Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bldisj Structured version   Unicode version

Theorem bldisj 18420
 Description: Two balls are disjoint if the center-to-center distance is more than the sum of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
bldisj

Proof of Theorem bldisj
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 965 . . . 4
2 simpr1 963 . . . . . 6
3 simpr2 964 . . . . . 6
42, 3xaddcld 10872 . . . . 5
5 xmetcl 18353 . . . . . 6
65adantr 452 . . . . 5
7 xrlenlt 9135 . . . . 5
84, 6, 7syl2anc 643 . . . 4
91, 8mpbid 202 . . 3
10 elin 3522 . . . 4
11 simpl1 960 . . . . . . . 8
12 simpl2 961 . . . . . . . 8
13 elbl 18410 . . . . . . . 8
1411, 12, 2, 13syl3anc 1184 . . . . . . 7
15 simpl3 962 . . . . . . . 8
16 elbl 18410 . . . . . . . 8
1711, 15, 3, 16syl3anc 1184 . . . . . . 7
1814, 17anbi12d 692 . . . . . 6
19 anandi 802 . . . . . 6
2018, 19syl6bbr 255 . . . . 5
2111adantr 452 . . . . . . . . 9
2212adantr 452 . . . . . . . . 9
23 simpr 448 . . . . . . . . 9
24 xmetcl 18353 . . . . . . . . 9
2521, 22, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . 8
2615adantr 452 . . . . . . . . 9
27 xmetcl 18353 . . . . . . . . 9
2821, 26, 23, 27syl3anc 1184 . . . . . . . 8
292adantr 452 . . . . . . . 8
303adantr 452 . . . . . . . 8
31 xlt2add 10831 . . . . . . . 8
3225, 28, 29, 30, 31syl22anc 1185 . . . . . . 7
33 xmettri3 18375 . . . . . . . . 9
3421, 22, 26, 23, 33syl13anc 1186 . . . . . . . 8
356adantr 452 . . . . . . . . 9
3625, 28xaddcld 10872 . . . . . . . . 9
374adantr 452 . . . . . . . . 9
38 xrlelttr 10738 . . . . . . . . 9
3935, 36, 37, 38syl3anc 1184 . . . . . . . 8
4034, 39mpand 657 . . . . . . 7
4132, 40syld 42 . . . . . 6
4241expimpd 587 . . . . 5
4320, 42sylbid 207 . . . 4
4410, 43syl5bi 209 . . 3
459, 44mtod 170 . 2
4645eq0rdv 3654 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   cin 3311  c0 3620   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073  cxr 9111   clt 9112   cle 9113  cxad 10700  cxmt 16678  cbl 16680 This theorem is referenced by:  bl2in  18422  blcld  18527  methaus  18542  metnrmlem3  18883  cntotbnd  26486  heiborlem6  26506 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-bl 16689
 Copyright terms: Public domain W3C validator