MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blcntr Unicode version

Theorem blcntr 18177
Description: A ball contains its center. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blcntr  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )

Proof of Theorem blcntr
StepHypRef Expression
1 rpxr 10512 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
2 rpgt0 10516 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
R )
31, 2jca 518 . 2  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R  e.  RR*  /\  0  <  R ) )
4 xblcntr 18176 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  ( R  e.  RR*  /\  0  <  R ) )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )
53, 4syl3an3 1218 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 935    e. wcel 1715   class class class wbr 4125   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   0cc0 8884   RR*cxr 9013    < clt 9014   RR+crp 10505   * Metcxmt 16579   ballcbl 16581
This theorem is referenced by:  bln0  18179  unirnbl  18182  blssex  18186  neibl  18260  blnei  18261  metss  18267  methaus  18279  met1stc  18280  met2ndci  18281  metrest  18283  prdsxmslem2  18288  metcnp3  18299  tgioo  18515  zdis  18535  metnrmlem2  18578  cnllycmp  18669  nmhmcn  18816  lmmbr  18899  cfilfcls  18915  iscmet3lem2  18933  caubl  18948  caublcls  18949  flimcfil  18954  ellimc3  19444  ulmdvlem1  19994  efopn  20227  logtayl  20229  xrlimcnp  20485  efrlim  20486  lgamucov  24391  cnllyscon  24500  blbnd  26102  heibor1lem  26124  heibor1  26125
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6917  df-xr 9018  df-rp 10506  df-xmet 16586  df-bl 16588
  Copyright terms: Public domain W3C validator