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Theorem blcld 18540
Description: A "closed ball" in a metric space is actually closed. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mopni.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
blcld.3  |-  S  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }
Assertion
Ref Expression
blcld  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
Distinct variable groups:    z, D    z, R    z, P    z, X
Allowed substitution hints:    S( z)    J( z)

Proof of Theorem blcld
Dummy variables  x  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopnuni 18476 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
323ad2ant1 979 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  X  =  U. J
)
43difeq1d 3466 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( X  \  S
)  =  ( U. J  \  S ) )
5 difssd 3477 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( X  \  S
)  C_  X )
6 simpl3 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  R  e.  RR* )
7 simpl1 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
8 simpl2 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  P  e.  X )
9 eldifi 3471 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( X  \  S )  ->  y  e.  X )
109adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  y  e.  X )
11 xmetcl 18366 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( P D y )  e. 
RR* )
127, 8, 10, 11syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  ( P D y )  e. 
RR* )
13 eldif 3332 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( X  \  S )  <->  ( y  e.  X  /\  -.  y  e.  S ) )
14 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  ( P D z )  =  ( P D y ) )
1514breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
( P D z )  <_  R  <->  ( P D y )  <_  R ) )
16 blcld.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }
1715, 16elrab2 3096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  X  /\  ( P D y )  <_  R ) )
1817simplbi2 610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  X  ->  (
( P D y )  <_  R  ->  y  e.  S ) )
1918con3and 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  X  /\  -.  y  e.  S
)  ->  -.  ( P D y )  <_  R )
2013, 19sylbi 189 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( X  \  S )  ->  -.  ( P D y )  <_  R )
2120adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  -.  ( P D y )  <_  R )
22 xrltnle 9149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  ( P D y )  e. 
RR* )  ->  ( R  <  ( P D y )  <->  -.  ( P D y )  <_  R ) )
236, 12, 22syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  ( R  <  ( P D y )  <->  -.  ( P D y )  <_  R ) )
2421, 23mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  R  <  ( P D y ) )
25 qbtwnxr 10791 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  ( P D y )  e. 
RR*  /\  R  <  ( P D y ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( R  < 
x  /\  x  <  ( P D y ) ) )
266, 12, 24, 25syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( R  < 
x  /\  x  <  ( P D y ) ) )
27 qre 10584 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  RR )
287adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
2910adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  y  e.  X
)
3012adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( P D y )  e.  RR* )
31 rexr 9135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
3231ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  x  e.  RR* )
3332xnegcld 10884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  - e x  e. 
RR* )
3430, 33xaddcld 10885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( ( P D y ) + e  - e x )  e.  RR* )
35 blelrn 18452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( P D y ) + e  - e x )  e. 
RR* )  ->  (
y ( ball `  D
) ( ( P D y ) + e  - e x ) )  e.  ran  ( ball `  D )
)
3628, 29, 34, 35syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) + e  - e x ) )  e.  ran  ( ball `  D ) )
37 simprrr 743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  x  <  ( P D y ) )
38 xposdif 10846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( P D y )  e. 
RR* )  ->  (
x  <  ( P D y )  <->  0  <  ( ( P D y ) + e  - e x ) ) )
3932, 30, 38syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( x  < 
( P D y )  <->  0  <  (
( P D y ) + e  - e x ) ) )
4037, 39mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  0  <  (
( P D y ) + e  - e x ) )
41 xblcntr 18446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( P D y ) + e  - e x )  e.  RR*  /\  0  <  ( ( P D y ) + e  - e x ) ) )  ->  y  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) + e  - e
x ) ) )
4228, 29, 34, 40, 41syl112anc 1189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  y  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) + e  - e x ) ) )
43 incom 3535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) + e  - e x ) )  i^i  ( P ( ball `  D
) x ) )  =  ( ( P ( ball `  D
) x )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) + e  - e
x ) ) )
448adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  P  e.  X
)
45 xaddcom 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
( P D y ) + e  - e x )  e. 
RR* )  ->  (
x + e ( ( P D y ) + e  - e x ) )  =  ( ( ( P D y ) + e  - e
x ) + e
x ) )
4632, 34, 45syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( x + e ( ( P D y ) + e  - e x ) )  =  ( ( ( P D y ) + e  - e x ) + e x ) )
47 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
48 xnpcan 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P D y )  e.  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( P D y ) + e  - e x ) + e x )  =  ( P D y ) )
4930, 47, 48syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( ( ( P D y ) + e  - e
x ) + e
x )  =  ( P D y ) )
5046, 49eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( x + e ( ( P D y ) + e  - e x ) )  =  ( P D y ) )
51 xrleid 10748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P D y )  e.  RR*  ->  ( P D y )  <_ 
( P D y ) )
5230, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( P D y )  <_  ( P D y ) )
5350, 52eqbrtrd 4235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( x + e ( ( P D y ) + e  - e x ) )  <_  ( P D y ) )
54 bldisj 18433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( ( P D y ) + e  - e
x )  e.  RR*  /\  ( x + e
( ( P D y ) + e  - e x ) )  <_  ( P D y ) ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) x )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) + e  - e
x ) ) )  =  (/) )
5528, 44, 29, 32, 34, 53, 54syl33anc 1200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) x )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) + e  - e
x ) ) )  =  (/) )
5643, 55syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) + e  - e x ) )  i^i  ( P ( ball `  D
) x ) )  =  (/) )
57 blssm 18453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( P D y ) + e  - e x )  e. 
