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Theorem bldisj 17971
Description: Two balls are disjoint if the center-to-center distance is more than the sum of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
bldisj  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  ( Q ( ball `  D
) S ) )  =  (/) )

Proof of Theorem bldisj
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 963 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( R + e S )  <_  ( P D Q ) )
2 simpr1 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  R  e.  RR* )
3 simpr2 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  S  e.  RR* )
42, 3xaddcld 10637 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( R + e S )  e.  RR* )
5 xmetcl 17912 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
65adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( P D Q )  e.  RR* )
7 xrlenlt 8906 . . . . 5  |-  ( ( ( R + e S )  e.  RR*  /\  ( P D Q )  e.  RR* )  ->  ( ( R + e S )  <_  ( P D Q )  <->  -.  ( P D Q )  < 
( R + e S ) ) )
84, 6, 7syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( R + e S )  <_  ( P D Q )  <->  -.  ( P D Q )  < 
( R + e S ) ) )
91, 8mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  -.  ( P D Q )  <  ( R + e S ) )
10 elin 3371 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i  ( Q ( ball `  D ) S ) )  <->  ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) ) )
11 simpl1 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
12 simpl2 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  P  e.  X )
13 elbl 17965 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
1411, 12, 2, 13syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
15 simpl3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  Q  e.  X )
16 elbl 17965 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Q  e.  X  /\  S  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( Q ( ball `  D
) S )  <->  ( x  e.  X  /\  ( Q D x )  < 
S ) ) )
1711, 15, 3, 16syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( x  e.  ( Q ( ball `  D
) S )  <->  ( x  e.  X  /\  ( Q D x )  < 
S ) ) )
1814, 17anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) )  <-> 
( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R )  /\  (
x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) ) )
19 anandi 801 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( ( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S ) )  <->  ( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R )  /\  (
x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) )
2018, 19syl6bbr 254 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( ( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S ) ) ) )
2111adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
2212adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  P  e.  X )
23 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
24 xmetcl 17912 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D x )  e. 
RR* )
2521, 22, 23, 24syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D x )  e.  RR* )
2615adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  Q  e.  X )
27 xmetcl 17912 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
2821, 26, 23, 27syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( Q D x )  e.  RR* )
292adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR* )
303adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  S  e.  RR* )
31 xlt2add 10596 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P D x )  e.  RR*  /\  ( Q D x )  e.  RR* )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )
)  ->  ( (
( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S )  -> 
( ( P D x ) + e
( Q D x ) )  <  ( R + e S ) ) )
3225, 28, 29, 30, 31syl22anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( P D x )  < 
R  /\  ( Q D x )  < 
S )  ->  (
( P D x ) + e ( Q D x ) )  <  ( R + e S ) ) )
33 xmettri3 17933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( P  e.  X  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( P D Q )  <_  ( ( P D x ) + e ( Q D x ) ) )
3421, 22, 26, 23, 33syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D Q )  <_  ( ( P D x ) + e ( Q D x ) ) )
356adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
3625, 28xaddcld 10637 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( P D x ) + e
( Q D x ) )  e.  RR* )
374adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( R + e S )  e.  RR* )
38 xrlelttr 10503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P D Q )  e.  RR*  /\  (
( P D x ) + e ( Q D x ) )  e.  RR*  /\  ( R + e S )  e.  RR* )  ->  (
( ( P D Q )  <_  (
( P D x ) + e ( Q D x ) )  /\  ( ( P D x ) + e ( Q D x ) )  <  ( R + e S ) )  -> 
( P D Q )  <  ( R + e S ) ) )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( P D Q )  <_ 
( ( P D x ) + e
( Q D x ) )  /\  (
( P D x ) + e ( Q D x ) )  <  ( R + e S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R + e S ) ) )
4034, 39mpand 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( P D x ) + e ( Q D x ) )  < 
( R + e S )  ->  ( P D Q )  < 
( R + e S ) ) )
4132, 40syld 40 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( P D x )  < 
R  /\  ( Q D x )  < 
S )  ->  ( P D Q )  < 
( R + e S ) ) )
4241expimpd 586 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( x  e.  X  /\  ( ( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  < 
S ) )  -> 
( P D Q )  <  ( R + e S ) ) )
4320, 42sylbid 206 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R + e S ) ) )
4410, 43syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( x  e.  ( ( P ( ball `  D ) R )  i^i  ( Q (
ball `  D ) S ) )  -> 
( P D Q )  <  ( R + e S ) ) )
459, 44mtod 168 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  -.  x  e.  (
( P ( ball `  D ) R )  i^i  ( Q (
ball `  D ) S ) ) )
4645eq0rdv 3502 1  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  ( Q ( ball `  D
) S ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    i^i cin 3164   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   + ecxad 10466   * Metcxmt 16385   ballcbl 16387
This theorem is referenced by:  bl2in  17973  blcld  18067  methaus  18082  metnrmlem3  18381  cntotbnd  26623  heiborlem6  26643
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmet 16389  df-bl 16391
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