Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blbnd Structured version   Unicode version

Theorem blbnd 26487
 Description: A ball is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blbnd

Proof of Theorem blbnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . . 5
2 rexr 9122 . . . . . 6
3 blssm 18440 . . . . . 6
42, 3syl3an3 1219 . . . . 5
5 xmetres2 18383 . . . . 5
61, 4, 5syl2anc 643 . . . 4
76adantr 452 . . 3
8 rzal 3721 . . . 4
98adantl 453 . . 3
10 isbndx 26482 . . 3
117, 9, 10sylanbrc 646 . 2
126adantr 452 . . . 4
131adantr 452 . . . . . 6
14 simpl2 961 . . . . . 6
15 simpl3 962 . . . . . . 7
16 xbln0 18436 . . . . . . . . 9
172, 16syl3an3 1219 . . . . . . . 8
1817biimpa 471 . . . . . . 7
1915, 18elrpd 10638 . . . . . 6
20 blcntr 18435 . . . . . 6
2113, 14, 19, 20syl3anc 1184 . . . . 5
22 elin 3522 . . . . . . . 8
2314, 21, 22sylanbrc 646 . . . . . . 7
2415rexrd 9126 . . . . . . 7
25 eqid 2435 . . . . . . . 8
2625blres 18453 . . . . . . 7
2713, 23, 24, 26syl3anc 1184 . . . . . 6
28 inidm 3542 . . . . . 6
2927, 28syl6req 2484 . . . . 5
30 rspceov 6108 . . . . 5
3121, 19, 29, 30syl3anc 1184 . . . 4
32 isbnd2 26483 . . . 4
3312, 31, 32sylanbrc 646 . . 3
3433simpld 446 . 2
3511, 34pm2.61dane 2676 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698   cin 3311   wss 3312  c0 3620   class class class wbr 4204   cxp 4868   cres 4872  cfv 5446  (class class class)co 6073  cr 8981  cc0 8982  cxr 9111   clt 9112  crp 10604  cxmt 16678  cbl 16680  cbnd 26467 This theorem is referenced by:  ssbnd  26488  prdsbnd2  26495 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-er 6897  df-ec 6899  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-2 10050  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-bnd 26479
 Copyright terms: Public domain W3C validator