MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blcls Unicode version

Theorem blcls 18497
Description: The closure of an open ball in a metric space is contained in the corresponding closed ball. (The converse is not, in general, true; for example, with the discrete metric, the closed ball of radius 1 is the whole space, but the open ball of radius 1 is just a point, whose closure is also a point.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
mopni.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
blcld.3  |-  S  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }
Assertion
Ref Expression
blcls  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( cls `  J
) `  ( P
( ball `  D ) R ) )  C_  S )
Distinct variable groups:    z, D    z, R    z, P    z, X
Allowed substitution hints:    S( z)    J( z)

Proof of Theorem blcls
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
2 blcld.3 . . 3  |-  S  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }
31, 2blcld 18496 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
4 blssm 18409 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
5 elbl 18379 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( z  e.  X  /\  ( P D z )  < 
R ) ) )
6 xmetcl 18322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  z  e.  X
)  ->  ( P D z )  e. 
RR* )
763expa 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  z  e.  X )  ->  ( P D z )  e. 
RR* )
873adantl3 1115 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  z  e.  X
)  ->  ( P D z )  e. 
RR* )
9 simpl3 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  z  e.  X
)  ->  R  e.  RR* )
10 xrltle 10706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P D z )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  (
( P D z )  <  R  -> 
( P D z )  <_  R )
)
118, 9, 10syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( P D z )  < 
R  ->  ( P D z )  <_  R ) )
1211expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( z  e.  X  /\  ( P D z )  < 
R )  ->  ( P D z )  <_  R ) )
135, 12sylbid 207 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( P ( ball `  D
) R )  -> 
( P D z )  <_  R )
)
1413ralrimiv 2756 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  A. z  e.  ( P ( ball `  D
) R ) ( P D z )  <_  R )
15 ssrab 3389 . . . 4  |-  ( ( P ( ball `  D
) R )  C_  { z  e.  X  | 
( P D z )  <_  R }  <->  ( ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X  /\  A. z  e.  ( P
( ball `  D ) R ) ( P D z )  <_  R ) )
164, 14, 15sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R } )
1716, 2syl6sseqr 3363 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  S )
18 eqid 2412 . . 3  |-  U. J  =  U. J
1918clsss2 17099 . 2  |-  ( ( S  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( P ( ball `  D
) R )  C_  S )  ->  (
( cls `  J
) `  ( P
( ball `  D ) R ) )  C_  S )
203, 17, 19syl2anc 643 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( cls `  J
) `  ( P
( ball `  D ) R ) )  C_  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   {crab 2678    C_ wss 3288   U.cuni 3983   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   RR*cxr 9083    < clt 9084    <_ cle 9085   * Metcxmt 16649   ballcbl 16651   MetOpencmopn 16654   Clsdccld 17043   clsccl 17045
This theorem is referenced by:  blsscls  18498  cnllycmp  18942  cncmet  19236
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-topgen 13630  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-cld 17046  df-cls 17048
  Copyright terms: Public domain W3C validator