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Theorem blbnd 26614
Description: A ball is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blbnd  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )

Proof of Theorem blbnd
Dummy variables  r  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
2 rexr 8893 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR  ->  R  e.  RR* )
3 blssm 17984 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( Y ( ball `  M ) R ) 
C_  X )
42, 3syl3an3 1217 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  ( Y (
ball `  M ) R )  C_  X
)
5 xmetres2 17941 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  C_  X
)  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
61, 4, 5syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
76adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =  (/) )  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
8 rzal 3568 . . . 4  |-  ( ( Y ( ball `  M
) R )  =  (/)  ->  A. x  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) )
98adantl 452 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =  (/) )  ->  A. x  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) )
10 isbndx 26609 . . 3  |-  ( ( M  |`  ( ( Y ( ball `  M
) R )  X.  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M
) R ) )  <-> 
( ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Y ( ball `  M
) R ) )  /\  A. x  e.  ( Y ( ball `  M ) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) ) )
117, 9, 10sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =  (/) )  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )
126adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )
131adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  M  e.  ( * Met `  X ) )
14 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  Y  e.  X )
15 simpl3 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  R  e.  RR )
16 xbln0 17981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/)  <->  0  <  R ) )
172, 16syl3an3 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( Y ( ball `  M
) R )  =/=  (/) 
<->  0  <  R ) )
1817biimpa 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
0  <  R )
1915, 18elrpd 10404 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  R  e.  RR+ )
20 blcntr 17980 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR+ )  ->  Y  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) )
2113, 14, 19, 20syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  Y  e.  ( Y
( ball `  M ) R ) )
22 elin 3371 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ( X  i^i  ( Y ( ball `  M
) R ) )  <-> 
( Y  e.  X  /\  Y  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
2314, 21, 22sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  Y  e.  ( X  i^i  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )
2415rexrd 8897 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  R  e.  RR* )
25 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  =  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
2625blres 17993 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  ( X  i^i  ( Y ( ball `  M
) R ) )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( Y (
ball `  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) ) ) R )  =  ( ( Y ( ball `  M
) R )  i^i  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )
2713, 23, 24, 26syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
( Y ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) R )  =  ( ( Y (
ball `  M ) R )  i^i  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
28 inidm 3391 . . . . . 6  |-  ( ( Y ( ball `  M
) R )  i^i  ( Y ( ball `  M ) R ) )  =  ( Y ( ball `  M
) R )
2927, 28syl6req 2345 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
( Y ( ball `  M ) R )  =  ( Y (
ball `  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) ) ) R ) )
30 rspceov 5909 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  ( Y ( ball `  M
) R )  /\  R  e.  RR+  /\  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( Y ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) R ) )  ->  E. x  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) )
3121, 19, 29, 30syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) )
32 isbnd2 26610 . . . 4  |-  ( ( ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M
) R ) )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  <->  ( ( M  |`  ( ( Y ( ball `  M
) R )  X.  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Y ( ball `  M
) R ) )  /\  E. x  e.  ( Y ( ball `  M ) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) ) )
3312, 31, 32sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
( ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M ) R ) )  /\  ( Y ( ball `  M
) R )  =/=  (/) ) )
3433simpld 445 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
3511, 34pm2.61dane 2537 1  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    X. cxp 4703    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   RR*cxr 8882    < clt 8883   RR+crp 10370   * Metcxmt 16385   ballcbl 16387   Bndcbnd 26594
This theorem is referenced by:  ssbnd  26615  prdsbnd2  26622
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-er 6676  df-ec 6678  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-bnd 26606
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