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701    i^i cin 3311    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980    x. cmul 8987    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   |_cfl 11193   ^cexp 11374    || cdivides 12844  bitscbits 12923
This theorem is referenced by:  smumullem  12996
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-xor 1314  df-tru 1328  df-had 1389  df-cad 1390  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-dvds 12845  df-bits 12926  df-sad 12955
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