Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blcls Structured version   Unicode version

Theorem blcls 18541
 Description: The closure of an open ball in a metric space is contained in the corresponding closed ball. (The converse is not, in general, true; for example, with the discrete metric, the closed ball of radius 1 is the whole space, but the open ball of radius 1 is just a point, whose closure is also a point.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
mopni.1
blcld.3
Assertion
Ref Expression
blcls
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem blcls
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . 3
2 blcld.3 . . 3
31, 2blcld 18540 . 2
4 blssm 18453 . . . 4
5 elbl 18423 . . . . . 6
6 xmetcl 18366 . . . . . . . . . 10
763expa 1154 . . . . . . . . 9
873adantl3 1116 . . . . . . . 8
9 simpl3 963 . . . . . . . 8
10 xrltle 10747 . . . . . . . 8
118, 9, 10syl2anc 644 . . . . . . 7
1211expimpd 588 . . . . . 6
135, 12sylbid 208 . . . . 5
1413ralrimiv 2790 . . . 4
15 ssrab 3423 . . . 4
164, 14, 15sylanbrc 647 . . 3
1716, 2syl6sseqr 3397 . 2
18 eqid 2438 . . 3
1918clsss2 17141 . 2
203, 17, 19syl2anc 644 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  crab 2711   wss 3322  cuni 4017   class class class wbr 4215  cfv 5457  (class class class)co 6084  cxr 9124   clt 9125   cle 9126  cxmt 16691  cbl 16693  cmopn 16696  ccld 17085  ccl 17087 This theorem is referenced by:  blsscls  18542  cnllycmp  18986  cncmet  19280 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-topgen 13672  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cld 17088  df-cls 17090
 Copyright terms: Public domain W3C validator