MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blgt0 Unicode version

Theorem blgt0 18330
Description: A nonempty ball implies that the radius is positive. (Contributed by NM, 11-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
blgt0  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  A  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <  R
)

Proof of Theorem blgt0
StepHypRef Expression
1 0xr 9064 . . 3  |-  0  e.  RR*
21a1i 11 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  A  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  e.  RR* )
3 simpl1 960 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  A  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
4 simpl2 961 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  A  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  P  e.  X
)
5 elbl 18323 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < 
R ) ) )
65simprbda 607 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  A  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  A  e.  X
)
7 xmetcl 18270 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( P D A )  e.  RR* )
83, 4, 6, 7syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  A  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D A )  e.  RR* )
9 simpl3 962 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  A  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  R  e.  RR* )
10 xmetge0 18283 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  0  <_  ( P D A ) )
113, 4, 6, 10syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  A  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <_  ( P D A ) )
125simplbda 608 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  A  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D A )  <  R
)
132, 8, 9, 11, 12xrlelttrd 10682 1  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  A  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <  R
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   0cc0 8923   RR*cxr 9052    < clt 9053    <_ cle 9054   * Metcxmt 16612   ballcbl 16614
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-2 9990  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-xmet 16619  df-bl 16621
  Copyright terms: Public domain W3C validator