MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bldisj Unicode version

Theorem bldisj 18330
Description: Two balls are disjoint if the center-to-center distance is more than the sum of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
bldisj  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  ( Q ( ball `  D
) S ) )  =  (/) )

Proof of Theorem bldisj
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 965 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( R + e S )  <_  ( P D Q ) )
2 simpr1 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  R  e.  RR* )
3 simpr2 964 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  S  e.  RR* )
42, 3xaddcld 10813 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( R + e S )  e.  RR* )
5 xmetcl 18271 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
65adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( P D Q )  e.  RR* )
7 xrlenlt 9077 . . . . 5  |-  ( ( ( R + e S )  e.  RR*  /\  ( P D Q )  e.  RR* )  ->  ( ( R + e S )  <_  ( P D Q )  <->  -.  ( P D Q )  < 
( R + e S ) ) )
84, 6, 7syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( R + e S )  <_  ( P D Q )  <->  -.  ( P D Q )  < 
( R + e S ) ) )
91, 8mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  -.  ( P D Q )  <  ( R + e S ) )
10 elin 3474 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i  ( Q ( ball `  D ) S ) )  <->  ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) ) )
11 simpl1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
12 simpl2 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  P  e.  X )
13 elbl 18324 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
1411, 12, 2, 13syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
15 simpl3 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  Q  e.  X )
16 elbl 18324 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Q  e.  X  /\  S  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( Q ( ball `  D
) S )  <->  ( x  e.  X  /\  ( Q D x )  < 
S ) ) )
1711, 15, 3, 16syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( x  e.  ( Q ( ball `  D
) S )  <->  ( x  e.  X  /\  ( Q D x )  < 
S ) ) )
1814, 17anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) )  <-> 
( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R )  /\  (
x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) ) )
19 anandi 802 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( ( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S ) )  <->  ( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R )  /\  (
x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) )
2018, 19syl6bbr 255 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( ( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S ) ) ) )
2111adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
2212adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  P  e.  X )
23 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
24 xmetcl 18271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D x )  e. 
RR* )
2521, 22, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D x )  e.  RR* )
2615adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  Q  e.  X )
27 xmetcl 18271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
2821, 26, 23, 27syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( Q D x )  e.  RR* )
292adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR* )
303adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  S  e.  RR* )
31 xlt2add 10772 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P D x )  e.  RR*  /\  ( Q D x )  e.  RR* )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )
)  ->  ( (
( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S )  -> 
( ( P D x ) + e
( Q D x ) )  <  ( R + e S ) ) )
3225, 28, 29, 30, 31syl22anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( P D x )  < 
R  /\  ( Q D x )  < 
S )  ->  (
( P D x ) + e ( Q D x ) )  <  ( R + e S ) ) )
33 xmettri3 18292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( P  e.  X  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( P D Q )  <_  ( ( P D x ) + e ( Q D x ) ) )
3421, 22, 26, 23, 33syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D Q )  <_  ( ( P D x ) + e ( Q D x ) ) )
356adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
3625, 28xaddcld 10813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( P D x ) + e
( Q D x ) )  e.  RR* )
374adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( R + e S )  e.  RR* )
38 xrlelttr 10679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P D Q )  e.  RR*  /\  (
( P D x ) + e ( Q D x ) )  e.  RR*  /\  ( R + e S )  e.  RR* )  ->  (
( ( P D Q )  <_  (
( P D x ) + e ( Q D x ) )  /\  ( ( P D x ) + e ( Q D x ) )  <  ( R + e S ) )  -> 
( P D Q )  <  ( R + e S ) ) )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( P D Q )  <_ 
( ( P D x ) + e
( Q D x ) )  /\  (
( P D x ) + e ( Q D x ) )  <  ( R + e S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R + e S ) ) )
4034, 39mpand 657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( P D x ) + e ( Q D x ) )  < 
( R + e S )  ->  ( P D Q )  < 
( R + e S ) ) )
4132, 40syld 42 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( P D x )  < 
R  /\  ( Q D x )  < 
S )  ->  ( P D Q )  < 
( R + e S ) ) )
4241expimpd 587 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( x  e.  X  /\  ( ( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  < 
S ) )  -> 
( P D Q )  <  ( R + e S ) ) )
4320, 42sylbid 207 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R + e S ) ) )
4410, 43syl5bi 209 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( x  e.  ( ( P ( ball `  D ) R )  i^i  ( Q (
ball `  D ) S ) )  -> 
( P D Q )  <  ( R + e S ) ) )
459, 44mtod 170 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  ->  -.  x  e.  (
( P ( ball `  D ) R )  i^i  ( Q (
ball `  D ) S ) ) )
4645eq0rdv 3606 1  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R + e S )  <_ 
( P D Q ) ) )  -> 
( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  ( Q ( ball `  D
) S ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    i^i cin 3263   (/)c0 3572   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   RR*cxr 9053    < clt 9054    <_ cle 9055   + ecxad 10641   * Metcxmt 16613   ballcbl 16615
This theorem is referenced by:  bl2in  18332  blcld  18426  methaus  18441  metnrmlem3  18763  cntotbnd  26197  heiborlem6  26217
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmet 16620  df-bl 16622
  Copyright terms: Public domain W3C validator