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Theorem blcld 18051
Description: A "closed ball" in a metric space is actually closed. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mopni.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
blcld.3  |-  S  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }
Assertion
Ref Expression
blcld  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
Distinct variable groups:    z, D    z, R    z, P    z, X
Allowed substitution hints:    S( z)    J( z)

Proof of Theorem blcld
Dummy variables  x  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopnuni 17987 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
323ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  X  =  U. J
)
43difeq1d 3293 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( X  \  S
)  =  ( U. J  \  S ) )
5 difss 3303 . . . . 5  |-  ( X 
\  S )  C_  X
65a1i 10 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( X  \  S
)  C_  X )
7 simpl3 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  R  e.  RR* )
8 simpl1 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
9 simpl2 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  P  e.  X )
10 eldifi 3298 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( X  \  S )  ->  y  e.  X )
1110adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  y  e.  X )
12 xmetcl 17896 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( P D y )  e. 
RR* )
138, 9, 11, 12syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  ( P D y )  e. 
RR* )
14 eldif 3162 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( X  \  S )  <->  ( y  e.  X  /\  -.  y  e.  S ) )
15 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  ( P D z )  =  ( P D y ) )
1615breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
( P D z )  <_  R  <->  ( P D y )  <_  R ) )
17 blcld.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }
1816, 17elrab2 2925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  X  /\  ( P D y )  <_  R ) )
1918simplbi2 608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  X  ->  (
( P D y )  <_  R  ->  y  e.  S ) )
2019con3and 428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  X  /\  -.  y  e.  S
)  ->  -.  ( P D y )  <_  R )
2114, 20sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( X  \  S )  ->  -.  ( P D y )  <_  R )
2221adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  -.  ( P D y )  <_  R )
23 xrltnle 8891 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  ( P D y )  e. 
RR* )  ->  ( R  <  ( P D y )  <->  -.  ( P D y )  <_  R ) )
247, 13, 23syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  ( R  <  ( P D y )  <->  -.  ( P D y )  <_  R ) )
2522, 24mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  R  <  ( P D y ) )
26 qbtwnxr 10527 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  ( P D y )  e. 
RR*  /\  R  <  ( P D y ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( R  < 
x  /\  x  <  ( P D y ) ) )
277, 13, 25, 26syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( R  < 
x  /\  x  <  ( P D y ) ) )
28 qre 10321 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  RR )
298adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
3011adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  y  e.  X
)
3113adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( P D y )  e.  RR* )
32 rexr 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
3332ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  x  e.  RR* )
3433xnegcld 10620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  - e x  e. 
RR* )
3531, 34xaddcld 10621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( ( P D y ) + e  - e x )  e.  RR* )
36 blelrn 17967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( P D y ) + e  - e x )  e. 
RR* )  ->  (
y ( ball `  D
) ( ( P D y ) + e  - e x ) )  e.  ran  ( ball `  D )
)
3729, 30, 35, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) + e  - e x ) )  e.  ran  ( ball `  D ) )
38 simprrr 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  x  <  ( P D y ) )
39 xposdif 10582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( P D y )  e. 
RR* )  ->  (
x  <  ( P D y )  <->  0  <  ( ( P D y ) + e  - e x ) ) )
4033, 31, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( x  < 
( P D y )  <->  0  <  (
( P D y ) + e  - e x ) ) )
4138, 40mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  0  <  (
( P D y ) + e  - e x ) )
42 xblcntr 17963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( P D y ) + e  - e x )  e.  RR*  /\  0  <  ( ( P D y ) + e  - e x ) ) )  ->  y  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) + e  - e
x ) ) )
4329, 30, 35, 41, 42syl112anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  y  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) + e  - e x ) ) )
44 incom 3361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) + e  - e x ) )  i^i  ( P ( ball `  D
) x ) )  =  ( ( P ( ball `  D
) x )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) + e  - e
x ) ) )
459adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  P  e.  X
)
46 xaddcom 10565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
( P D y ) + e  - e x )  e. 
RR* )  ->  (
x + e ( ( P D y ) + e  - e x ) )  =  ( ( ( P D y ) + e  - e
x ) + e
x ) )
4733, 35, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( x + e ( ( P D y ) + e  - e x ) )  =  ( ( ( P D y ) + e  - e x ) + e x ) )
48 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
49 xnpcan 10572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P D y )  e.  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( P D y ) + e  - e x ) + e x )  =  ( P D y ) )
5031, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( ( ( P D y ) + e  - e
x ) + e
x )  =  ( P D y ) )
5147, 50eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( x + e ( ( P D y ) + e  - e x ) )  =  ( P D y ) )
52 xrleid 10484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P D y )  e.  RR*  ->  ( P D y )  <_ 
( P D y ) )
5331, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( P D y )  <_  ( P D y ) )
5451, 53eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( x + e ( ( P D y ) + e  - e x ) )  <_  ( P D y ) )
55 bldisj 17955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( ( P D y ) + e  - e
x )  e.  RR*  /\  ( x + e
( ( P D y ) + e  - e x ) )  <_  ( P D y ) ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) x )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) + e  - e
x ) ) )  =  (/) )
5629, 45, 30, 33, 35, 54, 55syl33anc 1197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) x )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) + e  - e
x ) ) )  =  (/) )
5744, 56syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) + e  - e x ) )  i^i  ( P ( ball `  D
) x ) )  =  (/) )
58 blssm 17968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( P D y ) + e  - e x )  e. 
