MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blcls Structured version   Unicode version

Theorem blcls 18541
Description: The closure of an open ball in a metric space is contained in the corresponding closed ball. (The converse is not, in general, true; for example, with the discrete metric, the closed ball of radius 1 is the whole space, but the open ball of radius 1 is just a point, whose closure is also a point.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
mopni.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
blcld.3  |-  S  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }
Assertion
Ref Expression
blcls  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( cls `  J
) `  ( P
( ball `  D ) R ) )  C_  S )
Distinct variable groups:    z, D    z, R    z, P    z, X
Allowed substitution hints:    S( z)    J( z)

Proof of Theorem blcls
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
2 blcld.3 . . 3  |-  S  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }
31, 2blcld 18540 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
4 blssm 18453 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
5 elbl 18423 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( z  e.  X  /\  ( P D z )  < 
R ) ) )
6 xmetcl 18366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  z  e.  X
)  ->  ( P D z )  e. 
RR* )
763expa 1154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  z  e.  X )  ->  ( P D z )  e. 
RR* )
873adantl3 1116 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  z  e.  X
)  ->  ( P D z )  e. 
RR* )
9 simpl3 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  z  e.  X
)  ->  R  e.  RR* )
10 xrltle 10747 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P D z )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  (
( P D z )  <  R  -> 
( P D z )  <_  R )
)
118, 9, 10syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( P D z )  < 
R  ->  ( P D z )  <_  R ) )
1211expimpd 588 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( z  e.  X  /\  ( P D z )  < 
R )  ->  ( P D z )  <_  R ) )
135, 12sylbid 208 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( P ( ball `  D
) R )  -> 
( P D z )  <_  R )
)
1413ralrimiv 2790 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  A. z  e.  ( P ( ball `  D
) R ) ( P D z )  <_  R )
15 ssrab 3423 . . . 4  |-  ( ( P ( ball `  D
) R )  C_  { z  e.  X  | 
( P D z )  <_  R }  <->  ( ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X  /\  A. z  e.  ( P
( ball `  D ) R ) ( P D z )  <_  R ) )
164, 14, 15sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R } )
1716, 2syl6sseqr 3397 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  S )
18 eqid 2438 . . 3  |-  U. J  =  U. J
1918clsss2 17141 . 2  |-  ( ( S  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( P ( ball `  D
) R )  C_  S )  ->  (
( cls `  J
) `  ( P
( ball `  D ) R ) )  C_  S )
203, 17, 19syl2anc 644 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( cls `  J
) `  ( P
( ball `  D ) R ) )  C_  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711    C_ wss 3322   U.cuni 4017   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126   * Metcxmt 16691   ballcbl 16693   MetOpencmopn 16696   Clsdccld 17085   clsccl 17087
This theorem is referenced by:  blsscls  18542  cnllycmp  18986  cncmet  19280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-topgen 13672  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cld 17088  df-cls 17090
  Copyright terms: Public domain W3C validator