MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blcntr Unicode version

Theorem blcntr 17964
Description: A ball contains its center. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blcntr  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )

Proof of Theorem blcntr
StepHypRef Expression
1 rpxr 10361 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
2 rpgt0 10365 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
R )
31, 2jca 518 . 2  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R  e.  RR*  /\  0  <  R ) )
4 xblcntr 17963 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  ( R  e.  RR*  /\  0  <  R ) )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )
53, 4syl3an3 1217 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   RR*cxr 8866    < clt 8867   RR+crp 10354   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371
This theorem is referenced by:  bln0  17966  unirnbl  17969  blssex  17973  neibl  18047  blnei  18048  metss  18054  methaus  18066  met1stc  18067  met2ndci  18068  metrest  18070  prdsxmslem2  18075  metcnp3  18086  tgioo  18302  zdis  18322  metnrmlem2  18364  cnllycmp  18454  nmhmcn  18601  lmmbr  18684  cfilfcls  18700  iscmet3lem2  18718  caubl  18733  caublcls  18734  flimcfil  18739  ellimc3  19229  ulmdvlem1  19777  efopn  20005  logtayl  20007  xrlimcnp  20263  efrlim  20264  cnllyscon  23776  altretop  25600  blbnd  26511  heibor1lem  26533  heibor1  26534
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-xr 8871  df-rp 10355  df-xmet 16373  df-bl 16375
  Copyright terms: Public domain W3C validator