MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsss Structured version   Unicode version

Theorem bitsss 12938
Description: The set of bits of an integer is a subset of  NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsss  |-  (bits `  N )  C_  NN0

Proof of Theorem bitsss
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsval 12936 . . 3  |-  ( m  e.  (bits `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  m  e. 
NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
21simp2bi 973 . 2  |-  ( m  e.  (bits `  N
)  ->  m  e.  NN0 )
32ssriv 3352 1  |-  (bits `  N )  C_  NN0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1725    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    / cdiv 9677   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   |_cfl 11201   ^cexp 11382    || cdivides 12852  bitscbits 12931
This theorem is referenced by:  bitsinv2  12955  bitsf1ocnv  12956  sadaddlem  12978  sadadd  12979  bitsres  12985  bitsshft  12987  smumullem  13004  smumul  13005
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-nn 10001  df-n0 10222  df-bits 12934
  Copyright terms: Public domain W3C validator