RR* )  ->  (
y ( ball `  D
) ( ( P D y ) + e  - e x ) )  C_  X
)
5929, 30, 35, 58syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) + e  - e x ) ) 
C_  X )
60 reldisj 3498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) + e  - e x ) )  C_  X  ->  ( ( ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) + e  - e x ) )  i^i  ( P ( ball `  D
) x ) )  =  (/)  <->  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) + e  - e x ) ) 
C_  ( X  \ 
( P ( ball `  D ) x ) ) ) )
6159, 60syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( ( ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) + e  - e x ) )  i^i  ( P ( ball `  D
) x ) )  =  (/)  <->  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) + e  - e x ) ) 
C_  ( X  \ 
( P ( ball `  D ) x ) ) ) )
6257, 61mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) + e  - e x ) ) 
C_  ( X  \ 
( P ( ball `  D ) x ) ) )
637adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  R  e.  RR* )
64 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  R  <  x
)
651, 17blsscls2 18050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  R  < 
x ) )  ->  S  C_  ( P (
ball `  D )
x ) )
6629, 45, 63, 33, 64, 65syl23anc 1189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  S  C_  ( P ( ball `  D
) x ) )
67 sscon 3310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  ( P (
ball `  D )
x )  ->  ( X  \  ( P (
ball `  D )
x ) )  C_  ( X  \  S ) )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( X  \ 
( P ( ball `  D ) x ) )  C_  ( X  \  S ) )
6962, 68sstrd 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) + e  - e x ) ) 
C_  ( X  \  S ) )
70 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) + e  - e x ) )  ->  ( y  e.  w  <->  y  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) + e  - e x ) ) ) )
71 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) + e  - e x ) )  ->  ( w  C_  ( X  \  S )  <-> 
( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) + e  - e
x ) )  C_  ( X  \  S ) ) )
7270, 71anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) + e  - e x ) )  ->  ( ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S
) )  <->  ( y  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) + e  - e
x ) )  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) + e  - e
x ) )  C_  ( X  \  S ) ) ) )
7372rspcev 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) + e  - e
x ) )  e. 
ran  ( ball `  D
)  /\  ( y  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) + e  - e
x ) )  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) + e  - e
x ) )  C_  ( X  \  S ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) )
7437, 43, 69, 73syl12anc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D )
( y  e.  w  /\  w  C_  ( X 
\  S ) ) )
7574expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D )
( y  e.  w  /\  w  C_  ( X 
\  S ) ) ) )
7628, 75sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  x  e.  QQ )  ->  (
( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D )
( y  e.  w  /\  w  C_  ( X 
\  S ) ) ) )
7776rexlimdva 2667 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  ( E. x  e.  QQ  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) ) )
7827, 77mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) )
7978ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  A. y  e.  ( X  \  S ) E. w  e.  ran  ( ball `  D )
( y  e.  w  /\  w  C_  ( X 
\  S ) ) )
801elmopn 17988 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( X  \  S
)  e.  J  <->  ( ( X  \  S )  C_  X  /\  A. y  e.  ( X  \  S
) E. w  e. 
ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) ) ) )
81803ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( X  \  S )  e.  J  <->  ( ( X  \  S
)  C_  X  /\  A. y  e.  ( X 
\  S ) E. w  e.  ran  ( ball `  D ) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) ) ) )
826, 79, 81mpbir2and 888 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( X  \  S
)  e.  J )
834, 82eqeltrrd 2358 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( U. J  \  S )  e.  J
)
841mopntop 17986 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
85843ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  J  e.  Top )
86 ssrab2 3258 . . . . 5  |-  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  C_  X
8717, 86eqsstri 3208 . . . 4  |-  S  C_  X
8887, 3syl5sseq 3226 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  S  C_  U. J )
89 eqid 2283 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
9089iscld2 16765 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( U. J  \  S )  e.  J
) )
9185, 88, 90syl2anc 642 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  S
)  e.  J ) )
9283, 91mpbird 223 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   QQcq 10316    - ecxne 10449   + ecxad 10450   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371   MetOpencmopn 16372   Topctop 16631   Clsdccld 16753
This theorem is referenced by:  blcls  18052  lmle  18727  minveclem4  18796  lhop1lem  19360  ftalem3  20312  ubthlem1  21449
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756
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