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Theorem blhalf 17960
Description: A ball of radius  R  / 
2 is contained in a ball of radius  R centered at any point inside the smaller ball. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blhalf  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Y ( ball `  M
) ( R  / 
2 ) )  C_  ( Z ( ball `  M
) R ) )

Proof of Theorem blhalf
StepHypRef Expression
1 simpll 730 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
2 simplr 731 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  Y  e.  X )
3 simprr 733 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) )
4 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  R  e.  RR )
54rehalfcld 9958 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( R  /  2 )  e.  RR )
65rexrd 8881 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( R  /  2 )  e. 
RR* )
7 elbl 17949 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  ( R  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( Z  e.  ( Y ( ball `  M
) ( R  / 
2 ) )  <->  ( Z  e.  X  /\  ( Y M Z )  < 
( R  /  2
) ) ) )
81, 2, 6, 7syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Z  e.  ( Y
( ball `  M )
( R  /  2
) )  <->  ( Z  e.  X  /\  ( Y M Z )  < 
( R  /  2
) ) ) )
93, 8mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Z  e.  X  /\  ( Y M Z )  <  ( R  / 
2 ) ) )
109simpld 445 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  Z  e.  X )
119simprd 449 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Y M Z )  < 
( R  /  2
) )
12 xmetcl 17896 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  Z  e.  X
)  ->  ( Y M Z )  e.  RR* )
131, 2, 10, 12syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Y M Z )  e. 
RR* )
14 xrltle 10483 . . . . 5  |-  ( ( ( Y M Z )  e.  RR*  /\  ( R  /  2 )  e. 
RR* )  ->  (
( Y M Z )  <  ( R  /  2 )  -> 
( Y M Z )  <_  ( R  /  2 ) ) )
1513, 6, 14syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  (
( Y M Z )  <  ( R  /  2 )  -> 
( Y M Z )  <_  ( R  /  2 ) ) )
1611, 15mpd 14 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Y M Z )  <_ 
( R  /  2
) )
175recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( R  /  2 )  e.  CC )
1817, 17pncand 9158 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  (
( ( R  / 
2 )  +  ( R  /  2 ) )  -  ( R  /  2 ) )  =  ( R  / 
2 ) )
194recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  R  e.  CC )
20192halvesd 9957 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  (
( R  /  2
)  +  ( R  /  2 ) )  =  R )
2120oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  (
( ( R  / 
2 )  +  ( R  /  2 ) )  -  ( R  /  2 ) )  =  ( R  -  ( R  /  2
) ) )
2218, 21eqtr3d 2317 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( R  /  2 )  =  ( R  -  ( R  /  2 ) ) )
2316, 22breqtrd 4047 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Y M Z )  <_ 
( R  -  ( R  /  2 ) ) )
24 blss2 17959 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  Z  e.  X
)  /\  ( ( R  /  2 )  e.  RR  /\  R  e.  RR  /\  ( Y M Z )  <_ 
( R  -  ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Y ( ball `  M
) ( R  / 
2 ) )  C_  ( Z ( ball `  M
) R ) )
251, 2, 10, 5, 4, 23, 24syl33anc 1197 1  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Y ( ball `  M
) ( R  / 
2 ) )  C_  ( Z ( ball `  M
) R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736    + caddc 8740   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371
This theorem is referenced by:  met2ndci  18068  iscfil3  18699  cfilfcls  18700  iscmet3lem2  18718  lmcau  18738  blhalfOLD  26472  sstotbnd2  26498  isbnd2  26507  heiborlem8  26542
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-xmet 16373  df-bl 16375
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