MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bldisj Unicode version

Theorem bldisj 17955
Description: Two balls are disjoint if the center-to-center distance is more than the sum of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
bldisj  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  ( Q ( ball `  D
) S ) )  =  (/) )

Proof of Theorem bldisj
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 963 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( R + e S )  <_  ( P D Q ) )
2 simpr1 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  R  e.  RR* )
3 simpr2 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  S  e.  RR* )
42, 3xaddcld 10621 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( R + e S )  e.  RR* )
5 xmetcl 17896 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
65adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( P D Q )  e.  RR* )
7 xrlenlt 8890 . . . . 5  |-  ( ( ( R + e S )  e.  RR*  /\  ( P D Q )  e.  RR* )  ->  ( ( R + e S )  <_  ( P D Q )  <->  -.  ( P D Q )  < 
( R + e S ) ) )
84, 6, 7syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( R + e S )  <_  ( P D Q )  <->  -.  ( P D Q )  < 
( R + e S ) ) )
91, 8mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  -.  ( P D Q )  <  ( R + e S ) )
10 elin 3358 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i  ( Q ( ball `  D ) S ) )  <->  ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) ) )
11 simpl1 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
12 simpl2 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  P  e.  X )
13 elbl 17949 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
1411, 12, 2, 13syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
15 simpl3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  Q  e.  X )
16 elbl 17949 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Q  e.  X  /\  S  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( Q ( ball `  D
) S )  <->  ( x  e.  X  /\  ( Q D x )  < 
S ) ) )
1711, 15, 3, 16syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( x  e.  ( Q ( ball `  D
) S )  <->  ( x  e.  X  /\  ( Q D x )  < 
S ) ) )
1814, 17anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) )  <-> 
( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R )  /\  (
x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) ) )
19 anandi 801 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( ( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S ) )  <->  ( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R )  /\  (
x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) )
2018, 19syl6bbr 254 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( ( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S ) ) ) )
2111adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
2212adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  P  e.  X )
23 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
24 xmetcl 17896 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D x )  e. 
RR* )
2521, 22, 23, 24syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D x )  e.  RR* )
2615adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  Q  e.  X )
27 xmetcl 17896 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
2821, 26, 23, 27syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( Q D x )  e.  RR* )
292adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR* )
303adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  S  e.  RR* )
31 xlt2add 10580 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P D x )  e.  RR*  /\  ( Q D x )  e.  RR* )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )
)  ->  ( (
( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S )  -> 
( ( P D x ) + e
( Q D x ) )  <  ( R + e S ) ) )
3225, 28, 29, 30, 31syl22anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( P D x )  < 
R  /\  ( Q D x )  < 
S )  ->  (
( P D x ) + e ( Q D x ) )  <  ( R + e S ) ) )
33 xmettri3 17917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( P  e.  X  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( P D Q )  <_  ( ( P D x ) + e ( Q D x ) ) )
3421, 22, 26, 23, 33syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D Q )  <_  ( ( P D x ) + e ( Q D x ) ) )
356adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
3625, 28xaddcld 10621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( P D x ) + e
( Q D x ) )  e.  RR* )
374adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( R + e S )  e.  RR* )
38 xrlelttr 10487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P D Q )  e.  RR*  /\  (
( P D x ) + e ( Q D x ) )  e.  RR*  /\  ( R + e S )  e.  RR* )  ->  (
( ( P D Q )  <_  (
( P D x ) + e ( Q D x ) )  /\  ( ( P D x ) + e ( Q D x ) )  <  ( R + e S ) )  -> 
( P D Q )  <  ( R + e S ) ) )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( P D Q )  <_ 
( ( P D x ) + e
( Q D x ) )  /\  (
( P D x ) + e ( Q D x ) )  <  ( R + e S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R + e S ) ) )
4034, 39mpand 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( P D x ) + e ( Q D x ) )  < 
( R + e S )  ->  ( P D Q )  < 
( R + e S ) ) )
4132, 40syld 40 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( P D x )  < 
R  /\  ( Q D x )  < 
S )  ->  ( P D Q )  < 
( R + e S ) ) )
4241expimpd 586 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( x  e.  X  /\  ( ( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  < 
S ) )  -> 
( P D Q )  <  ( R + e S ) ) )
4320, 42sylbid 206 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R + e S ) ) )
4410, 43syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( x  e.  ( ( P ( ball `  D ) R )  i^i  ( Q (
ball `  D ) S ) )  -> 
( P D Q )  <  ( R + e S ) ) )
459, 44mtod 168 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  -.  x  e.  (
( P ( ball `  D ) R )  i^i  ( Q (
ball `  D ) S ) ) )
4645eq0rdv 3489 1  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  ( Q ( ball `  D
) S ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   + ecxad 10450   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371
This theorem is referenced by:  bl2in  17957  blcld  18051  methaus  18066  metnrmlem3  18365  cntotbnd  26520  heiborlem6  26540
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmet 16373  df-bl 16375
  Copyright terms: Public domain W3C validator