MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsval2 Structured version   Unicode version

Theorem bitsval2 12929
Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsval2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ M ) ) ) ) )

Proof of Theorem bitsval2
StepHypRef Expression
1 bitsval 12928 . . 3  |-  ( M  e.  (bits `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ M ) ) ) ) )
2 df-3an 938 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ M ) ) ) )  <->  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ M ) ) ) ) )
31, 2bitri 241 . 2  |-  ( M  e.  (bits `  N
)  <->  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ M ) ) ) ) )
43baib 872 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ M ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    / cdiv 9669   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   |_cfl 11193   ^cexp 11374    || cdivides 12844  bitscbits 12923
This theorem is referenced by:  bits0  12932  bitsp1  12935  bitsfzolem  12938  bitsfzo  12939  bitsmod  12940  bitscmp  12942  bitsinv1lem  12945  bitsshft  12979
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-nn 9993  df-n0 10214  df-bits 12926
  Copyright terms: Public domain W3C validator