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Theorem blbnd 26487
Description: A ball is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blbnd  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )

Proof of Theorem blbnd
Dummy variables  r  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
2 rexr 9122 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR  ->  R  e.  RR* )
3 blssm 18440 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( Y ( ball `  M ) R ) 
C_  X )
42, 3syl3an3 1219 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  ( Y (
ball `  M ) R )  C_  X
)
5 xmetres2 18383 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  C_  X
)  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
61, 4, 5syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
76adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =  (/) )  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
8 rzal 3721 . . . 4  |-  ( ( Y ( ball `  M
) R )  =  (/)  ->  A. x  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) )
98adantl 453 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =  (/) )  ->  A. x  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) )
10 isbndx 26482 . . 3  |-  ( ( M  |`  ( ( Y ( ball `  M
) R )  X.  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M
) R ) )  <-> 
( ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Y ( ball `  M
) R ) )  /\  A. x  e.  ( Y ( ball `  M ) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) ) )
117, 9, 10sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =  (/) )  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )
126adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )
131adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  M  e.  ( * Met `  X ) )
14 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  Y  e.  X )
15 simpl3 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  R  e.  RR )
16 xbln0 18436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/)  <->  0  <  R ) )
172, 16syl3an3 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( Y ( ball `  M
) R )  =/=  (/) 
<->  0  <  R ) )
1817biimpa 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
0  <  R )
1915, 18elrpd 10638 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  R  e.  RR+ )
20 blcntr 18435 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR+ )  ->  Y  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) )
2113, 14, 19, 20syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  Y  e.  ( Y
( ball `  M ) R ) )
22 elin 3522 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ( X  i^i  ( Y ( ball `  M
) R ) )  <-> 
( Y  e.  X  /\  Y  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
2314, 21, 22sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  Y  e.  ( X  i^i  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )
2415rexrd 9126 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  R  e.  RR* )
25 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  =  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
2625blres 18453 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  ( X  i^i  ( Y ( ball `  M
) R ) )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( Y (
ball `  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) ) ) R )  =  ( ( Y ( ball `  M
) R )  i^i  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )
2713, 23, 24, 26syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
( Y ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) R )  =  ( ( Y (
ball `  M ) R )  i^i  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
28 inidm 3542 . . . . . 6  |-  ( ( Y ( ball `  M
) R )  i^i  ( Y ( ball `  M ) R ) )  =  ( Y ( ball `  M
) R )
2927, 28syl6req 2484 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
( Y ( ball `  M ) R )  =  ( Y (
ball `  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) ) ) R ) )
30 rspceov 6108 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  ( Y ( ball `  M
) R )  /\  R  e.  RR+  /\  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( Y ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) R ) )  ->  E. x  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) )
3121, 19, 29, 30syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) )
32 isbnd2 26483 . . . 4  |-  ( ( ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M
) R ) )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  <->  ( ( M  |`  ( ( Y ( ball `  M
) R )  X.  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Y ( ball `  M
) R ) )  /\  E. x  e.  ( Y ( ball `  M ) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) ) )
3312, 31, 32sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
( ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M ) R ) )  /\  ( Y ( ball `  M
) R )  =/=  (/) ) )
3433simpld 446 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
3511, 34pm2.61dane 2676 1  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    X. cxp 4868    |` cres 4872   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982   RR*cxr 9111    < clt 9112   RR+crp 10604   * Metcxmt 16678   ballcbl 16680   Bndcbnd 26467
This theorem is referenced by:  ssbnd  26488  prdsbnd2  26495
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-er 6897  df-ec 6899  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-2 10050  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-bnd 26479
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