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Theorem blhalf 18435
Description: A ball of radius  R  / 
2 is contained in a ball of radius  R centered at any point inside the smaller ball. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blhalf  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Y ( ball `  M
) ( R  / 
2 ) )  C_  ( Z ( ball `  M
) R ) )

Proof of Theorem blhalf
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
2 simplr 732 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  Y  e.  X )
3 simprr 734 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) )
4 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  R  e.  RR )
54rehalfcld 10214 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( R  /  2 )  e.  RR )
65rexrd 9134 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( R  /  2 )  e. 
RR* )
7 elbl 18418 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  ( R  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( Z  e.  ( Y ( ball `  M
) ( R  / 
2 ) )  <->  ( Z  e.  X  /\  ( Y M Z )  < 
( R  /  2
) ) ) )
81, 2, 6, 7syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Z  e.  ( Y
( ball `  M )
( R  /  2
) )  <->  ( Z  e.  X  /\  ( Y M Z )  < 
( R  /  2
) ) ) )
93, 8mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Z  e.  X  /\  ( Y M Z )  <  ( R  / 
2 ) ) )
109simpld 446 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  Z  e.  X )
119simprd 450 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Y M Z )  < 
( R  /  2
) )
12 xmetcl 18361 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  Z  e.  X
)  ->  ( Y M Z )  e.  RR* )
131, 2, 10, 12syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Y M Z )  e. 
RR* )
14 xrltle 10742 . . . . 5  |-  ( ( ( Y M Z )  e.  RR*  /\  ( R  /  2 )  e. 
RR* )  ->  (
( Y M Z )  <  ( R  /  2 )  -> 
( Y M Z )  <_  ( R  /  2 ) ) )
1513, 6, 14syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  (
( Y M Z )  <  ( R  /  2 )  -> 
( Y M Z )  <_  ( R  /  2 ) ) )
1611, 15mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Y M Z )  <_ 
( R  /  2
) )
175recnd 9114 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( R  /  2 )  e.  CC )
1817, 17pncand 9412 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  (
( ( R  / 
2 )  +  ( R  /  2 ) )  -  ( R  /  2 ) )  =  ( R  / 
2 ) )
194recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  R  e.  CC )
20192halvesd 10213 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  (
( R  /  2
)  +  ( R  /  2 ) )  =  R )
2120oveq1d 6096 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  (
( ( R  / 
2 )  +  ( R  /  2 ) )  -  ( R  /  2 ) )  =  ( R  -  ( R  /  2
) ) )
2218, 21eqtr3d 2470 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( R  /  2 )  =  ( R  -  ( R  /  2 ) ) )
2316, 22breqtrd 4236 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Y M Z )  <_ 
( R  -  ( R  /  2 ) ) )
24 blss2 18434 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  Z  e.  X
)  /\  ( ( R  /  2 )  e.  RR  /\  R  e.  RR  /\  ( Y M Z )  <_ 
( R  -  ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Y ( ball `  M
) ( R  / 
2 ) )  C_  ( Z ( ball `  M
) R ) )
251, 2, 10, 5, 4, 23, 24syl33anc 1199 1  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Y ( ball `  M
) ( R  / 
2 ) )  C_  ( Z ( ball `  M
) R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989    + caddc 8993   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   2c2 10049   * Metcxmt 16686   ballcbl 16688
This theorem is referenced by:  met2ndci  18552  iscfil3  19226  cfilfcls  19227  iscmet3lem2  19245  lmcau  19265  lgamucov  24822  sstotbnd2  26483  isbnd2  26492  heiborlem8  26527
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-2 10058  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-bl 16697
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