MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blcntr Unicode version

Theorem blcntr 18400
Description: A ball contains its center. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blcntr  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )

Proof of Theorem blcntr
StepHypRef Expression
1 rpxr 10579 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
2 rpgt0 10583 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
R )
31, 2jca 519 . 2  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R  e.  RR*  /\  0  <  R ) )
4 xblcntr 18398 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  ( R  e.  RR*  /\  0  <  R ) )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )
53, 4syl3an3 1219 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1721   class class class wbr 4176   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   0cc0 8950   RR*cxr 9079    < clt 9080   RR+crp 10572   * Metcxmt 16645   ballcbl 16647
This theorem is referenced by:  bln0  18402  unirnbl  18407  blssex  18414  neibl  18488  blnei  18489  metss  18495  methaus  18507  met1stc  18508  met2ndci  18509  metrest  18511  prdsxmslem2  18516  metcnp3  18527  tgioo  18784  zdis  18804  metnrmlem2  18847  cnllycmp  18938  nmhmcn  19085  lmmbr  19168  cfilfcls  19184  iscmet3lem2  19202  caubl  19217  caublcls  19218  flimcfil  19223  ellimc3  19723  ulmdvlem1  20273  efopn  20506  logtayl  20508  xrlimcnp  20764  efrlim  20765  lgamucov  24779  cnllyscon  24889  blbnd  26390  heibor1lem  26412  heibor1  26413
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6983  df-xr 9084  df-rp 10573  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-bl 16656
  Copyright terms: Public domain W3C validator