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Theorem bldisj 18420
Description: Two balls are disjoint if the center-to-center distance is more than the sum of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
bldisj  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  ( Q ( ball `  D
) S ) )  =  (/) )

Proof of Theorem bldisj
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 965 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( R + e S )  <_  ( P D Q ) )
2 simpr1 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  R  e.  RR* )
3 simpr2 964 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  S  e.  RR* )
42, 3xaddcld 10872 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( R + e S )  e.  RR* )
5 xmetcl 18353 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
65adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( P D Q )  e.  RR* )
7 xrlenlt 9135 . . . . 5  |-  ( ( ( R + e S )  e.  RR*  /\  ( P D Q )  e.  RR* )  ->  ( ( R + e S )  <_  ( P D Q )  <->  -.  ( P D Q )  < 
( R + e S ) ) )
84, 6, 7syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( R + e S )  <_  ( P D Q )  <->  -.  ( P D Q )  < 
( R + e S ) ) )
91, 8mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  -.  ( P D Q )  <  ( R + e S ) )
10 elin 3522 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i  ( Q ( ball `  D ) S ) )  <->  ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) ) )
11 simpl1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
12 simpl2 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  P  e.  X )
13 elbl 18410 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
1411, 12, 2, 13syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
15 simpl3 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  Q  e.  X )
16 elbl 18410 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Q  e.  X  /\  S  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( Q ( ball `  D
) S )  <->  ( x  e.  X  /\  ( Q D x )  < 
S ) ) )
1711, 15, 3, 16syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( x  e.  ( Q ( ball `  D
) S )  <->  ( x  e.  X  /\  ( Q D x )  < 
S ) ) )
1814, 17anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) )  <-> 
( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R )  /\  (
x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) ) )
19 anandi 802 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( ( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S ) )  <->  ( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R )  /\  (
x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) )
2018, 19syl6bbr 255 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( ( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S ) ) ) )
2111adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
2212adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  P  e.  X )
23 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
24 xmetcl 18353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D x )  e. 
RR* )
2521, 22, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D x )  e.  RR* )
2615adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  Q  e.  X )
27 xmetcl 18353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
2821, 26, 23, 27syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( Q D x )  e.  RR* )
292adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR* )
303adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  S  e.  RR* )
31 xlt2add 10831 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P D x )  e.  RR*  /\  ( Q D x )  e.  RR* )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )
)  ->  ( (
( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S )  -> 
( ( P D x ) + e
( Q D x ) )  <  ( R + e S ) ) )
3225, 28, 29, 30, 31syl22anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( P D x )  < 
R  /\  ( Q D x )  < 
S )  ->  (
( P D x ) + e ( Q D x ) )  <  ( R + e S ) ) )
33 xmettri3 18375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( P  e.  X  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( P D Q )  <_  ( ( P D x ) + e ( Q D x ) ) )
3421, 22, 26, 23, 33syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D Q )  <_  ( ( P D x ) + e ( Q D x ) ) )
356adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
3625, 28xaddcld 10872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( P D x ) + e
( Q D x ) )  e.  RR* )
374adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( R + e S )  e.  RR* )
38 xrlelttr 10738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P D Q )  e.  RR*  /\  (
( P D x ) + e ( Q D x ) )  e.  RR*  /\  ( R + e S )  e.  RR* )  ->  (
( ( P D Q )  <_  (
( P D x ) + e ( Q D x ) )  /\  ( ( P D x ) + e ( Q D x ) )  <  ( R + e S ) )  -> 
( P D Q )  <  ( R + e S ) ) )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( P D Q )  <_ 
( ( P D x ) + e
( Q D x ) )  /\  (
( P D x ) + e ( Q D x ) )  <  ( R + e S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R + e S ) ) )
4034, 39mpand 657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( P D x ) + e ( Q D x ) )  < 
( R + e S )  ->  ( P D Q )  < 
( R + e S ) ) )
4132, 40syld 42 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( P D x )  < 
R  /\  ( Q D x )  < 
S )  ->  ( P D Q )  < 
( R + e S ) ) )
4241expimpd 587 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( x  e.  X  /\  ( ( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  < 
S ) )  -> 
( P D Q )  <  ( R + e S ) ) )
4320, 42sylbid 207 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R + e S ) ) )
4410, 43syl5bi 209 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( x  e.  ( ( P ( ball `  D ) R )  i^i  ( Q (
ball `  D ) S ) )  -> 
( P D Q )  <  ( R + e S ) ) )
459, 44mtod 170 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  -.  x  e.  (
( P ( ball `  D ) R )  i^i  ( Q (
ball `  D ) S ) ) )
4645eq0rdv 3654 1  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  ( Q ( ball `  D
) S ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3311   (/)c0 3620   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113   + ecxad 10700   * Metcxmt 16678   ballcbl 16680
This theorem is referenced by:  bl2in  18422  blcld  18527  methaus  18542  metnrmlem3  18883  cntotbnd  26486  heiborlem6  26506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-bl 16689
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