Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blbnd Unicode version

Theorem blbnd 26189
Description: A ball is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blbnd  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )

Proof of Theorem blbnd
Dummy variables  r  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
2 rexr 9065 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR  ->  R  e.  RR* )
3 blssm 18344 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( Y ( ball `  M ) R ) 
C_  X )
42, 3syl3an3 1219 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  ( Y (
ball `  M ) R )  C_  X
)
5 xmetres2 18301 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  C_  X
)  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
61, 4, 5syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
76adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =  (/) )  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
8 rzal 3674 . . . 4  |-  ( ( Y ( ball `  M
) R )  =  (/)  ->  A. x  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) )
98adantl 453 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =  (/) )  ->  A. x  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) )
10 isbndx 26184 . . 3  |-  ( ( M  |`  ( ( Y ( ball `  M
) R )  X.  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M
) R ) )  <-> 
( ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Y ( ball `  M
) R ) )  /\  A. x  e.  ( Y ( ball `  M ) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) ) )
117, 9, 10sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =  (/) )  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )
126adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )
131adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  M  e.  ( * Met `  X ) )
14 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  Y  e.  X )
15 simpl3 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  R  e.  RR )
16 xbln0 18341 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/)  <->  0  <  R ) )
172, 16syl3an3 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( Y ( ball `  M
) R )  =/=  (/) 
<->  0  <  R ) )
1817biimpa 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
0  <  R )
1915, 18elrpd 10580 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  R  e.  RR+ )
20 blcntr 18340 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR+ )  ->  Y  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) )
2113, 14, 19, 20syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  Y  e.  ( Y
( ball `  M ) R ) )
22 elin 3475 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ( X  i^i  ( Y ( ball `  M
) R ) )  <-> 
( Y  e.  X  /\  Y  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
2314, 21, 22sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  Y  e.  ( X  i^i  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )
2415rexrd 9069 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  R  e.  RR* )
25 eqid 2389 . . . . . . . 8  |-  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  =  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
2625blres 18353 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  ( X  i^i  ( Y ( ball `  M
) R ) )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( Y (
ball `  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) ) ) R )  =  ( ( Y ( ball `  M
) R )  i^i  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )
2713, 23, 24, 26syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
( Y ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) R )  =  ( ( Y (
ball `  M ) R )  i^i  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
28 inidm 3495 . . . . . 6  |-  ( ( Y ( ball `  M
) R )  i^i  ( Y ( ball `  M ) R ) )  =  ( Y ( ball `  M
) R )
2927, 28syl6req 2438 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
( Y ( ball `  M ) R )  =  ( Y (
ball `  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) ) ) R ) )
30 rspceov 6057 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  ( Y ( ball `  M
) R )  /\  R  e.  RR+  /\  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( Y ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) R ) )  ->  E. x  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) )
3121, 19, 29, 30syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) )
32 isbnd2 26185 . . . 4  |-  ( ( ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M
) R ) )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  <->  ( ( M  |`  ( ( Y ( ball `  M
) R )  X.  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )  e.  ( * Met `  ( Y ( ball `  M
) R ) )  /\  E. x  e.  ( Y ( ball `  M ) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) ) )
3312, 31, 32sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
( ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M ) R ) )  /\  ( Y ( ball `  M
) R )  =/=  (/) ) )
3433simpld 446 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
3511, 34pm2.61dane 2630 1  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   E.wrex 2652    i^i cin 3264    C_ wss 3265   (/)c0 3573   class class class wbr 4155    X. cxp 4818    |` cres 4822   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   RRcr 8924   0cc0 8925   RR*cxr 9054    < clt 9055   RR+crp 10546   * Metcxmt 16614   ballcbl 16616   Bndcbnd 26169
This theorem is referenced by:  ssbnd  26190  prdsbnd2  26197
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-er 6843  df-ec 6845  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-2 9992  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-bnd 26181
  Copyright terms: Public domain W3C validator