RR* )  ->  (
y ( ball `  D
) ( ( P D y ) + e  - e x ) )  C_  X
)
5828, 29, 34, 57syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) + e  - e x ) ) 
C_  X )
59 reldisj 3673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) + e  - e x ) )  C_  X  ->  ( ( ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) + e  - e x ) )  i^i  ( P ( ball `  D
) x ) )  =  (/)  <->  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) + e  - e x ) ) 
C_  ( X  \ 
( P ( ball `  D ) x ) ) ) )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( ( ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) + e  - e x ) )  i^i  ( P ( ball `  D
) x ) )  =  (/)  <->  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) + e  - e x ) ) 
C_  ( X  \ 
( P ( ball `  D ) x ) ) ) )
6156, 60mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) + e  - e x ) ) 
C_  ( X  \ 
( P ( ball `  D ) x ) ) )
626adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  R  e.  RR* )
63 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  R  <  x
)
641, 16blsscls2 18539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  R  < 
x ) )  ->  S  C_  ( P (
ball `  D )
x ) )
6528, 44, 62, 32, 63, 64syl23anc 1192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  S  C_  ( P ( ball `  D
) x ) )
6665sscond 3486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( X  \ 
( P ( ball `  D ) x ) )  C_  ( X  \  S ) )
6761, 66sstrd 3360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) + e  - e x ) ) 
C_  ( X  \  S ) )
68 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) + e  - e x ) )  ->  ( y  e.  w  <->  y  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) + e  - e x ) ) ) )
69 sseq1 3371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) + e  - e x ) )  ->  ( w  C_  ( X  \  S )  <-> 
( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) + e  - e
x ) )  C_  ( X  \  S ) ) )
7068, 69anbi12d 693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) + e  - e x ) )  ->  ( ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S
) )  <->  ( y  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) + e  - e
x ) )  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) + e  - e
x ) )  C_  ( X  \  S ) ) ) )
7170rspcev 3054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) + e  - e
x ) )  e. 
ran  ( ball `  D
)  /\  ( y  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) + e  - e
x ) )  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) + e  - e
x ) )  C_  ( X  \  S ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) )
7236, 42, 67, 71syl12anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D )
( y  e.  w  /\  w  C_  ( X 
\  S ) ) )
7372expr 600 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D )
( y  e.  w  /\  w  C_  ( X 
\  S ) ) ) )
7427, 73sylan2 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  /\  x  e.  QQ )  ->  (
( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D )
( y  e.  w  /\  w  C_  ( X 
\  S ) ) ) )
7574rexlimdva 2832 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  ( E. x  e.  QQ  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) ) )
7626, 75mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) )
7776ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  A. y  e.  ( X  \  S ) E. w  e.  ran  ( ball `  D )
( y  e.  w  /\  w  C_  ( X 
\  S ) ) )
781elmopn 18477 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( X  \  S
)  e.  J  <->  ( ( X  \  S )  C_  X  /\  A. y  e.  ( X  \  S
) E. w  e. 
ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) ) ) )
79783ad2ant1 979 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( X  \  S )  e.  J  <->  ( ( X  \  S
)  C_  X  /\  A. y  e.  ( X 
\  S ) E. w  e.  ran  ( ball `  D ) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) ) ) )
805, 77, 79mpbir2and 890 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( X  \  S
)  e.  J )
814, 80eqeltrrd 2513 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( U. J  \  S )  e.  J
)
821mopntop 18475 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
83823ad2ant1 979 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  J  e.  Top )
84 ssrab2 3430 . . . . 5  |-  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  C_  X
8516, 84eqsstri 3380 . . . 4  |-  S  C_  X
8685, 3syl5sseq 3398 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  S  C_  U. J )
87 eqid 2438 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
8887iscld2 17097 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( U. J  \  S )  e.  J
) )
8983, 86, 88syl2anc 644 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  S
)  e.  J ) )
9081, 89mpbird 225 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    \ cdif 3319    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   U.cuni 4017   class class class wbr 4215   ran crn 4882   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994   0cc0 8995   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126   QQcq 10579    - ecxne 10712   + ecxad 10713   * Metcxmt 16691   ballcbl 16693   MetOpencmopn 16696   Topctop 16963   Clsdccld 17085
This theorem is referenced by:  blcls  18541  lmle  19259  minveclem4  19338  lhop1lem  19902  ftalem3  20862  ubthlem1  22377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-topgen 13672  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cld 17088
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