MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blcls Unicode version

Theorem blcls 18052
Description: The closure of an open ball in a metric space is contained in the corresponding closed ball. (The converse is not, in general, true; for example, with the discrete metric, the closed ball of radius 1 is the whole space, but the open ball of radius 1 is just a point, whose closure is also a point.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
mopni.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
blcld.3  |-  S  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }
Assertion
Ref Expression
blcls  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( cls `  J
) `  ( P
( ball `  D ) R ) )  C_  S )
Distinct variable groups:    z, D    z, R    z, P    z, X
Allowed substitution hints:    S( z)    J( z)

Proof of Theorem blcls
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
2 blcld.3 . . 3  |-  S  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }
31, 2blcld 18051 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
4 blssm 17968 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
5 elbl 17949 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( z  e.  X  /\  ( P D z )  < 
R ) ) )
6 xmetcl 17896 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  z  e.  X
)  ->  ( P D z )  e. 
RR* )
763expa 1151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  z  e.  X )  ->  ( P D z )  e. 
RR* )
873adantl3 1113 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  z  e.  X
)  ->  ( P D z )  e. 
RR* )
9 simpl3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  z  e.  X
)  ->  R  e.  RR* )
10 xrltle 10483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P D z )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  (
( P D z )  <  R  -> 
( P D z )  <_  R )
)
118, 9, 10syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( P D z )  < 
R  ->  ( P D z )  <_  R ) )
1211expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( z  e.  X  /\  ( P D z )  < 
R )  ->  ( P D z )  <_  R ) )
135, 12sylbid 206 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( P ( ball `  D
) R )  -> 
( P D z )  <_  R )
)
1413ralrimiv 2625 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  A. z  e.  ( P ( ball `  D
) R ) ( P D z )  <_  R )
15 ssrab 3251 . . . 4  |-  ( ( P ( ball `  D
) R )  C_  { z  e.  X  | 
( P D z )  <_  R }  <->  ( ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X  /\  A. z  e.  ( P
( ball `  D ) R ) ( P D z )  <_  R ) )
164, 14, 15sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R } )
1716, 2syl6sseqr 3225 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  S )
18 eqid 2283 . . 3  |-  U. J  =  U. J
1918clsss2 16809 . 2  |-  ( ( S  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( P ( ball `  D
) R )  C_  S )  ->  (
( cls `  J
) `  ( P
( ball `  D ) R ) )  C_  S )
203, 17, 19syl2anc 642 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( cls `  J
) `  ( P
( ball `  D ) R ) )  C_  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547    C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371   MetOpencmopn 16372   Clsdccld 16753   clsccl 16755
This theorem is referenced by:  blsscls  18053  cnllycmp  18454  cncmet  18744
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-cls 16758
  Copyright terms: Public domain W3C validator