MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blcntr Structured version   Unicode version

Theorem blcntr 18448
Description: A ball contains its center. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blcntr  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )

Proof of Theorem blcntr
StepHypRef Expression
1 rpxr 10624 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
2 rpgt0 10628 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
R )
31, 2jca 520 . 2  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R  e.  RR*  /\  0  <  R ) )
4 xblcntr 18446 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  ( R  e.  RR*  /\  0  <  R ) )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )
53, 4syl3an3 1220 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   0cc0 8995   RR*cxr 9124    < clt 9125   RR+crp 10617   * Metcxmt 16691   ballcbl 16693
This theorem is referenced by:  bln0  18450  unirnbl  18455  blssex  18462  neibl  18536  blnei  18537  metss  18543  methaus  18555  met1stc  18556  met2ndci  18557  metrest  18559  prdsxmslem2  18564  metcnp3  18575  tgioo  18832  zdis  18852  metnrmlem2  18895  cnllycmp  18986  nmhmcn  19133  lmmbr  19216  cfilfcls  19232  iscmet3lem2  19250  caubl  19265  caublcls  19266  flimcfil  19271  ellimc3  19771  ulmdvlem1  20321  efopn  20554  logtayl  20556  xrlimcnp  20812  efrlim  20813  lgamucov  24827  cnllyscon  24937  blbnd  26510  heibor1lem  26532  heibor1  26533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-map 7023  df-xr 9129  df-rp 10618  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-bl 16702
  Copyright terms: Public domain W3C validator